高考数学专题复习教案： 分类加法计数原理与分步乘法计数原理备考策略 2页

分类加法计数原理与分步乘法计数原理备考策略 主标题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：分类计数，分步计数，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 考点一　分类加法计数原理 ‎【例1】满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)．‎ A．14 B．13 C．12 D．9‎ 解析　由于a，b∈{－1,0,1,2}．‎ ‎(1)当a＝0时，有x＝－为实根，则b＝－1,0,1,2有4种可能；‎ ‎(2)当a≠0时，则方程有实根，‎ ‎∴Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.(*)‎ ‎①当a＝－1时，满足(*)式的b＝－1,0,1,2有4种．‎ ‎②当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能．‎ ‎③当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．‎ ‎∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．‎ 答案　B ‎【备考策略】 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．‎ 考点二　分步乘法计数原理 ‎【例2】 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)．‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 解析　先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A·2·1＝12(种)不同的排列方法．‎ 答案　A ‎【备考策略】 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．‎ ‎(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．‎ 考点三　两个计数原理的综合应用 ‎【例3】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________.‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ 审题路线　由于区域1,2,3与区域4相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区域不同色，因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．‎ 解析　按区域1与3是否同色分类；‎ ‎(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法．‎ ‎∴区域1与3涂同色，共有4A＝24种方法．‎ ‎(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．‎ ‎∴这时共有A×2×1×3＝72种方法，‎ 故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.‎ 答案　96‎ ‎【备考策略】(1)解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．‎ ‎(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．‎