高一数学教案：第16讲 等差数列 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 等差数列 教学内容 ‎1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；‎ ‎2. 理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数 称为等差数列的公差.‎ ‎ 2.通项公式与前项和公式 ‎⑴通项公式，为首项，为公差.‎ ‎⑵前项和公式或.‎ ‎3.等差中项 如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.‎ 即：是与的等差中项，，成等差数列.‎ ‎4.等差数列的判定方法 ‎⑴定义法：（，是常数）是等差数列；‎ ‎⑵中项法：()是等差数列.‎ ‎5.等差数列的主要性质：‎ ‎（1）‎ ‎（2）若（），则 ‎（3）若，则（反之也成立）（其中）‎ 如：‎ 练习：‎ ‎1. 判断下列数列是否为等差数列；如果是，求出公差.‎ ‎（1）数列4，7，10，13，16，…；‎ ‎（2）数列6，4，2，0，-2，-4；‎ ‎（3）数列 1,1,1,1,1； ‎ ‎（4）数列 -3，-2，-1，1，2，3. ‎ 解：（1）是，公差是3； （2）是，公差是-2； （3）是，公差是0； （4）不是.‎ ‎2. 在3与7之间插入一个数，使3，，7成等差数列，求A的值.‎ 解：因为 3，，7 成等差数列，　　所以， ． 解得 ．‎ 这部分练习可以设置为抢答题，让学生抢答。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知数列的前项和为.‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 求证：是等差数列.‎ 解： 由题设，‎ 当时， ‎ 因为 所以 又因为满足上式，‎ 所以数列的通项公式为.‎ （2） 由（1）知，，‎ 所以 ，‎ 因此，数列是一个以2为公差的等比数列.‎ 试一试：已知数列的前项和为.‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 求证：是等差数列. ‎ 解：（1）由题设，‎ 当时， ‎ 又因为，不满足上式，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）当时， ，‎ ‎ 而，这与等差数列的定义矛盾.‎ 因此，数列不是一个以2为公差的等差数列.‎ ‎【等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.】‎ ‎【将本题与例3进行比较，不难发现，形如的表达式，当时，一定是等差数列的前和公式；当时，一定不是等差数列的前和公式.用思维导图表示如下：‎ ‎ 】‎ 例2. 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+15=0。‎ ‎（1）若=5，求及a1；‎ ‎（2）求d的取值范围。‎ 解：(1)由题意知S6=, ，所以 解得a1=7，所以S6= -3, a1=7.‎ ‎(2)方法一：因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.‎ 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8.[ 故d的取值范围为d≤-2或d≥2.‎ 方法二：因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.‎ 看成关于的一元二次方程，因为有根，所以，解得或。‎ 试一试：‎ ‎1. 等差数列的前n项和为。若，，则当取最小值时，n等于（ ）‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ 解：选A，由，得到，从而，所以，因此当取得最小值时，.=，又，故，从而,.‎ ‎2. 设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若S3=3，S6 =24，则a9= .‎ 解：记首项a1公差d,则有 ‎. ‎ 例3. （1）已知为等差数列的前项和，，则 ；‎ ‎ （2）已知为等差数列的前项和，，则 .‎ 解：（1）；‎ ‎（2）方法1：令，则 ‎.‎ 因为，，‎ ‎；‎ 方法2：不妨设 ‎ ‎，‎ · ‎；‎ 试一试：‎ ‎1. 设、分别是等差数列、的前项和，，则 ‎ 解： 填.‎ ‎2.已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9