2021高考数学新高考版一轮习题：专题7 第52练 表面积与体积 Word版含解析 5页

‎1．若三个球的半径的比是1∶2∶3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的(　　)‎ A.倍 B．2倍 C.倍 D．3倍 ‎2．已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为(　　)‎ A．27π B．36π C．54π D．81π ‎3．已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝，BC＝，则该球的表面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．16π D．32π ‎4．两直角边分别为1，的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是(　　)‎ A. B．3π C. D．(3＋2)π ‎5．已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝，BD＝，AC＝，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为(　　)‎ A．6π B．4π C.π D．8π ‎6．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC＝2，则三棱锥P－ABC外接球的体积是(　　)‎ A．36π B．50π C. D. ‎7．已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是△ABC的重心，则＝2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎8．(多选)将两个长、宽、高分别为5,4,3的长方体垒在一起，使其中两个面完全重合，组成一个大长方体，则大长方体的外接球表面积可能值为(　　)‎ A．150π B．125π C．98π D．77π ‎9．已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为22π，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，AB＝PA＝3，则三棱锥P－ABC的体积为________．‎ ‎10．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家．他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是________．‎ ‎11．(2019·广东实验中学期末)已知三棱锥O－ABC，侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC＝2，则以O为球心且1为半径的球与三棱锥O－ABC重叠部分的体积是(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π≈3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是(　　)‎ A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈ ‎13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝2，A1E＝m，DQ＝n，DP＝p(m，n，p大于零)，则四面体PEFQ的体积(　　)‎ A．与m，n，p都有关 B．与m有关，与n，p无关 C．与p有关，与m，n无关 D．与n有关，与m，p无关 ‎14．已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为，则球O的体积为(　　)‎ A. B．16π C．32π D. ‎15．如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为________，体积为________．‎ ‎16．在半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．‎ 答案精析 ‎1．D　2.C　3.B　4.A　5.B　6.D ‎7．B　8.BCD　9.3　10.162　11.B　12.B ‎13．C　[如图所示，连接AD1，A1D交于点O，作PM∥AD1交A1D于点M，‎ 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面AA1D1D，且AD1⊂平面AA1D1D，∴AD1⊥CD，‎ 又∵四边形AA1D1D为正方形，‎ 则AD1⊥A1D，且CD∩A1D＝D，‎ ‎∴AD1⊥平面A1B1CD，即AD1⊥平面EFQ，‎ ‎∵PM∥AD1，∴PM⊥平面EFQ，‎ 且PM＝PD·sin∠ADA1＝p，‎ 易知四边形A1B1CD是矩形，且A1D＝4，‎ ‎∴点Q到直线EF的距离为A1D，‎ ‎∴△EFQ的面积为S△EFQ＝EF·A1D＝×2×4＝4，‎ ‎∴四面体PEFQ的体积为VP－EFQ＝·S△EFQ·PM＝×4×p＝，‎ 因此，四面体PEFQ的体积与p有关，与m，n无关，故选C.]‎ ‎14．A　[如图，‎ 设M是△ABC的外心，则三棱锥D－ABC体积最大时，DM⊥平面ABC，球心O在DM上．‎ ‎∵BA＝BC＝，AC＝3，‎ ‎∴cos∠BCA＝＝，‎ 即∠BCA＝30°＝∠BAC，‎ ‎∴BM＝×＝×＝.‎ 又S△ABC＝××3sin 30°＝，‎ ‎∴××DM＝，DM＝3.‎ ‎∵DM⊥平面ABC，∴DM⊥BM，设球半径为R，‎ 则由BM2＋OM2＝OB2得()2＋(3－R)2＝R2，‎ 解得R＝2，‎ ‎∴球的体积为V＝πR3＝π×23＝.故选A.]‎ ‎15．2　 解析　由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P－ABCD，‎ 底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，‎ 所以最长的棱为PC＝＝2，‎ 几何体体积为V＝×22×2＝.‎ ‎16．16(π－)‎ 解析　设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，‎ 则球的半径r＝＝2，‎ ‎∴h2＋2a2＝16≥2ah，‎ 当且仅当h2＝2a2，‎ 即h＝2，a＝2时，等号成立，‎ ‎∴ah≤4，‎ ‎∴正四棱柱的侧面积S侧＝4ah≤16，‎ 球的表面积S＝4π×22＝16π，‎ ‎∴当正四棱柱的侧面积最大时，‎ 球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π－16＝16(π－)．‎