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- 2021-07-01 发布
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- 1 -
文科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义,结合题中所给的集合中的元素,求得结果.
【详解】 , ,则 ,
故选:A.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有集合的运算,属于基础题目.
2. 设复数 , 在复平面内的对应点关于实轴对称, .则 ( )
A. B. 5 C. D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求出 ,结合复数的乘法运算即可求出 .
【详解】由题意,得 ,则 ,
故选:D.
【点睛】本题考查了复数的计算,属于基础题.本题的关键是求出 .
3. 设向量 , 满足 , ,则 ( )
A. 14 B. C. 12 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
{ }1,0,1A = − { }1,2,3,4B = − A B =
{ }1− { }0 { }1 ∅
{ }1,0,1A = − { }1,2,3,4B = − { }1A B∩ = −
1z 2z 1 2 3iz = + 1 2z z =
5− 13−
2z 1 2z z
2 2 3iz = − ( )( )1 2 2 3i 2 3i 13z z = + − =
2z
a b 6a b− =r r
2a b⋅ = a b+ =
14 2 3
- 2 -
利用配方法转化为 ,代入已知可解得结
果.
【详解】因为 ,
所以 ,
故选:B.
【点睛】本题平面向量数量积的运算律,考查了求向量的模长,属于基础题.
4. 化简 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两角和余弦公式化简求值即可.
【详解】 ,
故选 C.
【点睛】本题考查了三角恒等变换,逆用两角和余弦公式化简求值,属于简单题.
5. 袋中共有完全相同 4 只小球、编号为 1,2,3,4,现从中任取 2 只小球,则取出的 2 只
球编号之和是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先列举出任取 2 只小球的事件,共 6 种取法,再列举出 2 只球编号之和是奇数的事件,共 4
种取法,最后求取出的 2 只球编号之和是奇数的概率即可.
【详解】解:在编号为 1,2,3,4 的小球中任取 2 只小球,则有 , , ,
, , ,共 6 种取法,
则取出的 2 只球编号之和是奇数的有 , , , ,共 4 种取法,
的
( ) ( )2 22 2 2
2 4a b a b a b a b a b a b+ = + = + + ⋅ = − + ⋅
( ) ( )2 22 2 2
2 4a b a b a b a b a b a b+ = + = + + ⋅ = − + ⋅ 6 4 2 14= + × =
2
14a b+ =
cos16 cos44 sin16 sin 44−° ° ° °
3
2
3
2
− 1
2
1
2
−
( ) 1cos16 cos44 sin16 sin 44 cos 16 44 cos60 2
° °− ° ° = °+ ° = ° =
2
5
3
5
1
3
2
3
{ }1,2 { }1,3 { }1,4
{ }2,3 { }2,4 { }3,4
{ }1,2 { }1,4 { }2,3 { }3,4
- 3 -
所以取出的 2 只球编号之和是奇数的概率为 ,
故选:D.
【点睛】本题考查利用列举法求古典概型的概率,是基础题
6. 对任意非零实数,定义的算法原理如图程序框图所示.设 , ,则计算机执行该
运算后输出的结果是( )
A. B. C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中所给的程序框图,结合条件,读出结果.
【详解】 , ,且 ,
∴ ,
故选:D.
【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题,涉及到的知识点有程序框图输出结果的计算,
属于基础题目.
7. 若变量 , 满足约束条件 则目标函数 的最小值为( )
A. 1 B. C. D.
4 2
6 3
=
3a = 2b =
1
3
1
2
3a = 2b = a b>
1 3 1 22
aa b b
+ +⊗ = = =
x y
1,
1,
2 2.
x y
x y
x y
+ ≥
− ≥ −
− ≤
3z x y= −
3− 9− 10−
- 4 -
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域,结合图形分析最优解,从而求出最小值.
【详解】画出可行域,向上平移基准直线 ,可得最优解为 ,
由此求得目标函数的最小值为 ,
故选:C.
【点睛】本题考查了线性规划求最值,属于基础题.
8. 已知函数 ,则函数 的图象在点 处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 得到它的导函数 ,求 即可.
【详解】依据 ,有 ,
因此,函数 的图象在点 处的切线斜率为 ,
故选 C.
【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求函数在某点处的切线斜率,属于简单题.
9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
3 0x y− = ( )3,4A
3 3 4 9z = − × = −
( ) 2 1ln 1 2f x x x x= + − ( )f x ( )( ),e f e
1
2
1
2
− 13 2e − 1 32 e−
( )f x ( )f x¢ ( )f e′
( ) 2 1ln 1 2f x x x x= + − ( ) 12 ln 2f x x x x′ = + −
( )y f x= ( )( ),e f e ( ) 13 2k f e e′= = −
- 5 -
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知几何体:圆台,进而依据圆台的体积公式求体积即可.
【详解】该几何体为上、下底面直径分别为 2、4,高为 4 的圆台,
∴体积为 ,
故选 A.
【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的体积,圆台的体积公式应用,属于简单题.
10. 已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距
离为( )
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意,由双曲线的几何性质可得焦点坐标以及渐近线的方程,进而由点到直线的距离公
式计算可得答案.
【详解】双曲线 : 的方程化为: .
所以双曲线 的焦点在 轴上,且 .
渐近线方程为: ,
28
3
π 25
3
π
28π 25π
( )2 21 284 2 1 2 13 3V
ππ= × × + + × =
F C 2 2 5 ( 0)x my m m− = > F C
5 5m 5m
C 2 2 5 ( 0)x my m m− = >
2 2
15 5
x y
m
− = ( 0)m >
C x 5 5c m= +
x my= ±
- 6 -
取 的坐标为 ,取一条渐近线 .
则点 到 的一条渐近线的距离 ,
故选:A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质,关键是利用双曲线的标准方程,计算出焦点坐标以及
渐近线的方程.属于基础题.
11. 在正方体 中,点 为线段 的中点,则异面直线 与 所成角
的余弦值为( )
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 ,找出异面直线所成的角,结合余弦定理即可求出所成角的余弦值.
【详解】连接 ,则 ,则 为所求,设正方体棱长为 2,
在 中, , , ,
所以 ,
故选:C.
【点睛】本题考查了异面直线所成角的求解,考查了余弦定理,属于基础题.本题的关键是找
出异面直线所成的角.
F ( 5 5,0)m + + =0x my
F C 5 5 5
1
md
m
+= =
+
1 1 1 1ABCD A B C D− E AB 1A D EC
1
2
10
5
11
16
1 1, ,B C B E CE
1 1, ,B C B E CE 1 1//B C A D 1B CE θ∠ =
1B CE△ 5EC = 1 5B E = 1 2 2=B C
5 8 5 2 10cos 52 5 2 2 10
θ + −= = =
× ×
- 7 -
12. 设函数 ,函数 ,若对于 ,
,使 成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意只需 ,对函数 求导,判断单调性求出最小值,对函数 讨
论对称轴和区间 的关系,得到函数最小值,利用 即可得到实数 的取
值范围.
【详解】若对于 , ,使 成立,只需 ,
因为 ,所以 ,当 时, ,所以 在
上是减函数,所以函数 取得最小值 .
因为 ,
当 时, 在 上单调递增,函数取得最小值 ,需 ,不成立;
当 时, 在 上单调递减,函数取得最小值 ,需 ,解得
,此时 ;
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,函数取得最小值
,需 ,解得 或 ,此时无解;
综上,实数 的取值范围是 ,
故选:A.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值,考查二次函数在区间的最值的求法,考查分类
讨论思想和转化思想,属于中档题.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
( ) 31 143 3f x x x= − + ( ) 2 2 1g x x bx= − + [ ]1 1,2x∀ ∈
[ ]2 0,1x∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ b
7 ,2
+∞
5 ,8
+∞
7, 2
−∞
5, 8
−∞
( ) ( )min minf x g x≥ ( )f x ( )g x
[ ]0,1 ( ) ( )min minf x g x≥ b
[ ]1 1,2x∀ ∈ [ ]2 0,1x∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ ( ) ( )min minf x g x≥
( ) 31 143 3f x x x= − + ( ) 2 4f x x′ = − [ ]1,2x∈ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x
[ ]1,2 ( )f x ( )2 5f = −
( ) ( )22 22 1 1g x x bx x b b= − + = − + −
0b ≤ ( )g x [ ]0,1 ( )0 1g = 5 1− ≥
1b ≥ ( )g x [ ]0,1 ( )1 2 2g b= − 5 2 2b− ≥ −
7
2b ≥ 7
2b ≥
0 1b< < ( )g x [ ]0,b ( ],1b
( ) 21g b b= − 25 1 b− ≥ − 6b ≤ − 6b ≥
b 7 ,2
+∞
- 8 -
13. 已知函数 .则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中所给的函数解析式,将自变量代入求得结果.
【详解】因为 ,所以 .
故答案为: .
【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有已知自变量求函数值,属于基础
题目.
14. 函数 的最大值为______.
【答案】7
【解析】
【分析】
由题得 ,再利用二次函数的图象和性质求最值.
【详解】由题得
∴当 时, 取得最大值 7.
故答案为:7
【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用,考查二次型复合函数的最值的求法,意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15. 已知偶函数 在 上单调递减. .若 .则 的取值范围
是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇偶性和单调性可得 ,从而得 ,即可得解.
( ) lnf x x x= ( )f e
e
( ) lnf x x x= ( )f e e=
e
( ) cos2 6cosf x x x= −
( ) 23 112 cos 2 2xf x = − −
( ) 2
2 3 112cos 6cos 1 2 cos 2 2f x xx x = − − = − −
cos 1x = − ( )f x
( )f x [ )0,+∞ ( )1 0f = ( )2 0f x − > x
( )1,3
( ) ( )2 1f x f− > 2 1x − <
- 9 -
【详解】因为 是偶函数,所以不等式 ,
又因为 在 上单调递减,所以 ,解得 .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了奇偶性和单调性的应用,属于基础题.
16. 在 中, , ,则中线 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理可得 ,从而可求出 的轨迹方程,结合椭圆的性质即可求出中线的取值
范围.
【详解】由正弦定理得 ,则点 是以 , 为焦点的椭圆上的一点,
不妨以 , 所在直线为 轴,点 为原点建立平面直角坐标系,则椭圆方程为 ,
由椭圆的性质可知,椭圆上点到原点距离最大为长轴的一半,最小为短轴的一半,
则可知中线 长的取值范围为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了正弦定理,考查了椭圆 性质,属于中档题.本题的难点是将中线转化为
椭圆问题.
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 已知数列 为等差数列, , .
的
( )f x ( ) ( ) ( )2 0 2 1f x f x f− > ⇔ − >
( )f x [ )0,+∞ 2 1x − < 1 3x< <
( )1,3
ABC 2BC = sin sin 3sinB C A+ = AD
)2 2,3
6b c+ = A
3 6b c a+ = = A B C
B C x D
2 2
19 8
x y+ =
AD )2 2,3
)2 2,3
{ }na 1 2a = 3 5 16a a+ =
- 10 -
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
分析】
(1)先建立方程组 求得 ,再求数列 的通项公式;
(2)先化简 为 ,再利用“裂项相消法”求数列 的前 项和 即可
【详解】解:(1)因为 , ,所以 ,
因为数列 为等差数列,所以 ,解得 ,
所以 .
(2)因为 , ,所以 ,
所以 .
【点睛】本题考查等差数列的基本量法、求等差数列的通项公式、“裂项相消法”求数列的
前 项和,是基础题.
18. 已知四边形 是梯形(如图甲), , , , ,
为 的中点,以 为折痕把 折起,使点 到达点 的位置(如图乙),且
.
【
{ }na
1
4
n
n n
b a a +
= { }nb n nT
2na n=
1n
nT n
= +
1
3 5 1
2
2 6 16
a
a a a d
=
+ = + = 2d = { }na
nb 1 1
1n n
− +
{ }nb n nT
1 2a = 3 5 16a a+ = 1
3 5
2
16
a
a a
=
+ =
{ }na 1
3 5 1
2
2 6 16
a
a a a d
=
+ = + = 2d =
2na n=
1
4
n
n n
b a a +
= 2na n= ( )
1 1 1
1 1nb n n n n
= = −+ +
1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n
nT n n n n
= − + − + + − = − =+ + +
n
ABCD //AB CD AD DC⊥ 4CD = 2AB AD= =
E CD AE ADE D P
2PB =
- 11 -
甲 乙
(1)求证:平面 平面 ;
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)连接 ,取 的中点 ,连接 , , 可得 , ,进而
可得 平面 ,又 平面 ,可得平面 平面 ;
(2)设点 到平面 的距离为 ,利用等体积法 进行转化计算即可得解.
【详解】(1)连接 ,因为 , , , 为 的中点,
,所以四边形 是边长为 2 的正方形,且 ,
取 的中点 ,分别连接 , ,
因为 ,所以 , ,且 , ,
又 ,所以 ,所以 ,
又 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ;
(2)由(1)知, 平面 , 为正三角形且边长为 2,
设点 到平面 的距离为 , ,
则 ,
PAE ⊥ ABCE
A PBE
2 6
3
BE AE M PM BM PM AE⊥ PM MB⊥
PM ⊥ ABCE PM ⊂ PAE PAE ⊥ ABCE
A PBE d P ABE A PBEV V− −=
BE //AB CD AD DC⊥ 4CD = E CD
2AB AD= = ABED BE EC=
AE M PM BM
2AP PE= = PM AE⊥ BM AE⊥ 2 2AE = 2PM AM BM= = =
2PB = 2 2 2PM MB PB+ = PM MB⊥
AE MB M∩ = PM ⊥ ABCE
PM ⊂ PAE PAE ⊥ ABCE
PM ⊥ ABCE PBE△
A PBE d P ABE A PBEV V− −=
1 1
3 3ABE PBES PM S d× × = × ×△ △
- 12 -
所以 ,
即 ,解得 ,
故点 到平面 的距离为 .
【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查点面间的距离求法,考查逻辑思维能力和计算能力,
考查空间想象能力,属于常考题.
19. 某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩 110 分以上的同学中各随机抽取 8 人,将这 16
人的数学成绩编成如下茎叶图.
(Ⅰ)茎叶图中有一个数据污损不清(用△表示),若甲班抽出来的同学平均成绩为 122 分,
试推算这个污损的数据是多少?
(Ⅱ)现要从成绩在 130 分以上的 5 位同学中选 2 位作数学学习方法介绍,请将所有可能的
结果列举出来,并求选出的两位同学不在同一个班的概率.
【答案】(1)这个污损的数据是 ;(2)所求概率为 .
【解析】
试题分析:(1)根据平均数概念,求出污损不清的数字;(2)先选出甲乙两班分数在 130
分以上的学生共有 5 人,甲班 2 人,乙班 3 人,从 5 人中抽取 2 人共有 10 种取法,不在同一
21 1 1 3
3 2 3 4BE AB PM BE d× × × × = × × ×
21 1 1 32 2 2 23 2 3 4 d× × × × = × × × 2 6
3d =
A PBE 2 6
3
3 3
5
- 13 -
个班的学生的取法有 6 种,则最后的概率为 .
试题解析:(1)设污损不清的数字为 ,由平均数的概念得
,解得 .
(2)依据题意,甲班 分以上的有 人,编号为 , ,乙班 分以上的有 人,编号
为 、 、 ,从 位同学中任选 人,所有的情况列举如下: , , , , ,
, , , , 共 10 种结果
其中两位同学不在同一班的有 , , , , , 共 6 种
所以所求概率为 .
考点:对茎叶图的理解,平均数,古典概型的求解.
20. 已知抛物线 : 的焦点为 , 为坐标原点.过点 的直线 与抛物线 交于 ,
两点.
(1)若直线 与圆 : 相切,求直线 的方程;
(2)若直线 与 轴的交点为 .且 , ,试探究: 是否为定
值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.
【答案】(1) ;(2) ,理由见解析;
【解析】
【分析】
(1)由直线 过焦点 ,且与半径为 ,圆心 的圆相切知圆心 到直线 的距离
即可求直线斜率 ,进而得到直线方程;(2)由直线 与抛物线 、 轴的交点情况
知 斜 率 存 在 且 , 令 , 联 立 方 程 得 , 又 ,
,应用向量共线的坐标表示有 即可确定 是否为定值.
【详解】(1)由题意知: 且圆 的半径为 ,圆心 ,即有 在圆 外,
∴设直线 为 ,则圆心 到直线 的距离 ,
6
10
x
[110 3 120 3 130 2] 2 2 8 0 7 1 3 1228
xx
× + × + × + + + + + + + += = 3x =
130 2 A B 130 3
c d e 5 2 AB Ac Ad Ae Bc
Bd Be cd ce de
Ac Ad Ae Bc Bd Be
6 3
10 5
=
C 2 4y x= F O F l C A
B
l O 2 2 1
9x y+ = l
l y D DA AFλ= DB BFµ= λ µ+
2 ( 1)4y x= ± − 1λ µ+ = −
l F 1
3r = (0,0)O O l
1
3d = k l C y
0k ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1=x x DA AFλ=
DB BFµ=
1 2 ( 1)( 1)x x
λµ
λ µ= + + λ µ+
(1,0)F O 1
3r = (0,0)O F O
l ( 1)y k x= − O l 2
| | 1
31
kd
k
−= =
+
- 14 -
解之得: ,即直线 的方程为 .
(2)由过 的直线 与抛物线 交于 , 两点,与 轴的交点为 ,即斜率存在且
,设直线 为 ,有 ,
联立直线方程与椭圆方程,有 ,可得 ,
设 , ,即有 ,
, , , ,
由 , ,可得 , ,
∴ ,即可得 为定值
【点睛】本题考查了抛物线,由直线与抛物线的交点情况,结合它与圆的位置关系求直线方
程,根据直线与 y 轴、抛物线的交点,结合向量共线情况说明参数之和是否为定值.
21. 已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1.
(1)求 f(x)的单调增区间;
(2)是否存在 a,使 f(x)在(﹣2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存
在,说明理由.
【答案】(1)f(x)的递增区间是[lna,+∞).(2)存在实数 a≥e3,使 f(x)在(﹣2,3)上
单调递减.
【解析】
试题分析:(1)先求出函数的导数,再讨论①若 a≤0,②若 a>0 的情况,从而求出单调区
间;
(2)由 f′(x)=ex﹣a≤0 在(﹣2,3)上恒成立.从而 a≥ex 在 x∈(﹣2,3)上恒成立,从而 f
(x)在(﹣2,3)上为减函数,得 a≥e3.故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(﹣2,3)上单调递
减.
解 f′(x)=ex﹣a,
(1)若 a≤0,则 f′(x)=ex﹣a≥0,
2
4k = ± l 2 ( 1)4y x= ± −
(1,0)F l C A B y D
0k ≠ l ( 1)y k x= − (0, )D k−
2 4
( 1)
y x
y k x
=
= −
2 2 2 22( 2) 0k x k x k− + + =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1=x x
1 1( , )DA x y k= +
1 1( , )AF x yλ λ λ λ= − −
2 2( , )DB x y k= +
2 2( , )BF x yµ µ µ µ= − −
DA AFλ= DB BFµ=
1 1x
λ
λ= + 2 1x
µ
µ= +
1 2 1( 1)( 1)x x
λµ
λ µ= =+ + 1λ µ+ = −
- 15 -
即 f(x)在 R 上递增,
若 a>0,ex﹣a≥0,∴ex≥a,x≥ln a.
因此 f(x)的递增区间是[lna,+∞).
(2)由 f′(x)=ex﹣a≤0 在(﹣2,3)上恒成立.
∴a≥ex 在 x∈(﹣2,3)上恒成立.
又∵﹣2<x<3,∴e﹣2<ex<e3,只需 a≥e3.
当 a=e3 时 f′(x)=ex﹣e3 在 x∈(﹣2,3)上,f′(x)<0,
即 f(x)在(﹣2,3)上为减函数,
∴a≥e3.
故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(﹣2,3)上单调递减.
考点:利用导数研究函数的单调性.
22. 在平面直角坐标系 中,已知曲线 : ( 为参数).曲线 :
( 为参数),且 .点 为曲线 与 的公共点.
(1)求动点 的轨迹方程;
(2)在以原点 为极点, 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 的极坐标方程为
,求动点 到直线 距离的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
( 1 ) 设 点 , 点 P 同 时 满 足 曲 线 与 的 方 程 , 消 参 得 , ,
,由 ,即可求得点 的轨迹方程;
(2)由 , ,将极坐标方程转化为直角坐标方程,动点 为圆心在原
点,半径为 3 圆,先求出圆心到直线 的距离,即可求出动点 到直线 距离的最大值.
【详解】(1)设点 P 的坐标为 .
因为点 P 为曲线 与 的公共点,所以点 P 同时满足曲线 与 的方程.
的
xOy 1C 1
1
3 cos ,
sin .
x t
y t
α
α
= − +
= 1t 2C
2
2
3 cos ,
sin .
x t
y t
β
β
= +
= 2t tan tan 1α β = − P 1C 2C
P
O x l
cos 2 sin 5 0ρ θ ρ θ− + = P l
( )2 2 9 3x y x+ = ≠ ± 5 3+
P ( ),x y 1C 2C 1tan 3
y
x
θ = +
2tan 3
y
x
θ = − 1 2tan tan 1θ θ = − P
cosx ρ θ= siny ρ θ= P
l P l
( ),x y
1C 2C 1C 2C
- 16 -
曲线 消去参数可得 ,曲线 消去参数可得 .
由 ,所以 ,
所以点 的轨迹方程为 .
(2)因为直线 的极坐标方程为 ,
根据 , 可化直线 的直角坐标方程为 ,
因为动点 的轨迹为圆 (去掉两点 ),
圆心 到直线 的距离为 ,
所以动点 到直线 的距离的最大值为 .
【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与
圆的位置关系,考查学生转化和计算能力,属于基础题.
23. 已知函数
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 ,求 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 或 .
【解析】
【分析】
(1)由题意 ,令 即有 求解集即可;(2)由绝对值的几何
含义知 ,则 等价于 ,即可求 的取值范围.
【详解】(1)当 时, ,
令 ,即求 解集,
∴解之得: .
的
1C 1tan 3
y
x
θ = + 2C 2tan 3
y
x
θ = −
tan tan 1α β = − 13 3
y y
x x
⋅ = −+ −
P ( )2 2 9 3x y x+ = ≠ ±
l cos 2 sin 5 0ρ θ ρ θ− + =
cosx ρ θ= siny ρ θ= l 2 5 0x y− + =
P ( )2 2 9 3x y x+ = ≠ ± ( )3,0±
O l 5 5
5
d = =
P l 5 3+
( ) 2 3f x x a x a= − + − +
2a = ( ) 3f x ≥
( ) 1f x ≥ a
( ] [ ), 0 3,−∞ +∞ 2a ≤ 4a ≥
( ) 3f x ≥ ( ) ( ) 3h x f x= − ( ) 0h x ≥
( ) 3f x a≥ − ( ) 1f x ≥ 3 1a − ≥ a
2a = ( )
3 2 , 1
2 1 1,1 2
2 3, 2
x x
f x x x x
x x
− ≤
= − + − = < <
− ≥
2 , 1
( ) ( ) 3 2,1 2
2 6, 2
x x
h x f x x
x x
− ≤
= − = − < <
− ≥
( ) 0h x ≥
( ] [ ), 0 3,−∞ +∞
- 17 -
(2)因为 ,
由 ,即等价于 ,
解得 或 .
【点睛】本题考查了解绝对值不等式,应用等价转化、绝对值的几何含义求解集、参数范围.
( ) 2 3 3f x x a x a a= − + − + ≥ −
( ) 1f x ≥ 3 1a − ≥
2a ≤ 4a ≥
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