2015年数学理高考课件8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系 38页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．　 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．　 3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程，其判别式为 Δ ，设圆心到直线的距离为 d ，圆的半径为 r ，位置关系列表如下： ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．以圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x ， y ) 为切点的切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . 2 ．过圆外一点的圆的切线一定有两条，千万不要遗漏，特别注意当算出的 k 值只有一个时，结合图形检验，一定不要忽视斜率不存在的情况． 1 ．圆 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 6 与直线 2 x ＋ y － 5 ＝ 0 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相切　　　　　　　　 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离 答案： B 2 ． (2013 年高考浙江卷 ) 直线 y ＝ 2 x ＋ 3 被圆 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＝ 0 所截得的弦长等于 ________ ． 圆与圆的位置关系 ⊙ O 1 、 ⊙ O 2 半径分别为 r 1 、 r 2 ， d ＝ | O 1 O 2 |. ____________________[ 通关方略 ]____________________ 两圆不同的位置关系与对应公切线的条数 当两圆外离时，有 4 条公切线； 当两圆外切时，有 3 条公切线； 当两圆相交时，有 2 条公切线； 当两圆内切时，有 1 条公切线； 当两圆内含时，没有公切线． 3 ．圆 ( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 与圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9 的位置关系为 ( 　　 ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案： B 4 ． (2014 年温州十校模拟 ) 已知两圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 10 和 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 20 相交于 A ， B 两点，则直线 AB 的方程是 ________ ． 解析： 因为点 A ， B 同时在两个圆上，所以联立两圆方程作差并消去二次项可得直线 AB 的方程为 x ＋ 3 y ＝ 0. 答案： x ＋ 3 y ＝ 0 直线与圆的位置关系 【 例 1】 　 (1)(2013 年高考陕西卷 ) 已知点 M ( a ， b ) 在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 外，则直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 O 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相切　　　　　　　　 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 (2) 若直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 与圆 ( x － a ) 2 ＋ y 2 ＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． [ － 3 ，－ 1] B ． [ － 1,3] C ． [ － 3,1] D ． ( － ∞ ，－ 3] ∪ [1 ，＋ ∞ ) [ 答案 ] 　 (1)B 　 (2)C 反思总结 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法 (1) 代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大； (2) 几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小． 变式训练 1 ． (1) 直线 x ＋ y ＝ 5 和圆 O ： x 2 ＋ y 2 － 4 y ＝ 0 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相离 B ．相切 C ．相交不过圆心 D ．相交过圆心 (2) 已知圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x ＝ 0 ， l 是过点 P (3,0) 的直线，则 ( 　　 ) A ． l 与 C 相交　　　　 B ． l 与 C 相切 C ． l 与 C 相离 D ．以上三个选项均有可能 答案： (1)A 　 (2)A 圆的切线、弦长问题 2 ．求过圆外一点 ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程 (1) 几何方法 当斜率存在时，设为 k ，切线方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，即 kx － y ＋ y 0 － kx 0 ＝ 0. 由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程． (2) 代数方法 设切线方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，即 y ＝ kx － kx 0 ＋ y 0 ，代入圆的方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ ＝ 0 ，求得 k ，切线方程即可求出． 圆与圆的位置关系 【 例 3】 　 (2013 年高考江苏卷 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (0,3) ，直线 l ： y ＝ 2 x － 4 ，设圆 C 的半径为 1 ，圆心在 l 上． (1) 若圆心 C 也在直线 y ＝ x － 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆 C 上存在点 M ，使 MA ＝ 2 MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围． 反思总结 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x 2 、 y 2 项得到． 答案： C —— 直线与圆、圆与圆的创新题 1 ．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题． 2 ．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法． 直线与圆位置关系的创新 【 典例 1】 　在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2 － 8 x ＋ 15 ＝ 0 ，若直线 y ＝ kx － 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 ________ ． 由题悟道 本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想在解题中的应用，即通过数形结合将问题转化为圆心 C 到直线的距离问题或两圆的位置关系，进而得到关于 k 的不等式，从而确定出 k 的范围，得出 k 的最大值，这种以 “ 以形助解 ” 探究解题思路的思想方法值得我们仔细体会． 圆与集合、区域面积的创新 [ 答案 ] 　 C 由题悟道 1 ． 充分理解题目信息，将问题转化为圆心点与区域的位置关系是解决问题的关键，也是创新点，但应注意构成圆的条件！ 2 ．解决与圆有关的问题应根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何法解决． 1 ．集合 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ＝ 4} ， B ＝ {( x ， y )|( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ r 2 } ，其中 r >0 ，若 A ∩ B 中有且仅有一个元素，则 r 的取值集合为 ( 　　 ) A ． {3} B ． {7} C ． {3,7} D ． {2,7} 答案： C 本小节结束 请按 ESC 键返回