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  • 2021-07-01 发布

2020年高中数学第二章向量在物理中的应用举例

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‎2.5.1‎‎-2.5.2 向量在物理中的应用举例 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组 基础巩固]‎ ‎1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(  )‎ A.2 B. C.3 D. 解析:BC的中点为D,=,所以||=.‎ 答案:B ‎2.一个人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度的大小为(  )‎ A.v1-v2 B.v1+v2‎ C.|v1|-|v2| D. 解析:根据速度的合成可知.‎ 答案:C ‎3.给出下面四个结论:‎ ‎①若线段AC=AB+BC,则=+;‎ ‎②若=+,则线段AC=AB+BC;‎ ‎③若向量与共线,则线段AC=AB+BC;‎ ‎④若向量与反向共线,|+|=AB+BC;‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:结论①正确,当AC=AB+BC时,B点在线段AC上,这时=+.结论②不正确,A,B,C三点不共线时,也有向量=+,而AC≠AB+BC.结论③④不正确.‎ 答案:B ‎4.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7‎ 解析:因为|-|=||=|-|,|+-2|=|+|,‎ 所以|-|=|+|,‎ 所以以,为邻边的四边形为矩形,即∠BAC=90°,所以△ABC为直角三角形.‎ 答案:B ‎5.已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的(  )‎ A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 解析:∵||=||=||,即点O到A,B,C三点的 距离相等,∴点O为△ABC的外心.‎ 如图,设D为BC边的中点,则+=2.‎ ‎∵++=0,‎ ‎∴+2=0,∴=2,‎ ‎∴A,D,N三点共线,‎ ‎∴点N在BC边的中线上.‎ 同理,点N也在AB,AC边的中线上,‎ ‎∴点N是△ABC的重心.‎ ‎∵·=·,‎ ‎∴·-·=0,‎ ‎∴·(-)=0,‎ ‎∴·=0,∴⊥.‎ 同理,⊥,⊥,‎ ‎∴点P为△ABC的垂心.‎ 答案:C 7‎ ‎6.已知向量a=(6,2),b=,过点A(3,-1)且与向量a+2b平行的直线l的方程为________.‎ 解析:由题意得a+2b=(-2,3),则直线l的方程为3(x-3)+2(y+1)=0,即3x+2y-7=0.‎ 答案:3x+2y-7=0‎ ‎7.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,=(+),且||=||,则·=________.‎ 解析:设BC的中点是D,如图所示,则+=2,则=,‎ 所以O和D重合,所以BC是圆O的直径,‎ 所以∠BAC=90°.‎ 又||=||,‎ 则||=1,||=2,所以∠ABC=60°,‎ 所以·=||||cos 60°‎ ‎=1×2×=1.‎ 答案:1‎ ‎8.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为‎50 m,且力F所做的功W=250J,则F与s的夹角等于________.‎ 解析:设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.‎ 又θ∈[0,π],∴θ=.‎ 答案: ‎9.如图在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,‎ PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF.‎ 求证:DP⊥EF.‎ 证明:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1),‎ 则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a.‎ 于是·=(+)·(+)‎ ‎=·+·+·+· 7‎ ‎=1×a×cos 180°+1×(1-a)×cos 90°+a×a×cos 45°+a×(1-a)×cos 45°‎ ‎=-a+a2+a(1-a)=0.所以⊥,‎ 所以DP⊥EF.‎ ‎10.已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为‎8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了‎20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=‎10 m/s2)‎ 解析:如图所示,设木块的位移为s,则 WF=F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500(J).‎ 将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为 ‎|F1|=|F|sin 30°=50×=25(N),‎ 所以,摩擦力f的大小为 ‎|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N),‎ 因此Wf=f·s=|f||s|cos 180°‎ ‎=1.1×20×(-1)=-22(J).‎ 即F和f所做的功分别为500 J和-22 J.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.水平面上的物体受到力F1,F2的作用,F1水平向右,F2与水平向右方向的夹角为θ,物体在运动过程中,力F1与F2的合力所做的功为W,若物体一直沿水平地面运动,则力F2对物体做功的大小为(  )‎ A.W B.W C.W D.W 解析:设物体的位移是s,‎ 根据题意有(|F1|+|F2|·cos θ)|s|=W,‎ 即|s|=,所以力F2对物体做功的大小为W.‎ 答案:D ‎2.设P,Q为△ABC内的两点,且=+,=+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(  )‎ A. B. C. D. 7‎ 解析:如图1,过P作PE∥AC交AB于E,过P作PF∥AB,交AC于点F,‎ 过C作CD⊥AB于D,‎ 由平面向量基本定理及=+可知=,|PE|=|AF|,‎ 故==,‎ 又因为Rt△ACD∽Rt△EPO,‎ 所以==,‎ ==,‎ 如图2,同理可证 ===,‎ 所以==.‎ 答案:B ‎3.已知向量a=(1,1),b=(1,a)其中a为实数,O为原点,当此两向量夹角在变动时,a的范围是________.‎ 解析:已知=(1,1),即A(1,1),如图所示,‎ 当点B位于B1和B2时,a与b夹角为,‎ 即∠AOB1=∠AOB2=,‎ 此时∠B1Ox=-=,‎ ‎∠B2Ox=+=,‎ 7‎ 故B1,B2(1,),又a与b夹角不为0,‎ 故a≠1,由图象可知a的范围是∪(1,).‎ 答案:∪(1,)‎ ‎4.已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则(+)·(+)的最大值为________.‎ 解析:如图所示,设=x,=a,=b,‎ 则a·b=0,=b-a,=x=x(a+b),‎ 其中x∈[0,1],所以=-=a-x(a+b)‎ ‎=(1-x)a-xb,‎ =-=b-x(a+b)=-xa+(1-x)b,‎ 所以(+)·(+)=[x(a+b)+b-a]·[(1-x)a-xb-xa+(1-x)b]=[(x-1)a+(x+1)b]·[(1-2x)a+(1-2x)b]=-16x2+8x=-162+1,‎ 由于x∈[0,1],则-162+1的最大值为1.‎ 答案:1‎ ‎5.平面直角坐标系xOy中,已知向量=(6,1),‎ =(x,y),=(-2,-3),且∥.‎ ‎(1)求x与y间的关系.‎ ‎(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.‎ 解析:(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y),‎ 因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,‎ 即x+2y=0 ①‎ ‎(2)由题意得=+=(x+6,y+1),‎ =+=(x-2,y-3),‎ 7‎ 因为⊥,所以·=0,‎ 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2+4x-2y-15=0 ②‎ 由①②得或 当时,=(8,0),=(0,-4),‎ 则S四边形ABCD=||||=16,‎ 当时,=(0,4),=(-8,0),‎ 则S四边形ABCD=||||=16,‎ 所以或四边形ABCD的面积为16.‎ ‎6.如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a,若长为‎2a 的线段PQ以A为中点,问与的夹角θ取何值时,‎ ·的值最大,并求出这个最大值.‎ 解析:因为⊥,‎ 所以·=0.‎ 因为=-,=-,=-,‎ ·=(-)·(-)‎ ‎=·-·-·+· ‎=-a2-·+· ‎=-a2+·(-)‎ ‎=-a2+· ‎=-a2+a2cos θ.‎ 故当cos θ=1,即θ=0(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.‎ 7‎