2015年数学理高考课件1-1 集合 39页

第一章　集合与常用逻辑用语 [ 最新考纲展示 ] 　 1 ．了解集合的含义，元素与集合的“属于”关系．　 2. 能用自然语言、图形语言、集合语言 ( 列举法或描述法 ) 描述不同的具体问题．　 3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．　 4. 在具体情境下，了解全集和空集的含义．　 5. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．　 6. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．　 7. 能使用 Venn 图表达集合的关系和运算． 第一节 集合 1 ．集合元素的特性： 、 、无序性． 2 ． 集合与元素的关系： 若 a 属于 A ，记作 ；若 b 不属于 A ，记作 . 3 ． 集合的表示方法： 、 、图示法． 元素与集合 确定性 互异性 a ∈ A b ∉ A 列举法 描述法 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．集合中含有参数的问题，解题时要用互异性对所求参数进行检验． 2 ．无序性常用来判断两个集合的关系． 集合间基本关系 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．集合的子集和真子集具有传递性，即若 A ⊆ B ， B ⊆ C ，则 A ⊆ C ；若 A  B ， B  C ，则 A  C . 2 ．对于集合 A ， B 若 A ∩ B ＝ A ∪ B ，则 A ＝ B . 3 ．要注意 ∅ 的特殊性，在写集合的子集时不要忘记空集和它本身． 4 ．若集合 A 中有 n 个元素，则其子集个数为 2 n ，真子集个数为 2 n － 1 ，非空真子集的个数是 2 n － 2. 2 ．已知集合 M ＝ {0,1,2,3,4} ， N ＝ {1,3,5} ， P ＝ M ∩ N ，则 P 的子集共有 ( 　　 ) A ． 2 个　 　　 B ． 4 个　 　　 C ． 6 个　 　　 D ． 8 个 解析： P ＝ M ∩ N ＝ {1,3} ，故 P 的子集有 2 2 ＝ 4 个． 答案： B 3 ．已知集合 A ＝ {2,3} ， B ＝ { x | mx － 6 ＝ 0} ，若 B ⊆ A ，则实数 m ＝ ( 　　 ) A ． 3 B ． 2 C ． 2 或 3 D ． 0 或 2 或 3 解析： 当 B 为空集时， m ＝ 0 ；当 2 ∈ B 时， m ＝ 3 ；当 3 ∈ B 时， m ＝ 2. 答案： D 集合的基本运算 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ． 集合运算的方法 (1) 对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察符号． (2) 对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 2 ．常用结论 (1) A ∩ ∅ ＝ ∅ ， A ∪ ∅ ＝ A ， A ∩ A ＝ A ， A ∪ A ＝ A . (2) A ⊆ B ⇔ A ∩ B ＝ A ⇔ A ∪ B ＝ B ⇔∁ U A ⊇∁ U B ⇔ A ∩( ∁ U B ) ＝ ∅ . 3 ． ∁ U ( A ∩ B ) ＝ ( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ) ， ∁ U ( A ∪ B ) ＝ ( ∁ U A )∩( ∁ U B ) ． 4 ． (2014 年哈师大附中 ) 设全集 U ＝ R ，集合 A ＝ { x | x ≥2} ， B ＝ { x |0≤ x <5} ，则集合 ( ∁ U A )∩ B ＝ ( 　　 ) A ． { x |0< x <2} B ． { x |0< x ≤2} C ． { x |0≤ x <2} D ． { x |0≤ x ≤2} 解析： 先求出 ∁ U A ＝ { x | x <2} ，再利用交集的定义求得 ( ∁ U A )∩ B ＝ { x |0 ≤ x <2} ． 答案： C 5 ．设集合 U ＝ {1,2,3,4} ， M ＝ { x ∈ U | x 2 － 5 x ＋ p ＝ 0} ，若 ∁ U M ＝ {2,3} ，则实数 p 的值为 ________ ． 解析： 由条件可得 M ＝ {1,4} ，把 1 代入 x 2 － 5 x ＋ p ＝ 0 ，可得 p ＝ 4. 再检验可知结论成立． 答案： 4 【 例 1 】 　 (1) (2013 年高考山东卷 ) 已知集合 A ＝ {0,1,2} ，则集合 B ＝ { x － y | x ∈ A ， y ∈ A } 中元素的个数是 ( 　　 ) A ． 1 　　　　 B ． 3 　　 C ． 5 　 D ． 9 (2) (2013 年高考江西卷 ) 若集合 A ＝ { x ∈ R | ax 2 ＋ ax ＋ 1 ＝ 0} 中只有一个元素，则 a ＝ ( 　　 ) A ． 4 B ． 2 C ． 0 D ． 0 或 4 集合的基本概念 [ 解析 ] 　 (1) 逐个列举可得． x ＝ 0 ， y ＝ 0,1,2 时， x － y ＝ 0 ，－ 1 ，－ 2 ； x ＝ 1 ， y ＝ 0,1,2 时， x － y ＝ 1,0 ，－ 1 ； x ＝ 2 ， y ＝ 0,1,2 时， x － y ＝ 2,1,0. 根据集合中元素的互异性可知集合 B 的元素为－ 2 ，－ 1,0,1,2. 共 5 个． (2) 由 ax 2 ＋ ax ＋ 1 ＝ 0 只有一个实数解，可得当 a ＝ 0 时，方程无实数解；当 a ≠ 0 时，则 Δ ＝ a 2 － 4 a ＝ 0 ，解得 a ＝ 4( a ＝ 0 不合题意舍去 ) ． [ 答案 ] 　 (1)C 　 (2)A 反思总结 判断元素与集合的关系时，若已知集合用描述法给出，且元素易列举，可一一列举后比较判断，否则，需验证对象是否满足集合中元素的共同特征，满足即 “ 属于 ” ，不满足即 “ 不属于 ” ． 答案： B 【 例 2 】 　 设全集 U ＝ R ，集合 M ＝ { x | x >1} ， P ＝ { x | x 2 >1} ，则下列关系中正确的是 ( 　　 ) A ． M ＝ P B ． P  M C ． M  P D ． ( ∁ U M )∩ P ＝ ∅ [ 解析 ] 　 对集合 P ：由 x 2 >1 ，知 x >1 或 x < － 1 ，借助数轴，故 M  P ，选 C. [ 答案 ] 　 C 集合间的基本关系 反思总结 1 ． 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系． 2 ．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、 Venn 图帮助分析． 变式训练 2 ． (2014 年云浮模拟 ) 若集合 P ＝ { x |3< x ≤22} ，非空集合 Q ＝ { x |2 a ＋ 1≤ x <3 a － 5} ，则能使 Q ⊆ ( P ∩ Q ) 成立的所有实数 a 的取值范围为 ( 　　 ) A ． (1,9) B ． [1,9] C ． [6,9) D ． (6,9] 答案： D 集合的基本运算 [ 解析 ] 　 (1) 由题意可知，集合 A ＝ { x | x ≥0} ， B ＝ { x |2≤ x ≤4} ，所以 ∁ R B ＝ { x | x <2 或 x >4} ，此时由借助数轴可得， A ∩ ∁ R B ＝ { x |0 ≤ x <2 或 x >4} ，故选 C. (2) 由韦恩图可得， A ∩ B ＝ {2} ，且全集 U ＝ {1,2,3,4} ，所以 ∁ U ( A ∩ B ) ＝ {1,3,4} ． [ 答案 ] 　 (1)C 　 (2)A 反思总结 在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩 (Venn) 图、数轴和坐标平面等工具，使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩 (Venn) 图表示；集合元素为连续实数时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍 . 以集合为背景的创新性问题是命题的一个热点，这类题目常以问题为核心，考查考生探究，发现的能力，常见的命题形式有：新定义、新运算与性质等． —— 集合的创新性问题 【 典例 1 】 　 (2014 年广东省实验中学测试 ) 若 X 是一个集合， τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足： ① X 属于 τ ， ∅ 属于 τ ； ② τ 中任意多个元素的并集属于 τ ； ③ τ 中任意多个元素的交集属于 τ . 则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑．已知集合 X ＝ { a ， b ， c } ，对于下面给出的四个集合 τ ： ① τ ＝ { ∅ ， { a } ， { c } ， { a ， b ， c }} ； ② τ ＝ { ∅ ， { b } ， { c } ， { b ， c } ， { a ， b ， c }} ； ③ τ ＝ { ∅ ， { a } ， { a ， b } ， { a ， c }} ； ④ τ ＝ { ∅ ， { a ， c } ， { b ， c } ， { c } ， { a ， b ， c }} ． 其中是集合 X 上的拓扑的集合 τ 的序号是 ________ ． 集合新定义问题 [ 解析 ] 　 ① 中， { a } ∪ { c } ＝ { a ， c } ，但 { a ， c } 不属于 τ ，所以 ① 不是集合 X 的一个拓朴； ③ 中， { a ， b } ∪ { a ， c } ＝ { a ， b ， c } ，但 { a ， b ， c } 不属于 τ ，所以 ③ 不是集合 X 的一个拓朴； ②④ 均符合，故填 ②④ . [ 答案 ] 　 ②④ 由题悟道 该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，解决时只需准确提取信息并加工利用，便可解决． 【 典例 2 】 　设集合 A ＝ {1,2,3} ， B ＝ {2,3,4,5} ，定义 A ⊙ B ＝ {( x ， y )| x ∈ A ∩ B ， y ∈ A ∪ B } ，则 A ⊙ B 中元素的个数是 ( 　　 ) A ． 7 　　　　 B ． 10 　　　　 C ． 2 5 　　　　 D ． 5 2 [ 解析 ] 　 A ∩ B ＝ {2,3} ， A ∪ B ＝ {1,2,3,4,5} ，由列举法可知 A ⊙ B ＝ {(2,1) ， (2,2) ， (2,3) ， (2,4) ， (2,5) ， (3,1) ， (3,2) ， (3,3) ， (3,4) ， (3,5)} ，共有 10 个元素，故选 B. [ 答案 ] 　 B 集合新运算与性质 由题悟道 解决创新集合新运算问题常分为三步 (1) 对新定义进行信息提取，确定化归的方向； (2) 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法； (3) 对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点． 解析： ∵ S ＝ { a ， b ， c ， d } ，由集合中元素的互异性可知当 a ＝ 1 时， b ＝－ 1 ， c 2 ＝－ 1 ， ∴ c ＝ ±i ，由“ 对任意 x ， y ∈ S ，必有 xy ∈ S ” 知 ±i ∈ S ， ∴ c ＝ i ， d ＝－ i 或 c ＝－ i ， d ＝ i ， ∴ b ＋ c ＋ d ＝ ( － 1) ＋ 0 ＝－ 1. 答案： B 2 ．已知集合 A ＝ {( x ， y )| x ＝ n ， y ＝ na ＋ b ， n ∈ Z } ， B ＝ {( x ， y )| x ＝ m ， y ＝ 3 m 2 ＋ 12 ， m ∈ Z } ．若存在实数 a ， b 使得 A ∩ B ≠ ∅ 成立，称点 ( a ， b ) 为“￡”点，则“￡”点在平面区域 C ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ≤108} 内的个数是 ( 　　 ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ．无数个 答案： A 本小节结束 请按 ESC 键返回