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- 2021-07-01 发布
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2.5.1-2.5.2 向量在物理中的应用举例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是( )
A.2 B.
C.3 D.
解析:BC的中点为D,=,所以||=.
答案:B
2.一个人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度的大小为( )
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
解析:根据速度的合成可知.
答案:C
3.给出下面四个结论:
①若线段AC=AB+BC,则=+;
②若=+,则线段AC=AB+BC;
③若向量与共线,则线段AC=AB+BC;
④若向量与反向共线,|+|=AB+BC;
其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:结论①正确,当AC=AB+BC时,B点在线段AC上,这时=+.结论②不正确,A,B,C三点不共线时,也有向量=+,而AC≠AB+BC.结论③④不正确.
答案:B
4.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
7
解析:因为|-|=||=|-|,|+-2|=|+|,
所以|-|=|+|,
所以以,为邻边的四边形为矩形,即∠BAC=90°,所以△ABC为直角三角形.
答案:B
5.已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的( )
A.重心、外心、垂心
B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心
D.外心、重心、内心
解析:∵||=||=||,即点O到A,B,C三点的
距离相等,∴点O为△ABC的外心.
如图,设D为BC边的中点,则+=2.
∵++=0,
∴+2=0,∴=2,
∴A,D,N三点共线,
∴点N在BC边的中线上.
同理,点N也在AB,AC边的中线上,
∴点N是△ABC的重心.
∵·=·,
∴·-·=0,
∴·(-)=0,
∴·=0,∴⊥.
同理,⊥,⊥,
∴点P为△ABC的垂心.
答案:C
7
6.已知向量a=(6,2),b=,过点A(3,-1)且与向量a+2b平行的直线l的方程为________.
解析:由题意得a+2b=(-2,3),则直线l的方程为3(x-3)+2(y+1)=0,即3x+2y-7=0.
答案:3x+2y-7=0
7.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,=(+),且||=||,则·=________.
解析:设BC的中点是D,如图所示,则+=2,则=,
所以O和D重合,所以BC是圆O的直径,
所以∠BAC=90°.
又||=||,
则||=1,||=2,所以∠ABC=60°,
所以·=||||cos 60°
=1×2×=1.
答案:1
8.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250J,则F与s的夹角等于________.
解析:设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.
又θ∈[0,π],∴θ=.
答案:
9.如图在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,
PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF.
求证:DP⊥EF.
证明:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1),
则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a.
于是·=(+)·(+)
=·+·+·+·
7
=1×a×cos 180°+1×(1-a)×cos 90°+a×a×cos 45°+a×(1-a)×cos 45°
=-a+a2+a(1-a)=0.所以⊥,
所以DP⊥EF.
10.已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)
解析:如图所示,设木块的位移为s,则
WF=F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500(J).
将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为
|F1|=|F|sin 30°=50×=25(N),
所以,摩擦力f的大小为
|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N),
因此Wf=f·s=|f||s|cos 180°
=1.1×20×(-1)=-22(J).
即F和f所做的功分别为500 J和-22 J.
[B组 能力提升]
1.水平面上的物体受到力F1,F2的作用,F1水平向右,F2与水平向右方向的夹角为θ,物体在运动过程中,力F1与F2的合力所做的功为W,若物体一直沿水平地面运动,则力F2对物体做功的大小为( )
A.W B.W
C.W D.W
解析:设物体的位移是s,
根据题意有(|F1|+|F2|·cos θ)|s|=W,
即|s|=,所以力F2对物体做功的大小为W.
答案:D
2.设P,Q为△ABC内的两点,且=+,=+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )
A. B.
C. D.
7
解析:如图1,过P作PE∥AC交AB于E,过P作PF∥AB,交AC于点F,
过C作CD⊥AB于D,
由平面向量基本定理及=+可知=,|PE|=|AF|,
故==,
又因为Rt△ACD∽Rt△EPO,
所以==,
==,
如图2,同理可证
===,
所以==.
答案:B
3.已知向量a=(1,1),b=(1,a)其中a为实数,O为原点,当此两向量夹角在变动时,a的范围是________.
解析:已知=(1,1),即A(1,1),如图所示,
当点B位于B1和B2时,a与b夹角为,
即∠AOB1=∠AOB2=,
此时∠B1Ox=-=,
∠B2Ox=+=,
7
故B1,B2(1,),又a与b夹角不为0,
故a≠1,由图象可知a的范围是∪(1,).
答案:∪(1,)
4.已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则(+)·(+)的最大值为________.
解析:如图所示,设=x,=a,=b,
则a·b=0,=b-a,=x=x(a+b),
其中x∈[0,1],所以=-=a-x(a+b)
=(1-x)a-xb,
=-=b-x(a+b)=-xa+(1-x)b,
所以(+)·(+)=[x(a+b)+b-a]·[(1-x)a-xb-xa+(1-x)b]=[(x-1)a+(x+1)b]·[(1-2x)a+(1-2x)b]=-16x2+8x=-162+1,
由于x∈[0,1],则-162+1的最大值为1.
答案:1
5.平面直角坐标系xOy中,已知向量=(6,1),
=(x,y),=(-2,-3),且∥.
(1)求x与y间的关系.
(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.
解析:(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y),
因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,
即x+2y=0 ①
(2)由题意得=+=(x+6,y+1),
=+=(x-2,y-3),
7
因为⊥,所以·=0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2+4x-2y-15=0 ②
由①②得或
当时,=(8,0),=(0,-4),
则S四边形ABCD=||||=16,
当时,=(0,4),=(-8,0),
则S四边形ABCD=||||=16,
所以或四边形ABCD的面积为16.
6.如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a,若长为2a
的线段PQ以A为中点,问与的夹角θ取何值时,
·的值最大,并求出这个最大值.
解析:因为⊥,
所以·=0.
因为=-,=-,=-,
·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=-a2-·+·
=-a2+·(-)
=-a2+·
=-a2+a2cos θ.
故当cos θ=1,即θ=0(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.
7
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