连城一中 2014－2015 学年第二学期第 1 次月考 高二（理）数学试卷 7页

连城一中 2014－2015 学年第二学期第 1 次月考 高二（理）数学试卷 （时间：120 分钟 总分：150 分） 一、选择题：（本大题共10 小题，每小题 5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. 复数 2 1 2 i i   的共轭复数是( )． A ． 3 5 i B . 3 5 i C ． i D ．i 2. 在用反证法证明命题“已知  , , 0,2a b c  ，求证  2a b ，  2b c ，  2c a 不可能 都大于1”时，反证时假设正确的是( ) A ．假设  2a b ，  2b c ，  2c a 都小于1 B ．假设  2a b ，  2b c ，  2c a 都大于1 C ．假设  2a b ，  2b c ，  2c a 都不大于1 D ．以上都不对 3.如图，由函数   xf x e e  的图象，直线 2x  及 x 轴所围成的阴影部分面积等于( ) A ． 2 2e e B ． 2 2 1e e  C ． 2 2 e e D ． 2 2 1e e  4.函数    3 xf x x e  的单调递增区间是（ ） A . ,2 B . 0,3 C . 1,4 D . 2, 5. 观察 2 ' 2x x ， 4 3' 4x x ， cos ' sinx x  ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函 数  f x 满足    f x f x  ，记  g x 为  f x 的导函数，则  g x 等于( ) A ．  f x B ．  f x C ．  g x D ．  g x 6. 某外商计划在 4 个候选城市投资3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个， 则该外商不同的投资方案有( ) A ．16种 B ．36 种 C ． 42 种 D ． 60 种 7. 定义域 R 的奇函数  f x ，当  ,0x  时    ' 0f x xf x  恒成立，若  3 3a f ，  1b f ，  2 2c f   ，则( ) A ． a c b  B ． c b a  C ． c a b  D ． a b c  8. 给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集， R 为实数集，C 为复数集)： ①“若 a ， b R ，则 0a b  ⇒ a b ”类比推出“若 a ， b C ，则 0a b  ⇒ a b ”； ②“若 a ，b ， c ， d R ，则复数 a bi c di   ⇒ a c ，b d ”类比推出“若 a ， b ， c ， d Q ，则 2 2a b c d   ⇒ a c ， b d ”； ③“若 a ， b R ，则 0a b  ⇒ a b ”类比推出“若 a ， b C ，则 0a b  ⇒ a b ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．3 9.如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有 n ( 1n  ， n N )个 点，每个图形总的点数记为 na ，则 2 3 3 4 4 5 2014 2015 9 9 9 9 a a a a a a a a      ( ) A . 2014 2015 B . 2013 2014 C . 3 2015 D . 9 2015 10. 设集合     1 2 3 4 5= , , , , | 1,0,1 , 1,2,3,4,5iA x x x x x x i   ，那么集合 A 中满足条件 “ 1 2 3 4 51 3x x x x x      ”的元素个数为（ ） A .130 B .120 C .90 D . 60 二、填空题：（本大题共 5小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置） 11. 如果复数   2 1m i mi  (其中 i 是虚数单位)是实数，则实数 m  ________. 12.  1 20 xe x dx  ________. 13. 用数字 2 ，3组成四位数，且数字 2 ，3 至少都出现一次，这样的四位数共有____________ 个．(用数字作答) 14. 观察下列等式 1 1 2 3 4 9   3 4 5 6 7 25     4 5 6 7 8 9 10 49       … 照此规律，第 n 个等式为_________________________________________________． 15. 下列四个命题中正确的有_______（填上所有正确命题的序号） ①若实数 a ，b ， c 满足 3a b c   ，则 a ，b ， c 中至少有一个不小于1； ②若 z 为复数，且 1z  ，则 z i 的最大值等于 2 。 ③任意  0,x  ，都有 sinx x ； ④定积分 2 2 0 4x dx     。 三、解答题：（本大题共 6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （13 分）已知复数 1z 满足  1 2 1 1z i i    (i 为虚数单位)，复数 2z 的虚部为 2 ，且 1 2z z 是实数，求 2z . 17. （13 分）给定数字 0 、1、 2 、3、5 、9每个数字最多用一次。 (Ⅰ)可组成多少个四位数？(Ⅱ)可组成多少个四位奇数？(Ⅲ)可组成多少个四位偶数？(Ⅳ) 可组成多少个整数？ 18.观察以下 5 个等式： 1 1   1 3 2   1 3 5 3     1 3 5 7 4     1 3 5 7 9 5       …… 照以上式子规律．．．．．．．： （Ⅰ）写出第 6 个等式，并猜想第 n 个等式；（ n N  ） （Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立。（ n N  ） 19. （13 分）如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN ，要求 M 在 AB 的延长线上， N 在 AD 的延长线上，且对角线 MN 过C 点。已知 3AB  米， 2AD  米。设 xAN  （单位：米），若 )4,3[x （单位：米），则当 AM ， AN 的长度分别是多少 时，花坛 AMPN 的面积最大？并求出最大面积。 A B C D M N P 20. （14 分）在 ABC 中，三个内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， 若 1 1 3 a b b c a b c      ， (Ⅰ)求证： 1c a a b b c    ； （Ⅱ）试问 , ,A B C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出 证明． （Ⅲ）若 3b  ，sin 2sinC A ，求 a ， c 的值. 21. （14 分）已知函数   2 lnxf x a x x a   ，（ 1a  ）. （Ⅰ）求证：函数  f x 在 (0, )  上单调递增；函数  f x 在 ( , 0) 上单调递减； （Ⅱ）若关于 x 的方程   1f x m  有四个不同的实数根，求实数 m 的取值范围； （Ⅲ）比较  1f 与  1f  大小. 2014－2015 学年第二学期第 1 次月考高二（理）数学参考答案： 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D D D A C B A 二、填空题： 11. 1 12. e 13.14 14.      21 3 2 2 1n n n n       15.①②③④ 三、解答题： 16. 解：  1 2 1 1z i i    ⇒ 1 2z i  .(4 分) 设 2 2z a i  ， a R ，则       1 2 2 2 2 2 4z z i a i a a i        .（8 分） ∵ 1 2z z R  ，∴ 4a  。∴ 2 4 2z i  .(13 分) 17. 解：(Ⅰ) 组成的四位数有： 1 3 5 5 300A A  个。 …………3 分 (Ⅱ) 组成的四位奇数有： 1 1 2 4 4 4 192A A A  个。 …………6 分 (Ⅲ) 组成的四位偶数有： 3 1 2 5 4 4 108A A A  个。…………9 分 (Ⅳ)六位数： 1 5 5 5 600A A  ；五位数： 1 4 5 5 600A A  ；四位数： 1 3 5 5 300A A  ； 三位数： 1 2 5 5 100A A  ；二位数： 1 1 5 5 25A A  ；一位数： 1 6 6A  。 ∴组成的整数共有： 6 25 100 300 600 600 1631      个。…………13 分 18. 解：（Ⅰ）第 6 个等式为 1 3 5 7 9 11 6       ………………（2 分） 第 n 个等式为      1 3 5 7 1 2 1 1n nn n          ……（5 分） （Ⅱ）下面用数学归纳法给予证明：      1 3 5 7 1 2 1 1n nn n          （1）当 1n  时，由已知得原式成立； ……………………………………（6 分） （2）假设当 n k 时，原式成立， 即      1 3 5 7 1 2 1 1k kk k          …………………（7 分） 那么，当 1n k  时，左边        11 3 5 7 1 2 1 1 2 1k kk k                         1 1 11 1 2 1 1 2 1 1 1k k k kk k k k k               。 故 1n k  时，原式也成立。…………………（12 分） 由（1）（2）知，      1 3 5 7 1 2 1 1n nn n          成立。………（13 分） 19. 解： A B C D M N P 由于 DN DC AN AM  ，则 3 2 xAM x   ，故 23 2AMPN xS AN AM x     …………3 分 令 23 2 xy x   ，则         2 2 2 6 2 3 3 4' 2 2 x x x x xy x x       …………7 分 因为当  3,4x 时， ' 0y  ，所以函数 3 2 xy x   在 3,4 上为单调递减函数，10 分从而 当 3x  时 3 2 xy x   取得最大值，即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米，此时 3AN  米， 9AM  米 …………13 分 20. 解:（Ⅰ）∵ 1 1 3 a b b c a b c      ，∴ 3a b c a b c a b b c       .（3 分） ∴ 1c a a b b c    ，（5 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：       c b c a a b a b b c      ，∴ 2 2 2b a c ac   .（7 分） 在 ABC 中，由余弦定理，得 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac     ，（8 分） ∵ 0 180B    ，∴ 60B  .（9 分） ∴ 2 120A C B    .∴ , ,A B C 成等差数列．（10 分） （Ⅲ）sin 2sinC A ，由正弦定理得 2c a ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，即 2 29 4 2 2 cos 3a a a a     ， 解得 3a  ，所以 2 2 3c a  。（14 分） 21.解：（Ⅰ）    ' ln 2 ln 1 ln 2x xf x a a x a a a x      ， 当  0,x  时， 2 0x  。又 1a  ，∴ 1 0xa   ， ln 0a  ， ∴    ' 1 ln 2 0xf x a a x    ，∴函数  f x 在  0, 上单调递增． 当  ,0x  时， 2 0x  ， 1 0xa   ， ln 0a  ， ∴    ' 1 ln 2 0xf x a a x    ，∴函数  f x 在  ,0x  上单调递减。……（5 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，  f x 的最小值为  0 1f  。 由   1f x m  知，   1f x m  或   1f x m  。 ∵   1f x m  有四个不同的实数根，且  f x 在  ,0 上单调递减，值域为  1, ；  f x 在 0, 上单调递增，值域为 1, 。 ∴ 1 1m   ，且 1 1m   ，即 2m  。 ∴ m 的取值范围为 2, 。…………（10 分） （Ⅲ）∵ 1a  时，     1 11 1 1 ln 1 ln 2lnf f a a a a aa a               ， 设   1 2lng a a aa    ，则    22 2 2 2 11 2 2 1' 1 0aa ag a a a a a        。 ∴  g a 在 1, 上为增函数， ∴ 1a  时，    1 1 1 2ln1 0g a g     。 ∴ (1) ( 1)f f  。…………（14 分）