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- 2021-07-01 发布
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2017 年江苏省南京市高考一模数学
一、填空题(每题 5 分,共 70 分)
1.已知集合 A={x||x|≤2},B={x|3x-2≥1},则 A∩B=____.
解析:由 A 中不等式解得:-2≤x≤2,即 A={x|-2≤x≤2},
由 B 中不等式解得:x≥1,即 B={x|x≥1},
则 A∩B={x|1≤x≤2}.
答案:{x|1≤x≤2}
2.复数 2
12
ai
i
(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为____.
解析:
2 1 2 4 2 1 2 124
1 2 1 2 1 2 5 5 5
= =a i i a a i aa i a ii i i
.
∵复数 是纯虚数
∴
4 05
2105
=a
a
,解得:a=4.
答案:4.
3.已知命题 p: x∈R,x2+2x+a≤0 是真命题,则实数 a 的取值范围是____.
解析:若命题 p: x∈R,x2+2x+a≤0 是真命题,
则判别式△=4-4a≥0,
即 a≤1.
答案:(-∞,1].
4.从长度为 2、3、5、6 的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率为____.
解析:从长度为 2、3、5、6 的四条线段中任选三条,
共有 2、3、5;2、3、6;2、5、6;3、5、6;4 种情况,
能构成三角形的有 2、5、6;3、5、6,共两种情况,
所以 P(任取三条,能构成三角形)= 2
4
= 1
2
.
答案: 1
2
5.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间[4,5)上的数据的频数为____.
解析:根据题意,
在区间[4,5]的频率为:1-(0.05+0.1+0.15+0.4)×1=0.3,
而总数为 100,因此频数为 30.
答案:30.
6.在如图所示的算法流程图中,若输出的 y 的值为 26,则输入的 x 的值为____.
解析:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 2
54
2 2 4<
x
y
x x x
的值,
当输出的 y 的值为 26 时,显然 x<4,有 x2-2x+2=26,
解得:x=-4 或 x=6(舍去)
答案:-4
7.在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 为抛物线 x2=8y 的焦点,则点 F 到双曲线
2
2 19
yx 的渐
近线的距离为____.
解析:抛物线 x2=8y 的焦点 F(0,2),
双曲线
2
2 19
yx 的渐近线方程为 y=±3x,
则 F 到双曲线
2
2 19
yx 的渐近线的距离为
22
2 10
531
d
.
答案: 10
5
.
8.已知 a,b 为实数,且 a≠b,a<0,则 a____
2
2 bb a .(填“>”、“<”或“=”)
解析:∵a≠b,a<0,
∴ 22
20( ) <abbabaa
,
∴
2
2< baba .
答案:<.
9.△ABC 是直角边等于 4 的等腰直角三角形,D 是斜边 BC 的中点, 1 ·4
=AM AB m AC ,
向量 AM 的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界),则 ·AM BM 的取值范围是____.
解析:以 AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,作图如下图,
点 A(0,0),B(4,0),C(0,4),D(2,2),
则 11·44
= =AM AB m AC (4,0)+m(0,4)=(1,4m),则 M(1,4m).
又∵点 M 在△ACD 的内部(不含边界),∴1<4m<3, 13
44
< <m ,
则 ═(1,4m)·(-3,4m)=16m2-3,∴-2<16m2-3<6.
答案:(-2,6).
10.已知四数 a1,a2,a3,a4 依次成等比数列,且公比 q 不为 1.将此数列删去一个数后得到
的数列(按原来的顺序)是等差数列,则正数 q 的取值集合是____.
解析:因为公比 q 不为 1,所以不能删去 a1,a4.设{an}的公差为 d,则
①若删去 a2,则由 2a3=a1+a4 得 2a1q2=a1+a1q3,即 2q2=1+q3,
整理得 q2(q-1)=(q-1)(q+1).
又 q≠1,则可得 q2=q+1,又 q>0 解得 15
2q ;
②若删去 a3,则由 2a2=a1+a4 得 2a1q=a1+a1q3,即 2q=1+q3,整理得 q(q-1)(q+1)=q-1.
又 q≠1,则可得 q(q+1)=1,又 q>0 解得 15
2q .
综上所述, 15
2q .
答案:{ 15
2
,15
2
}.
11.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,F 是棱 BC 的中点,M 是线段 A1F 上的动点,则△
MDD1 与△MCC1 的面积和的最小值是____.
解析:由题意,就是求 M 到 DD1 与 CC1 距离和的最小值,由于 A1F 在平面 ABCD 上的射影为 AF,
故问题转化为正方形 ABCD 中,AF 上的点到 D,C 距离和的最小值,设出 D 关于 AF 的对称点
D',则 DD′= 45
5
,cos∠CDD′= 1
5
∴ 16 4 5 1 651 2 15 5 55
CD ,
∴△MDD1 与△MCC1 的面积和的最小值是 1 65 65
2 5 10.
答案: 65
10
.
12.已知函数 f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于 x 的不等式 f(x)>c-1 的
解集为(m-4,m+1),则实数 c 的值为____.
解析:∵函数 f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],
∴△=0,
∴a2+4b=0,
∴
2
4
ab .
∵关于 x 的不等式 f(x)>c-1 的解集为(m-4,m+1),
∴方程 f(x)=c-1 的两根分别为:m-4,m+1,
即方程:
2
2 14
ax ax c 两根分别为:m-4,m+1,
∵方程:
2
2 14
ax ax c 根为:
12
=axc,
∴两根之差为: 2 1 1 4( )( )c m m ,
21
4c .
答案: 21
4 .
13.若对任意的 x∈D,均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x)
在区间 D 上的“折中函数”.已知函数 f(x)=(k-1)x-1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且 f(x)是
g(x)到 h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”,则实数 k 的值构成的集合是____.
解析:根据题意,可得 0≤(k-1)x-1≤(x+1)lnx 在 x∈[1,2e]上恒成立.
当 x∈[1,2e]时,函数 f(x)=(k-1)x-1 的图象为一条线段,
于是,
10
20
f
fe
,解得 k≥2.
另一方面, 1 ln 11 xxk x
在 x∈[1,2e]上恒成立.
令 1 ln 1 ln 1ln= xx xm x xx x x
,
则 2
ln= xxmx x
.
由于 1≤x≤2e,
所以 1ln 1 0=xx x ,
于是函数 x-lnx 为增函数,
从而 x-lnx≥1-ln1>0,
所以 m′(x)≥0,
则函数 m(x)为[1,2e]上的增函数.
所以 k-1≤[m(x)]min=m(1)=1,
即 k≤2.
综上,k=2.
答案:{2}.
14.若实数 x,y 满足 42x y x y ,则 x 的取值范围是____.
解析:方法一:【几何法】
当 x=0 时,解得 y=0,符合题意,当 x>0 时,解答如下:
令 []0,t y x ,原方程可化为: 22 2
xt x t ,
记函数 2 2
( ) xf t t , 2( )g t x t,t∈[0, x ],
这两个函数都是关于 t 的函数,其中 x 为参数,
f(t)的图象为直线,且斜率为定值-2,
g(t)的图象为四分之一圆,半径为为 x ,
问题等价为,在第一象限 f(t),g(t)两图象有公共点,
①当直线与圆相切时,由 d=r 解得 x=20,
②当直线过的点 A(0,
2
x )在圆上的点(0, )处时,
即
2
= xx ,解得 x=4,
因此,要使直线与圆有公共点,x∈[4,20],
综合以上分析得,x∈[4,20]∪{0}.
方法二:【代数法】
令 []0,t y x ,原方程可化为: 242x t x t ,
因为 x-y=x-t2≥0,所以 x≥t2≥0,
两边平方并整理得,20t2-8xt+x2-4x=0(*),
这是一个关于 t 的一元二次方程,则方程(*)有两个正根(含相等),
22
2
12
64 80 4 0
1 4020
=
=
x x x
t t x x
,解得,x∈[4,20]∪{0}.
特别地,当 x=0 时,y=0,符合题意.
答案:[4,20]∪{0}.
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
15.如图,在平面直角坐标系 xOy 上,点 A(1,0),点 B 在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π).
(1)若点 B 34()55
, ,求 tan(θ+
4
)的值;
(2)若OA OB OC, 18
13OB OC,求 cos(
3
-θ).
解析:(1)利用三角函数的定义及其和差公式即可得出;
(2)利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出.
答案:(1)由点 B ,∴sinθ= 4
5
,cosθ= 3
5 ,tanθ= 4
3 .
∴
4 1tan tan 13tan 4 71 tan tan
4
4
4 1 3
( )
;
(2)∵ ,
∴OC =(1+cosθ,sinθ).
,
∴(cosθ,sinθ)·(1+cosθ,sinθ)=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1=18
13
,
解得 cosθ= 5
13
,∵0<θ<π,∴ 2 12sin 1 cos 13
=.
∴ 1 5 3 12 5 12 3cos cos cos sin sin3 3 3 2 13 2 13 26
( ) .
16.如图,六面体 ABCDE 中,面 DBC⊥面 ABC,AE⊥面 ABC.
(1)求证:AE∥面 DBC;
(2)若 AB⊥BC,BD⊥CD,求证:AD⊥DC.
解析:(1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足,由已知得 DO⊥面 ABC,由此能证明 AE∥面 DBC.
(2)由已知得 DO⊥AB,AB⊥面 DBC,从而 AB⊥DC,由此能证明 AD⊥DC.
答案:(1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足.
因为面 DBC⊥面 ABC,又面 DBC∩面 ABC=BC,DO面 DBC,
所以 DO⊥面 ABC.
又 AE⊥面 ABC,则 AE∥DO.
又 AE 面 DBC,DO 面 DBC,故 AE∥面 DBC.
(2)由(1)知 DO⊥面 ABC,AB 面 ABC,所以 DO⊥AB.
又 AB⊥BC,且 DO∩BC=O,DO,BC 平面 DBC,则 AB⊥面 DBC.
因为 DC 面 DBC,所以 AB⊥DC.
又 BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB 面 ABD,则 DC⊥面 ABD.
又 AD 面 ABD,故可得 AD⊥DC.
17.如图,某城市有一条公路正西方 AO 通过市中心 O 后转向北偏东α角方向的 OB,位于该
市的某大学 M 与市中心 O 的距离 3 13OM km,且∠AOM=β,现要修筑一条铁路 L,L 在
OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,且经过大学 M,其中 tanα=2,
3cos
13
,AO=15km.
(1)求大学 M 在站 A 的距离 AM;
(2)求铁路 AB 段的长 AB.
解析:(1)在△AOM 中,利用已知及余弦定理即可解得 AM 的值;
(2)由 3cos
13
,且β为锐角,可求 sinβ,由正弦定理可得 sin∠MAO,结合 tanα=2,
可求 sinα,cosα,sin∠ABO,sin∠AOB,结合 AO=15,由正弦定理即可解得 AB 的值.
答案:(1)在△AOM 中,A0=15,∠AOM=β,且 3cos
13
, 3 13OM ,
由余弦定理可得:AM2=OA2+OM2-2OA·OM·cos∠AOM= 22 33 13 15 2 3 13 15 72
13
( ) .
所以可得: 62AM ,大学 M 在站 A 的距离 AM 为62km.
(2)∵ ,且β为锐角,
∴ 2sin
13
,
在△AOM 中,由正弦定理可得:
sin sin
AM OM
MAO
,即
62
3 132
sin13 MAO
,
∴ 2sin 2MAO,
∴
4MAO ,
∴∠ABO=α-
4
,
∵tanα=2,
∴ 2sin
5
= , 1cos
5
,
∴ 1sin sin 4 10
( )ABO ,
又∵∠AOB=π-α,
∴sin∠AOB=sin(π-α)= 2
5
.
在△AOB 中,AO=15,由正弦定理可得:
sin sin
AB AO
AOB ABO
,即
15
21
5 10
=
AB
,
∴解得 30 2AB ,即铁路 AB 段的长 AB 为30 2 km.
18.设椭圆 C:
22
221xy
ab(a>b>0)的离心率 3
2e ,直线 y=x+ 2 与以原点为圆心、椭
圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设直线 1
2x 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 D,若圆 D 与 y 轴相
交于不同的两点 A,B,求△ABD 的面积;
(3)如图,A1,A2,B1,B2 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 B2P 交 x 轴
于点 F,直线 A1B2 交 A2P 于点 E,设 A2P 的斜率为 k,EF 的斜率为 m,求证:2m-k 为定值.
解析:(1)由于直线 y=x+ 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切,可得
02
2
b
,解得 b.又离心率 3
2
ce a,b2=a2-c2,联立解得即可得出.
(2)把 代入椭圆方程可得: 2 11 16
=y ,可得⊙D 的方程为:
2
21 15
2 16
=xy
.令
x=0,解得 y,可得|AB|,利用 Δ
1 ·2ABDS AB OD 即可得出.
(3)由(1)知:A1(-2,0),A2(2,0),B2(0,1),可得直线 A1B2AD 的方程,设直线 A2P 的方程
为 y=k(x-2),k≠0,且 k≠± 1
2
,联立解得 E.设 P(x1,y1),与椭圆方程联立可得(4k2+1)x2-
16k2x+16k2-4=0.解得 P.设 F(x2,0),则由 P,B2,F 三点共线得,kB2P=kB2F.可得 F.即
可证明 2m-k 为定值.
答案:(1)∵直线 y=x+ 2 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切,
∴ ,化为 b=1.
∵离心率 ,b2=a2-c2=1,联立解得 a=2,c= 3 .
∴椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y;
(2)解:把 1
2x 代入椭圆方程可得: 2 11 16
=y ,解得 15
4y .
∴⊙D 的方程为:
2
21 15
2 16
=xy
.
令 x=0,解得 11
4y ,
∴ 11
2AB ,
∴ Δ
1 1 11 1 11
2 2 2 2 8ABDS AB OD .
(3)证明:由(1)知:A1(-2,0),A2(2,0),B2(0,1),
∴直线 A1B2 的方程为 y= 1
2
x+1,
由题意,直线 A2P 的方程为 y=k(x-2),k≠0,且 k≠± ,
由
1 12
2
=
=
yx
y k x
,解得 4 2 4
21( 2 )1
,kkE kk
.
设 P(x1,y1),则由
2
2
2
14
=y k x
x y
,得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0.
∴
2
1 2
16 42 41
kx k
,∴
2
1 2
82
41
kx k
, 11 2
42 41
( ) ky k x k
.
∴
2
22
8 2 4
4 1 4 )1( ,kkP kk
.
设 F(x2,0),则由 P,B2,F 三点共线得,kB2P=kB2F.
即
2
2 2
2
4 1 0141
82 0041
k
k
k x
k
,∴ 2
42
21
kx k
,∴F( 42
21
k
k
,0).
∴EF 的斜率
4 0 2121
4 2 4 2 4
2 1 2 1
k
kkm kk
kk
.
∴ 2 1 12 22
km k k 为定值.
19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 2 201021
>nT
n
的 n 的最
小值.
解析:(1)利用递推式,再写一式,两式相减,可得数列{an+1}为等比数列,从而可求数列{an}
的通项公式;
(2)求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,代入可求满足不等式 的 n 的最小值.
答案:(1)证明:当 n=1 时,2a1=a1+1,∴a1=1.
∵2an=Sn+n,n∈N*,∴2an-1=Sn-1+n-1,n≥2,
两式相减得 an=2an-1+1,n≥2,即 an+1=2(an-1+1),n≥2,
∴数列{an+1}为以 2 为首项,2 为公比的等比数列,
∴an+1=2n,∴an=2n-1,n∈N*;
(2)解:bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)·2n,
∴Tn=3·2+5·22+…+(2n+1)·2n,
∴2Tn=3·22+5·23+…+(2n+1)·2n+1,
两式相减可得-Tn=3·2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1,
∴Tn=(2n-1)·2n+1+2
∴ 可化为 2n+1>2010
∵210=1024,211=2048
∴满足不等式 的 n 的最小值为 10.
20.已知函数 21 ln2
( )f x ax x,g(x)=-bx,其中 a,b∈R,设 h(x)=f(x)-g(x),
(1)若 f(x)在 2
2x 处取得极值,且 f′(1)=g(-1)-2.求函数 h(x)的单调区间;
(2)若 a=0 时,函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2
①求 b 的取值范围;
②求证: 12
2 1>xx
e
.
解析:(1)根据极值点处的导数为零,结合 f(1)=g(-1)-2 列出关于 a,b 的方程组,求出 a,
b,然后再利用导数研究导数研究单调区间;
(2)①将 a=0 代入,研究极值的符号,即可求出求 b 的取值范围,
②结合①的结论,通过适当的变形,利用放缩法和基本不等式即可证明.
答案:(1)由已知得 1=f x ax x,(x>0),
所以 222022
= =fa
,所以 a=-2.
由 f′(1)=g(-1)-2,
得 a+1=b-2,
所以 b=1.
所以 h(x)=-x2+lnx+x,(x>0).
则
1211 221= =
xx
h x x xx
,(x>0),
由 h′(x)>0 得 0<x<1,h′(x)<0 得 x>1.
所以 h(x)的减区间为(1,+∞),增区间为(0,1).
(2)①由已知 h(x)=lnx+bx,(x>0).
所以 1=h x bx,(x>0),
当 b≥0 时,显然 h′(x)>0 恒成立,此时函数 h(x)在定义域内递增,h(x)至多有一个零点,
不合题意.
当 b<0 时,令 h′(x)=0 得 1 0>x b ,令 h′(x)>0 得 10< <x b ;令 h′(x)<0 得
1>x b .
所以 h(x)极大= 1 10( ) ( ) >h ln bb ,解得 1 0< <be .
且 x→0 时,lnx<0,x→+∞时,lnx>0.
所以当 b∈( 1
e ,0)时,h(x)有两个零点.
②证明:由题意得 11
22
ln 0
ln 0
=
=
x bx
x bx
,即
1
2
1
2
= ①
= ②
bx
bx
ex
ex
,
①×②得 12
12=b x xe x x .
因为 x1,x2>0,
所以-b(x1+x2)>0,
所以 >1,
因为 10< <b e ,
所以 e-b<1,
所以 1 2 1 2222
12> > >b x x x xx x e e e ,
所以 12
2 1>xx
e
.
[选做题](选修 4-2:矩阵与变换)
21.已知点 P(a,b),先对它作矩阵
13
22
31
22
M
对应的变换,再作 20 02N
对应
的变换,得到的点的坐标为(8, 43),求实数 a,b 的值.
解析:利用矩阵的乘法,求出 MN,(NM)-1,利用变换得到的点的坐标为(8, 43),即可求
实数 a,b 的值.
答案:依题意,
13
2 0 1 322 02 3 1 3 1
22
NM
,
由逆矩阵公式得, 1
13
44
31
44
( )NM
,
所以
13
8544
4 3 331
44
,即有 a=5,b= 3 .
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,若直线 l 的
极坐标方程为 sin 2 24
( )p .
(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;
(2)已知 P 为椭圆 C:
22
139
=xy 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值.
解析:(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程即可;
(2)设 3 cos 3sin( , )P ,利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离 d,利用余
弦函数的值域确定出最小值即可.
答案:(1)直线 l 的极坐标方程为 ,
整理得: 22sin cos cos sin sin cos 2 24 4 2 2
( ) ,
即ρsinθ-ρcosθ=4,
则直角坐标系中的方程为 y-x=4,即 x-y+4=0;
(2)设 ,
∴点 P 到 直 线 l 的 距 离
2 3 co (s43 cos 3sin 4 2 3 43 2 2 6
2
|
2
)
2
|d
,
则 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2 6 .
【必做题】第 23 题、第 24 题,每题 10 分,共计 20 分.
23.抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面,
记所得数字分别为 x,y.设ξ为随机变量,若 x
y
为整数,则ξ=0;若 x
y
为小于 1 的分数,
则ξ=-1;若 x
y
为大于 1 的分数,则ξ=1.
(1)求概率 P(ξ=0);
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望 E(ξ).
解析:(1)数对(x,y)共有 16 种,利用列举法求出使 x
y
为整数的种数,由此能求出概率 P(ξ
=0).
(2)随机变量ξ的所有取值为-1,0,1,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数
学期望.
答案:(1)依题意,数对(x,y)共有 16 种,其中使 x
y
为整数的有以下 8 种:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),
所以 810 16) 2( = = =P ;
(2)随机变量ξ的所有取值为-1,0,1,
ξ=-1 有以下 6 种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),
故 63-1 16) 8( = = =P ,
ξ=1 有以下 2 种:(3,2),(4,3),故 211 16) 8( = = =P ,
∴ 3 1 1018 8 2
( )P ,
∴ξ的分布列为:
ξ -1 0 1
P 3
8
1
2
1
8
ξ的数学期望为 3 1 1 11 0 18 2 8() 4
= =E .
24.已知(x+2)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2…+an(x-1)n(n∈N*).
(1)求 a0 及
1=
n
ni
i
Sa ;
(2)试比较 Sn 与(n-2)3n+2n
2 的大小,并说明理由.
解析:(1)令 x=1,则 a0=3n,再令 x=2,则
0
4
=
=
n
n
i
i
a ,可得
1=
n
ni
i
Sa 的值.
(2)要比较 Sn 与(n-2)3n+2n2 的大小,只要比较 4n 与(n-1)3n+2n2 的大小.检验可得当 n=1 或 4
或 5 时,4n>(n-1)3n+2n2,当 n=2 或 3 时,4n>(n-1)3n+2n2.猜测当 n≥4 时,4n>(n-1)3n+2n2,
再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论.
答案:(1)令 x=1,则 a0=3n,令 x=2,则 ,所以
1
43
=
=
n
nn
ni
i
Sa .
(2)要比较 Sn 与(n-2)3n+2n2 的大小,只要比较 4n 与(n-1)3n+2n2 的大小.
当 n=1 时,4n>(n-1)3n+2n2,
当 n=2 或 3 时,4n<(n-1)3n+2n2,当 n=4 或 5 时,4n>(n-1)3n+2n2.
猜想:当 n≥4 时,4n>(n-1)3n+2n2.下面用数学归纳法证明:
①由上述过程可知,当 n=4 时,结论成立.
②假设当 n=k(k≥4,k∈N*)时结论成立,即 4k>(k-1)3k+2k2,
两边同乘以 4,得 4k+1>4[(k-1)3k+2k2]=k3k+1+2(k+1)2+[(k-4)3k+6k2-4k-2],
而(k-4)3k+6k2-4k-2=(k-4)3k+6(k2-k-2)+2k+10=(k-4)3k+6(k-2)(k+1)+2k+10>0,
所以 4k+1>[(k+1)-1]3k+1+2(k+1)2,
即 n=k+1 时结论也成立.
由①②可知,当 n≥4 时,4n>(n-1)3n+2n2 成立.
综上所述,当 n=1 时,Sn>(n-2)3n+2n2;当 n=2 或 3 时,4n<(n-1)3n+2n2,Sn<(n-2)3n+2n2;
当 n≥4 时,Sn>(n-2)3n+2n2.
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