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- 2021-07-01 发布
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一、单项选择题
1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝2x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．从一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p20)的离心率为，则a等于( )
A．6 B．6＋3
C. D.
5．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，g(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数g(x)图象的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A．－ B．－ C. D.
7．(2020·唐山模拟)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟
8．如图，设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆于C点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A．若m>0，n<0，则m－n<0
B．“x＝”是“tan x＝”的充分不必要条件
C．命题“∃x0∈R，x0＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋>2”
D．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30
10．(2019·福州模拟)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )
A．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数有132
C．n的值为200
D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60)元
11.如图，一张纸的长P1P4、宽P1P2分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，真命题的是( )
A．该多面体是三棱锥
B．平面BAD⊥平面BCD
C．平面BAC⊥平面ACD
D．该多面体外接球的表面积为5πa2
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝t，则下列说法正确的是( )
A．存在实数t，使得方程没有实根
B．存在实数t，使得方程恰有1个实根
C．存在实数t，使得方程恰有2个不同实根
D．存在实数t，使得方程恰有3个不同实根
三、填空题
13．已知向量a，b，其中|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，则|a－2b|＝________.
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，a＝6，b＝2，则C＝________.
15．(2020·武汉模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)的右顶点P作射线l与双曲线C的两条渐近线分别交于第一象限的点M和第二象限的点N，且＝3，△OMN的面积为S＝3，则a＝________.
16．已知函数f(x)＝当a＝1时，函数的值域是________．若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
17．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2cos C·(acos C＋ccos A)＋b＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．
18．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2(an＋1)，求数列的前n项和Sn.
19.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且PD＝AD，AB＝2DF＝6.
(1)求证：平面EFG⊥平面PAB；
(2)若PA＝4，PD＝3，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
20．(2019·日照模拟)从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x表示清洗的次数，y表示清洗x次后1千克该蔬菜残留农药量(单位：微克)．
x
1
2
3
4
5
y
4.5
2.2
1.4
1.3
0.6
(1)在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，＝x＋与＝e－x＋哪一个适宜作为清洗x次后1千克该蔬菜残留农药量的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据判断及下面表格中的数据，建立y关于x的回归方程；
表中ωi＝，＝i.
(xi－)2
(ωi－)2
(xi－)·
(yi－)
(ωi－)·
(yi－)
3
2
0.12
10
0.09
－8.7
0.9
(3)对所求的回归方程进行残差分析．
附：①线性回归方程＝x＋中系数计算公式分别为＝，＝－；
②R2＝1－，R2>0.95说明模拟效果非常好；
③≈0.37，≈0.14，≈0.05，≈0.02，≈0.01.
21．已知椭圆＋＝1(a>b>0)和直线l：－＝1，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线m过点P(0,2)且与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f(x)＝ax－sin x－1，x∈[0，π]．
(1)若a＝，求f(x)的最大值；
(2)当a≤时，求证：f(x)＋cos x≤0.
答案精析
1．B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.C
9．BD [对于A，若m>0，n<0，则m－n>0，所以A错误；对于B，当x＝时，tan x＝，反之，当tan x＝时，x＝kπ＋(k∈Z)，所以“x＝”是“tan x＝”的充分不必要条件，所以B正确；对于C，命题“∃x0∈R，x0＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋<2”，所以C错误；对于D，因为三个班每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，所以不同的分法为CA－A＝30，所以D正确．故选BD.]
10．BC [在A中，样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；
在B中，样本中支出不少于40元的人数有×60＋60＝132，故B正确；
在C中，n＝＝200，故n的值为200，故C正确；
在D中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D错误．
故选BC.]
11．ABCD [由题意得该多面体是一个三棱锥，如图所示，故A正确；
因为AP＝a，
CP＝a，AC＝2a，
所以AP2＋CP2＝AC2，
所以AP⊥CP，
又AP⊥BP，BP∩CP＝P，BP，CP⊂平面BCD，
所以AP⊥平面BCD，
又因为AP⊂平面BAD，
所以平面BAD⊥平面BCD，故B正确；
同理可证平面BAC⊥平面ACD，故C正确；
通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝a，
所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故D正确．
综上，正确命题为ABCD.]
12．ABC [∵函数f(x)＝
∴在(－∞，0)上，f(x)＝－x单调递减，且f(x)>0；在[0，＋∞)上，f(x)＝2 018x单调递增，且f(x)≥1，
∴f(f(x))＝画出函数y＝f(f(x))和y＝t的图象的示意图，如图所示，结合函数y＝f(f(x))与y＝t的图象可得，当实数t≤1时，关于x的方程f(f(x))＝t没有实根，A正确；当实数1b，得B＝，
所以C＝.
15．3
解析 由等轴双曲线可设M(x1，x1)，
N(x2，－x2)，x1>0，x2<0，
由＝3，得(x2－a，－x2)
＝3(x1－a，x1)，
整理得
解得
S△OMN＝x1·(－x2)＝3，
解得x1＝1，则a＝3.
16．[0,1)∪[2，＋∞) (2,4)
解析 当a＝1时，
f(x)＝当0≤x<1时，
0≤x2<1，当x≥1时，2x≥2，
综上f(x)≥2或0≤f(x)<1，
即函数f(x)的值域是[0,1)∪[2，＋∞)．
函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即f(x)＝b有两个根，当x≥0时，作出函数y＝x2和y＝2x的图象(图略)，由于y＝x2在[0，a)上单调递增，y＝2x在[a，＋∞)上单调递增，要使函数f(x)在[0，＋∞)不单调，即有a2>2a，设h(a)＝a2－2a，又h(2)＝h(4)＝0，可得20，∴a＝2，
∴S△ABC＝absin C＝，
∴△ABC的面积为.
18．解 (1)由已知an－an－1＝2n－1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1，
∴an＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋22＋21＋1，
∴an＝＝2n－1.
(2)bn＝log2(an＋1)＝n，
＝
＝－，
∴Sn＝－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝.
19．(1)证明 如图，
取PA的中点M，连接MD，ME，则ME∥AB，ME＝AB，
又DF∥AB，DF＝AB，
所以ME∥DF，ME＝DF，
所以四边形MDFE是平行四边形，所以EF∥MD，
因为PD＝AD，所以MD⊥PA，
因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，
因为MD⊂平面PAD，所以MD⊥AB，
因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB，
又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAB.
(2)解 过点P作PH⊥AD于点H，则PH⊥平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为x轴，过点H且平行于AB的直线为y轴，PH所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz，
在等腰三角形PAD中，PD＝AD＝3，PA＝4，
因为PH·AD＝MD·PA，所以3PH＝4×，解得PH＝，
则AH＝，所以P，B，
所以＝，
易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，所以cos〈，n〉＝＝－，
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
20．解 (1)散点图如图，
用＝e－x＋作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．
(2)由题意知＝＝＝10，＝－＝2－10×0.12＝0.8，
故所求的回归方程为＝10×e－x＋0.8.
(3)列表如下：
yi－i
0
0
0.1
0.3
－0.3
yi－
2.5
0.2
－0.6
－0.7
－1.4
所以(yi－i)2＝0.19，(yi－)2＝9.1，R2＝1－≈0.979>0.95，
所以回归模拟的拟合效果非常好．
21．解 (1)由直线l：－＝1，
∴＝，
即4a2b2＝3a2＋3b2，①
又由e＝，得＝，即c2＝a2，
又∵a2＝b2＋c2，∴b2＝a2，②
将②代入①得a4＝4a2，
∴a2＝3，b2＝1，c2＝2，
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x＝0，
则直线m与椭圆的交点为(0，±1)，
又∵E(－1,0)，∴∠CED＝90°，即以CD为直径的圆过点E；
②当直线m的斜率存在时，设直线m方程为y＝kx＋2，
C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由
得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，
由Δ＝144k2－4×9(1＋3k2)＝36k2－36>0，得k>1或k<－1，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
∵以CD为直径的圆过点E，∴EC⊥ED，即·＝0，
由＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，
∴(1＋k2)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0，
∴＋(2k＋1)·＋5＝0，解得k＝>1，
即直线m：y＝x＋2；
综上所述，当以CD为直径的圆过定点E时，直线m的方程为x＝0或y＝x＋2.
22．(1)解 当a＝时，f′(x)＝－cos x，
由f′(x)＝0，得x＝，
所以x∈时，f′(x)<0；
x∈时，f′(x)>0，
因此f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以f(x)的最大值为max{f(0)，f(π)}＝max＝－1.
(2)证明 先证x－sin x＋cos x－1≤0，
令g(x)＝x－sin x＋cos x－1，
则g′(x)＝－cos x－sin x
＝－sin，
由y＝sin，x∈[0，π]与y＝的图象易知，
存在x0∈[0，π]，使得g′(x0)＝0，
故x∈(0，x0)时，g′(x)<0；x∈(x0，π)时，g′(x)>0，
所以g(x)的单调递减区间为(0，x0)，单调递增区间为(x0，π)，
所以g(x)的最大值为max{g(0)，g(π)}，而g(0)＝0，g(π)＝0，
又由a≤，x≥0，所以ax－sin x＋1＋cos x≤x－sin x－1＋cos x≤0，当且仅当a＝，x＝0或x＝π时，等号成立，即f(x)＋cos x≤0.
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