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- 2021-07-01 发布
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课时达标检测(九) 指数与指数函数
[练基础小题——强化运算能力]
1.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=3x
C.f(x)=x D.f(x)=x
解析:选B 根据各选项知,选项B、D中的指数函数满足f(x+y)=f(x)·f(y).又f(x)=3x是增函数,所以B正确.
2.函数f(x)=2|x-1|的大致图象是( )
解析:选B f(x)=易知f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减,故选B.
3.(2017·浙江绍兴一中月考)函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的关系是( )
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)1,f(-4)=a3,f(1)=a2,由y=at(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).
4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:选B 由f(1)=得a2=,又a>0,所以a=,因此f(x)=|2x-4|.因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
解析:原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=.
答案:
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.75,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
解析:选A 由0.2<0.75<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.75,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.
2.已知奇函数y=如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=( )
A.-x B.-x
C.2-x D.-2x
解析:选D 由题图知f(1)=,∴a=,f(x)=x,由题意得g(x)=-f(-x)=--x=-2x,故选D.
3.设f(x)=|3x-1|,cf(a)>f(b),则下列关系中一定成立的是( )
A.3c>3a B.3c>3b
C.3c+3a>2 D.3c+3a<2
解析:选D 画出f(x)=|3x-1|的图象,如图所示,要使cf(a)>f(b)成立,则有c<0,且a>0.由y=3x的图象可得0<3c<1<3a.∵f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2.
4.已知函数f(x)=ex,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,则下列关于f(x)的性质:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,②y=f(x)不存在反函数,③f(x1)+f(x2)<2f,④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根,其中正确的是( )
A.①② B.①④ C.①③ D.③④
解析:选B 因为e>1,所以f(x)=ex为定义域内的增函数,故①正确;函数f(x)=ex的反函数为y=ln x(x>0),故②错误;f(x1)+f(x2)=ex1+ex2>2=2=2f,故③错误;作出函数f(x)=ex和y=x2的图象(图略)可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故④正确.结合选项可知,选B.
5.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
解析:选C 当a<0时,不等式f(a)<1可化为a-7<1,即a<8,即a<-3,因为0<<1,所以函数y=x是减函数,所以a>-3,此时-3<a<0;当a≥0时,不等式f(a)<1可化为<1,所以0≤a<1.故a的取值范围是(-3,1).
6.(2016·河南许昌四校第三次联考)已知a>0,且a≠1,f(x)=x2-ax.当x∈(-1,1)时,均有f(x)<,则实数a的取值范围是( )
A.∪[2,+∞) B.∪(1,2]
C.∪[4,+∞) D.∪(1,4]
解析:选B 当x∈(-1,1)时,均有f(x)<,即ax>x2-在(-1,1)上恒成立,令g(x)=ax,m(x)=x2-,由图象知:当01时,g(-1)≥m(1),即a-1≥1-=,此时10,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=________.
解析:当a>1时,f(x)=ax-1在[0,2]上为增函数,
则a2-1=2,∴a=±.
又∵a>1,∴a=.
当0e.故f(x)的最小值为f(1)=e.
答案:e
10.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是________.
解析:不等式2x(x-a)<1可变形为x-a-1.
答案:(-1,+∞)
三、解答题
11.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).若不等式x+x-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
解:把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,得
结合a>0,且a≠1,解得
要使x+x≥m在x∈(-∞,1]上恒成立,
只需保证函数y=x+x在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.
因为函数y=x+x在(-∞,1]上为减函数,
所以当x=1时,y=x+x有最小值.
所以只需m≤即可.即m的取值范围为.
12.已知定义在R上的函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当x<0时,f(x)=0,无解;
当x≥0时,f(x)=2x-,
由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,
将上式看成关于2x的一元二次方程,
解得2x=2或2x=-,
∵2x>0,∴x=1.
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,
∴m≥-(22t+1),
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
故实数m的取值范围是[-5,+∞).
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