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- 2021-07-01 发布
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综合检测卷(二)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间120分钟,满分160分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.(2017·贵州调研)设集合A=,B=,则A∩B=________.
2.复数的共轭复数是________.
3.(2016·扬州期末)已知函数f(x)=sin(2x+)(0≤x<π),且f(α)=f(β)=(α≠β),则α+β=________.
4.(2016·泰州一模)执行如图所示的伪代码,当输入a,b的值分别为1,3时,最后输出的a的值为________.
Read a,b
i←1
While i≤2
a←a+b
b←a-b
i←i+1
End While
Print a
5.已知(1-2x)5(1+ax)4的展开式中x的系数为2,则实数a的值为________.
6.(2016·苏州一模)如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=3,点F为DE的中点,则·的值为________.
7.(2016·苏州模拟)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是________.
8.(2016·盐城模拟)已知正项数列的前n项和为Sn,若和都是等差数列,且公差相等,则a6=________.
9.一矩形的一边在x轴上,另两个顶点在函数y=(x>0)的图象上,如图,则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________.
10.(2016·云南名校联考)实数x,y,k满足z=x2+y2,若z的最大值为13,则k的值为________.
11.一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一枚骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2,则算过关,那么,连过前两关的概率是________.
12.(2016·南京模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心且和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,若MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为________.
13.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为________.
14.(2015·天津)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为________.
第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(2016·扬州调研)已知函数f(x)=a(2cos2+sin x)+b.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.
16.(14分)(2016·广东六校联考二)如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB
=AC=λAA′,点M,N分别是A′B和B′C′的中点.
(1)求证:MN∥平面A′ACC′;
(2)若二面角A′-MN-C为直二面角,求λ的值.
17.(14分)(2016·无锡模拟)某班组织的数学文化节活动中,通过抽奖产生了5名幸运之星.这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品,抛掷点数小于3的获得A奖品,抛掷点数不小于3的获得B奖品.
(1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率;
(2)设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数,并记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的概率分布及均值.
18.(16分)(2016·镇江模拟)已知数列的前n项和Sn=,a1=1.
(1)求数列的通项公式;
(2)令bn=ln an,是否存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比数列.若存在,求出所有符合条件的k值;若不存在,请说明理由.
19.(16分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2.l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB为直径的圆M和以CD为直径的圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为l.
(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;
(2)若点M到直线l距离的最小值为,求抛物线E的方程.
20.(16分)(2016·南京模拟)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.
(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,试求g(x)的表达式;
(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围;
(3)证明不等式:<+++…+<+1+++…+.
答案解析
1.(-1,3)
解析 因为集合A=(-3,3),B=(-1,5],所以A∩B=(-1,3).
2.-i
解析 ∵===i,∴的共轭复数为-i.
3.
解析 由0≤x<π,得≤2x+<,
由f(α)=f(β)=,且α≠β,不妨设α<β,则2α+=,2β+=,解得α=,β=,则α+β=.
4.5
解析 第一次循环,a=1+3=4,b=4-3=1,i=1+1=2,第二次循环,a=4+1=5,b=5-1=4,i=2+1=3,结束循环,∴最后输出的a为5.
5.3
解析 因为(1-2x)5的展开式中的常数项为1,x的系数为C×(-2)=-10;(1+ax)4的展开式中的常数项为1,x的系数为Ca=4a,所以(1-2x)5(1+ax)4的展开式中x的系数为1×4a+1×(-10)=2,所以a=3.
6.4
解析 由题意得DA=AE=2,∵∠BAC=60°,
∴△ADE为等边三角形,∴DE=2,∠ADE=60°,
∴·=(+)·
=·+·=·+·
=2×2×+×2×2=4.
7.3
解析 由题意得,y=,∴2x+y=2x+==(x+)≥3,
当且仅当x=y=1时,等号成立.
8.
解析 设的公差为d,由题意得,= = ,
又和都是等差数列,且公差相同,
∴ 解得
a6=a1+5d=+=.
9.π
解析 ∵y=(x>0),∴yx2-2x+y=0,将其视为关于x的一元二次方程,设x1,x2是其两根,∴绕x轴旋转而成的几何体的体积V=πy2|x1-x2|=πy2·=2π ≤π,当且仅当y2=,即y=时等号成立.
10.2
解析 作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示,
z=x2+y2的最大值为13,即OA2=13,而A(k,k+1),
所以k2+(k+1)2=13,解得k=2或k=-3(舍去).
11.
解析 第一关,要抛掷一枚骰子1次,如果这次抛掷所出现的点数大于1,就过关,分析可得,共6种情况,即出现点数为1,2,3,4,5,6,有5种符合条件,故过第一关的概率为;第二关,要抛掷一枚骰子2次,如果这两次抛掷所出现的点数之和大于4就过关,分析可得,共36种情况,点数之和小于等于4的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种不同的情况,则出现点数之和大于4的有30种,故过第二关的概率为=.
由相互独立事件的概率乘法公式,可得连过前两关的概率是×=.
12.
解析 依题意F(c,0)到双曲线的渐近线y=x的距离为d==b,又M为圆上的点且MF与双曲线的实轴垂直,∴M的坐标为(c,b),代入双曲线方程得-=1,
∴双曲线C的离心率e==.
13.1
解析 因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,令f′(x)=0,得x=,又a>,所以0<<2.令f′(x)>0,得x<,所以f(x)在(0,)上单调递增;令f′(x)<0,得x>,所以f(x)在(,2)上单调递减.
所以当x∈(0,2)时,f(x)max=f()=ln -a·=-1,所以ln =0,所以a=1.
14.2
解析 当x>2时,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2;
当0≤x≤2时,g(x)=3-x,f(x)=2-x;
当x<0时,g(x)=3-x2,f(x)=2+x.
由于函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)-g(x)=0的根的个数.
当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+5=0,其根为x=或x=(舍去);
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=3-x,无解;
当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x-1=0,其根为x=或x=(舍去).
所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.
15.解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=asin(x+)+a+b.
(1)当a=-1时,f(x)=-sin(x+)+b-1,
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.
(2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤,
∴-≤sin(x+)≤1,依题意知a≠0.
①当a>0时,
∴a=3-3,b=5.
②当a<0时,
∴a=3-3,b=8.
综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.
16.(1)证明 方法一 连结AB′,AC′.
∵点M为A′B的中点,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,
∴M为AB′的中点,
又点N为B′C′的中点,
∴MN∥AC′,
又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,
∴MN∥平面A′ACC′.
方法二 取A′B′的中点P,连结MP,NP.
∵点M,N分别为AB′和B′C′的中点,
∴MP∥AA′,PN∥A′C′,
∴MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,
又MP∩NP=P,
∴平面MPN∥平面A′ACC′,
又MN⊂平面MPN,
∴MN∥平面A′ACC′.
(2)解 以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA′所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A—xyz.
设AA′=1,则AB=AC=λ,
∴A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1),
∴M(,0,),N(,,1),
则=(,0,-),=(0,,),=(-,,-1),
设m=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,
由得
令x1=1,则m=(1,-1,λ),
设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,
由得
令z2=λ,则n=(-3,-1,λ).
∵二面角A′-MN-C为直二面角,
∴m·n=0,即(1,-1,λ)·(-3,-1,λ)=-3+1+λ2=0,解得λ=或λ=-(舍去).
17.解 这5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率为=,
获得B奖品的概率为=.
(1)因为获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数,则获得A奖品的人数可能为3,4,5,则所求概率为P=C()3()2+C()4()+C()5==.
(2)ξ的可能取值为1,3,5,
则P(ξ=1)=C()3()2+C()2()3=,
P(ξ=3)=C()4()+C()()4=,
P(ξ=5)=C()5+C()5=,
所以ξ的概率分布是
ξ
1
3
5
P
故随机变量ξ的均值E(ξ)=1×+3×+5×=.
18.解 (1)方法一 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,
即=(n≥2).
所以数列是首项为=1的常数列.
所以=1,
即an=n(n∈N*),
所以数列的通项公式为an=n(n∈N*).
方法二 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,
即=(n≥2).
所以an=××…×××a1
=××…×××1=n.
因为a1=1,符合an的表达式.
所以数列的通项公式为an=n(n∈N*).
(2)假设存在k(k≥2,k∈N*),
使得bk,bk+1,bk+2成等比数列,
则bkbk+2=b.
因为bn=ln an=ln n(n≥2),
所以bkbk+2=ln k·ln(k+2)<[]2
=[]2<[]2
=[ln(k+1)]2=b.
这与bkbk+2=b矛盾.
故不存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比数列.
19.(1)证明 由题意知抛物线E的焦点为F(0,),
直线l1的方程为y=k1x+.
由得x2-2pk1x-p2=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk+p.
所以点M的坐标为(pk1,pk+),=(pk1,pk).
同理可得点N的坐标为(pk2,pk+),=(pk2,pk).
于是·=(pk1,pk)·(pk2,pk)=p2(k1k2+kk).
又k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,
所以0<k1k2<()2=1.
故·<p2(1+12)=2p2.
(2)解 由(1)及抛物线的定义知
FA=y1+,FB=y2+,
所以AB=y1+y2+p=2pk+2p,
从而圆M的半径r1=pk+p,
故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-pk-)2=(pk+p)2,
化简得x2+y2-2pk1x-p(2k+1)y-p2=0.
同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k+1)y-p2=0.
于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(k-k)y=0.
又k2-k1≠0,k1+k2=2.
所以直线l的方程为x+2y=0.
因为p>0,所以点M到直线l的距离d===.
故当k1=-时,d取最小值.
故=,解得p=8.
故所求的抛物线E的方程为x2=16y.
20.(1)解 由已知得f′(x)=,g′(x)=a,
所以f′(1)=1=a,即a=2.
又因为g(1)=0=a+b,所以b=-1,
所以g(x)=x-1.
(2)解 因为φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数,
所以φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立(等号不恒成立),
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,
则2m-2≤x+,x∈[1,+∞).
因为x+∈[2,+∞).
所以2m-2≤2,m≤2.
(3)证明 由(1)可得,当x≥2时,ln x<x-1≤(x-1),
所以由ln x<x(x-1),得<,
所以2(-)<.
当x=2时,2×(-)<,
当x=3时,2×(-)<,
当x=4时,2×(-)<,
…
当x=n+1时,2(-)<,n∈N*,n≥2.
上述不等式相加得2(1-)<+++…+,
即<+++…+.①
由(2)可得当m=2时,φ(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数,
所以当x>1时,φ(x)<φ(1)=0,即-ln x<0,
所以ln x>,从而得到<·.
当x=2时,<×,
当x=3时,<×,
当x=4时,<×,
…
当x=n+1时,<·,n∈N*,n≥2.
上述不等式相加得+++…+
<(+++…+)
=(n++++…+)
=+1+++…+,
即+++…+
<+1+++…+.②
由①②得,<+++…+<+1+++…+(n∈N*,n≥2).
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