高考数学专题复习练习第五章 数列 质量检测 11页

第五章 数列 ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知实数列－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于 (　　)‎ A．－4　　　　　　　　　　B．±4‎ C．－2 D．±2 解析：∵xz＝(－1)×(－2)＝2，y2＝2，∴y＝－(正不合题意)，∴xyz＝－2.‎ 答案：C ‎2．等差数列{an}的通项公式是an＝1－2n，其前n项和为Sn，则数列{}的前11项和为 ‎(　　)‎ A．－45 B．－50‎ C．－55 D．－66‎ 解析：Sn＝，∴＝＝－n，‎ ‎∴{}的前11项的和为－66.‎ 答案：D ‎3．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n(n－1)，则该数列是 (　　)‎ A．公比为2的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公差为2的等差数列 D．公差为4的等差数列 解析：由条件可得n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n(n－1)－2(n－1)(n－2)＝4(n－1)，当n ‎＝1时，a1＝S1＝0，代入适合，故an＝4(n－1)，故数列{an}表示公差为4的等差数列．‎ 答案：D ‎4．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，这是因为 这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．‎ 试问三角形数的一般表达式为 (　　)‎ A．n B.n(n＋1)‎ C．n2－1 D.n(n－1)‎ 解析：由1＋2＋3＋…＋n ‎＝n(n＋1)可得．‎ 答案：B ‎5．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值等于 (　　)‎ A．2500 B．2600‎ C．2700 D．2800‎ 解析：据已知当n为奇数时，‎ an＋2－an＝0⇒an＝1，‎ 当n为偶数时，an＋2－an＝2⇒an＝n，‎ 故an＝，‎ 故S100＝＋ ‎＝50＋50×＝2600.‎ 答案：B ‎6．在函数y＝f(x)的图象上有点列{xn，yn}，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数 列，则函数y＝f(x)的解析式可能为 (　　)‎ A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2‎ C．f(x)＝log3x D．f(x)＝()x 解析：结合选项，对于函数f(x)＝()x上的点列{xn，yn}，有yn＝()xn.由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此＝＝()xn＋1－xn＝()d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．‎ 答案：D ‎7．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为 (　　)‎ A. B. C．－ D.或 解析：设{an}的公比为q(q＞0)，由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，‎ 解得q＝.从而＝q＝.‎ 答案：B ‎8．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6‎ ‎＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于 (　　)‎ A．126 B．130‎ C．132 D．134‎ 解析：由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.‎ 又∵b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，‎ ‎∴q3＝10－6.‎ 即q＝10－2，∴a1＝1022.‎ 又∵{an}为正项等比数列，‎ ‎∴{bn}为等差数列，且d＝－2，b1＝22.‎ 故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.‎ ‎∴Sn＝22n＋×(－2)‎ ‎＝－n2＋23n＝－(n－)2＋.‎ 又∵n∈N*，故n＝11或12时，‎ ‎(Sn)max＝132.‎ 答案：C 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.‎ 解析：设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1.‎ ‎∴S6＝＝.∴q3＝3.∴a1q3＝3.‎ 答案：3‎ ‎10．已知数列{an}满足＝(n∈N*)，且a1＝1，则an＝________.‎ 解析：由已知得＝，‎ ＝，‎ ‎…‎ ＝，‎ a1＝1，‎ 左右两边分别相乘得 an＝1·····…··· ‎＝ 答案： ‎11．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为________．‎ 解析：∵{an}是等差数列，‎ ‎∴S5＝‎5a3＝55，∴a3＝11.‎ ‎∴a4－a3＝15－11＝4，‎ ‎∴kPQ＝＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎12．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－·a8的值为________．‎ 解析：由已知得：(a2＋a10)＋(a4＋a8)＋a6＝‎5a6＝80⇒a6＝16，又分别设等差数列首项 为a1，公差为d，则a7－a8＝a1＋6d－(a1＋7d)＝(a1＋5d)＝a6＝8.‎ 答案：8‎ ‎13．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋‎ ＋…＋＝________.‎ 解析：因为an＋m＝an＋am＋mn，则可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，则可猜 得数列的通项an＝，‎ ‎∴＝＝2(－)，‎ ‎∴＋＋＋…＋＝‎ ‎2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝ 答案： ‎14．“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中 指的数依次排列所构成的数列为{an}，则数到2 008时对应的 指头是________，数列{an}的通项公式an＝________.(填出指 头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、‎ 小指)．‎ 解析：注意到数1,9,17,25，…，分别都对应着大拇指，且1＋8×(251－1)＝2 001，因此数到2 008时对应的指头是食指．对应中指的数依次是：3,7,11,15，…，因此数列{an}的通项公式是an＝3＋(n－1)×4＝4n－1.‎ 答案：食指　4n－1‎ ‎15．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26.记Tn＝，如果存在正整 数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．‎ 解析：∵{an}为等差数列，由a4－a2＝8，a3＋a5＝26，‎ 可解得Sn＝2n2－n，‎ ‎∴Tn＝2－，若Tn≤M对一切正整数n恒成立，则只需Tn的最大值≤M即可．‎ 又Tn＝2－<2，∴只需2≤M，故M的最小值是2.‎ 答案：2‎ 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)‎ ‎16．(本小题满分12分)已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an；‎ ‎(2)求{an}前n项和Sn的最大值．‎ 解：(1)设{an}的公差为d，‎ 由已知条件得，解出a1＝3，d＝－2，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.‎ ‎(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.‎ 所以n＝2时，Sn取到最大值4.‎ ‎17．(本小题满分12分)已知数列{an}满足：a1＝，a2＝，an＋1＝2an－an－1(n≥2，n∈N*)，‎ 数列{bn}满足b1＜0,3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an；‎ ‎(2)求证：数列{bn－an}为等比数列．‎ 解：(1)证明∵2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)，‎ ‎∴{an}是等差数列．‎ 又∵a1＝，a2＝，∴an＝＋(n－1)·＝，‎ ‎(2)证明：∵bn＝bn－1＋(n≥2，n∈N*)，‎ ‎∴bn＋1－an＋1＝bn＋－＝bn－ ‎＝(bn－)＝(bn－an)．‎ 又∵b1－a1＝b1－≠0，‎ ‎∴{bn－an}是以b1－为首项，以为公比的等比数列．‎ ‎18．(本小题满分12分)(2010·衡阳联考)已知数列{an}是等差数列，a2＝3，a5＝6，数列{bn}‎ 的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式与前n项的和Mn；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ 解：(1)设{an}的公差为d，则：a2＝a1＋d，a5＝a1＋4d.‎ ‎∵a2＝3，a5＝6，所以，‎ ‎∴a1＝2，d＝1‎ ‎∴an＝2＋(n－1)＝n＋1.Mn＝na1＋d＝.‎ ‎(2)证明：当n＝1时，b1＝T1，‎ 由T1＋b1＝1，得b1＝.‎ 当n≥2时，∵Tn＝1－bn，Tn－1＝1－bn－1，‎ ‎∴Tn－Tn－1＝(bn－1－bn)，‎ 即bn＝(bn－1－bn)．‎ ‎∴bn＝bn－1.‎ ‎∴{bn}是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎∴bn＝·()n－1＝.‎ ‎19．(本小题满分13分)用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？‎ 解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，‎ 则每次交付欠款的数额顺次构成数列{an}，‎ 故a1＝100＋2000×0.01＝120(万元)，‎ a2＝100＋(2000－100)×0.01‎ ‎＝119(万元)，‎ a3＝100＋(2000－100×2)×0.01‎ ‎＝118(万元)，‎ a4＝100＋(2000－100×3)×0.01‎ ‎＝117(万元)，‎ ‎…‎ an＝100＋[2000－100(n－1)]×0.01＝120－(n－1)‎ ‎＝121－n(万元)(1≤n≤20，n∈N*)．‎ 因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列．‎ 故a10＝121－10＝111(万元)，‎ a20＝121－20＝101(万元)，‎ ‎20次分期付款的总和为 S20＝＝＝2210(万元)．‎ ‎∴实际要付300＋2210＝2510(万元)．‎ 即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2510‎ 万元．‎ ‎20．(本小题满分13分)已知数列{an}的每一项都是正数，满足a1＝2且a－anan＋1－‎2a ‎＝0；等差数列{bn}的前n项和为Tn，b2＝3，T5＝25.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎(2)比较＋＋…＋与2的大小；‎ ‎(3)[理]若＋＋…＋＜c恒成立，求整数c的最小值．‎ 解：(1)由a－anan＋1－‎2a＝0，‎ 得(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，‎ 由于数列{an}的每一项都是正数，∴an＋1＝2an，∴an＝2n.‎ 设bn＝b1＋(n－1)d，由已知有b1＋d＝3,5b1＋d＝25，‎ 解得b1＝1，d＝2，∴bn＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)得Tn＝n2，∴＝，‎ 当n＝1时，＝1＜2.‎ 当n≥2时，＜＝－.‎ ‎∴＋＋…＋＜1＋－＋－＋…＋－＝2－＜2.‎ ‎(3)[理]记Pn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋.‎ ‎∴Pn＝＋＋…＋＋，‎ 两式相减得Pn＝3－.‎ ‎∵Pn递增，∴≤Pn＜3，P4＝＞2，‎ ‎∴最小的整数c＝3.‎ ‎21．(本小题满分13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ 解：(1)∵数列{an}是等差数列，‎ ‎∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.‎ ‎∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，‎ 又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.‎ ‎(2)由等比数列{bn}满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，‎ 得＝q3＝8，∴q＝2，‎ ‎∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，‎ ‎∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.‎ ‎∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，‎ 则2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，‎ 两式相减得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n，即 ‎－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n ‎＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3，‎ ‎∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.‎