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- 2021-07-01 发布
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第七章
立体几何
第六讲 空间向量及其运算
1 知识梳理 • 双基自测
2 考点突破 • 互动探究
3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
• 知识点一 空间向量的有关概念
• 1.空间向量的有关概念
• (1)空向量:在空中,具有________和________的量叫做空向量,其大小
叫做向量的________或______.
• (2)相等向量:方向________且模________的向量.
• (3)共线向量:如果表示空向量的有向线段所在的直线________或________,
则这些向量叫做____________或____________.
• (4)共面向量:平行于同一________的向量叫做共面向量.
大小 方向
长度 模
相同 相等
平行 重合
共线向量 平行向量
平面
a,b 0≤a,b≤π
互相垂直
|a||b|cos〈a,b〉
a·b+a·c
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
AC
A
D
36π
考点突破 • 互动探究
考点一 空间向量的线性运算——自主练透
例 1
• (1)用基向量表示指定向量的方法
• 用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求观察图形,将已知向量和未知
向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则,把
所求向量用已知基向量表示出来.
• (2)向量加法的多边形法则
• 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,
我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.
• 提醒:空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.
例 2
考点三 空间向量的坐标运算——师生共研
例 3
• 空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似,可对比应用.
A
D
例 4
ACD
ABCD
名师讲坛 • 素养提升
• 如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=
AA′,∠ACB=90°,D,E分别为棱AB,BB′的中点.
• (1)求证:CE⊥A′D;
• (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
向量在立体几何中的简单应用
例 5
• 〔变式训练4〕
(1)如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱都为
1,且两两夹角为60°.则AC1=______;BD1与AC夹角的余弦值为______.
A
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