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  • 2021-07-01 发布

高考数学专题复习练习:综合检测卷(二)

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综合检测卷(二)‎ 考生注意:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共4页.‎ ‎2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.‎ ‎3.本次考试时间120分钟,满分160分.‎ ‎4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.‎ 第Ⅰ卷 ‎                   ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1.(2017·贵州调研)设集合A=,B=,则A∩B=________.‎ ‎2.复数的共轭复数是________.‎ ‎3.(2016·扬州期末)已知函数f(x)=sin(2x+)(0≤x<π),且f(α)=f(β)=(α≠β),则α+β=________.‎ ‎4.(2016·泰州一模)执行如图所示的伪代码,当输入a,b的值分别为1,3时,最后输出的a的值为________.‎ Read a,b i←1‎ While i≤2‎ ‎ a←a+b ‎ b←a-b ‎ i←i+1‎ End While Print a ‎5.已知(1-2x)5(1+ax)4的展开式中x的系数为2,则实数a的值为________.‎ ‎6.(2016·苏州一模)如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=3,点F为DE的中点,则·的值为________.‎ ‎7.(2016·苏州模拟)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是________.‎ ‎8.(2016·盐城模拟)已知正项数列的前n项和为Sn,若和都是等差数列,且公差相等,则a6=________.‎ ‎9.一矩形的一边在x轴上,另两个顶点在函数y=(x>0)的图象上,如图,则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________.‎ ‎10.(2016·云南名校联考)实数x,y,k满足z=x2+y2,若z的最大值为13,则k的值为________.‎ ‎11.一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一枚骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2,则算过关,那么,连过前两关的概率是________.‎ ‎12.(2016·南京模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心且和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,若MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为________.‎ ‎13.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为________.‎ ‎14.(2015·天津)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为________.‎ 第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2016·扬州调研)已知函数f(x)=a(2cos2+sin x)+b.‎ ‎(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间; ‎ ‎(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.‎ ‎16.(14分)(2016·广东六校联考二)如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB ‎=AC=λAA′,点M,N分别是A′B和B′C′的中点.‎ ‎(1)求证:MN∥平面A′ACC′;‎ ‎(2)若二面角A′-MN-C为直二面角,求λ的值.‎ ‎17.(14分)(2016·无锡模拟)某班组织的数学文化节活动中,通过抽奖产生了5名幸运之星.这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种,并规定:每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品,抛掷点数小于3的获得A奖品,抛掷点数不小于3的获得B奖品.‎ ‎(1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率;‎ ‎(2)设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数,并记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的概率分布及均值.‎ ‎18.(16分)(2016·镇江模拟)已知数列的前n项和Sn=,a1=1.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令bn=ln an,是否存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比数列.若存在,求出所有符合条件的k值;若不存在,请说明理由.‎ ‎19.(16分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2.l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB为直径的圆M和以CD为直径的圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为l.‎ ‎(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;‎ ‎(2)若点M到直线l距离的最小值为,求抛物线E的方程.‎ ‎20.(16分)(2016·南京模拟)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,试求g(x)的表达式;‎ ‎(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)证明不等式:<+++…+<+1+++…+.‎ 答案解析 ‎1.(-1,3)‎ 解析 因为集合A=(-3,3),B=(-1,5],所以A∩B=(-1,3).‎ ‎2.-i 解析 ∵===i,∴的共轭复数为-i.‎ ‎3. 解析 由0≤x<π,得≤2x+<,‎ 由f(α)=f(β)=,且α≠β,不妨设α<β,则2α+=,2β+=,解得α=,β=,则α+β=.‎ ‎4.5‎ 解析 第一次循环,a=1+3=4,b=4-3=1,i=1+1=2,第二次循环,a=4+1=5,b=5-1=4,i=2+1=3,结束循环,∴最后输出的a为5.‎ ‎5.3‎ 解析 因为(1-2x)5的展开式中的常数项为1,x的系数为C×(-2)=-10;(1+ax)4的展开式中的常数项为1,x的系数为Ca=4a,所以(1-2x)5(1+ax)4的展开式中x的系数为1×4a+1×(-10)=2,所以a=3.‎ ‎6.4‎ 解析 由题意得DA=AE=2,∵∠BAC=60°,‎ ‎∴△ADE为等边三角形,∴DE=2,∠ADE=60°,‎ ‎∴·=(+)· ‎=·+·=·+· ‎=2×2×+×2×2=4.‎ ‎7.3‎ 解析 由题意得,y=,∴2x+y=2x+==(x+)≥3,‎ 当且仅当x=y=1时,等号成立.‎ ‎8. 解析 设的公差为d,由题意得,= = ,‎ 又和都是等差数列,且公差相同,‎ ‎∴ 解得 a6=a1+5d=+=.‎ ‎9.π 解析 ∵y=(x>0),∴yx2-2x+y=0,将其视为关于x的一元二次方程,设x1,x2是其两根,∴绕x轴旋转而成的几何体的体积V=πy2|x1-x2|=πy2·=2π ≤π,当且仅当y2=,即y=时等号成立.‎ ‎10.2‎ 解析 作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示,‎ z=x2+y2的最大值为13,即OA2=13,而A(k,k+1),‎ 所以k2+(k+1)2=13,解得k=2或k=-3(舍去).‎ ‎11. 解析 第一关,要抛掷一枚骰子1次,如果这次抛掷所出现的点数大于1,就过关,分析可得,共6种情况,即出现点数为1,2,3,4,5,6,有5种符合条件,故过第一关的概率为;第二关,要抛掷一枚骰子2次,如果这两次抛掷所出现的点数之和大于4就过关,分析可得,共36种情况,点数之和小于等于4的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种不同的情况,则出现点数之和大于4的有30种,故过第二关的概率为=.‎ 由相互独立事件的概率乘法公式,可得连过前两关的概率是×=.‎ ‎12. 解析 依题意F(c,0)到双曲线的渐近线y=x的距离为d==b,又M为圆上的点且MF与双曲线的实轴垂直,∴M的坐标为(c,b),代入双曲线方程得-=1,‎ ‎∴双曲线C的离心率e==.‎ ‎13.1‎ 解析 因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,令f′(x)=0,得x=,又a>,所以0<<2.令f′(x)>0,得x<,所以f(x)在(0,)上单调递增;令f′(x)<0,得x>,所以f(x)在(,2)上单调递减.‎ 所以当x∈(0,2)时,f(x)max=f()=ln -a·=-1,所以ln =0,所以a=1.‎ ‎14.2‎ 解析 当x>2时,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2;‎ 当0≤x≤2时,g(x)=3-x,f(x)=2-x;‎ 当x<0时,g(x)=3-x2,f(x)=2+x.‎ 由于函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)-g(x)=0的根的个数.‎ 当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+5=0,其根为x=或x=(舍去);‎ 当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=3-x,无解;‎ 当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x-1=0,其根为x=或x=(舍去).‎ 所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.‎ ‎15.解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=asin(x+)+a+b.‎ ‎(1)当a=-1时,f(x)=-sin(x+)+b-1,‎ 由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.‎ ‎(2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤,‎ ‎∴-≤sin(x+)≤1,依题意知a≠0.‎ ‎①当a>0时, ‎∴a=3-3,b=5.‎ ‎②当a<0时, ‎∴a=3-3,b=8.‎ 综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.‎ ‎16.(1)证明 方法一 连结AB′,AC′.‎ ‎∵点M为A′B的中点,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,‎ ‎∴M为AB′的中点,‎ 又点N为B′C′的中点,‎ ‎∴MN∥AC′,‎ 又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,‎ ‎∴MN∥平面A′ACC′.‎ 方法二 取A′B′的中点P,连结MP,NP.‎ ‎∵点M,N分别为AB′和B′C′的中点,‎ ‎∴MP∥AA′,PN∥A′C′,‎ ‎∴MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,‎ 又MP∩NP=P,‎ ‎∴平面MPN∥平面A′ACC′,‎ 又MN⊂平面MPN,‎ ‎∴MN∥平面A′ACC′.‎ ‎(2)解 以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA′所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A—xyz.‎ 设AA′=1,则AB=AC=λ,‎ ‎∴A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1),‎ ‎∴M(,0,),N(,,1),‎ 则=(,0,-),=(0,,),=(-,,-1),‎ 设m=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,‎ 由得 令x1=1,则m=(1,-1,λ),‎ 设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,‎ 由得 令z2=λ,则n=(-3,-1,λ).‎ ‎∵二面角A′-MN-C为直二面角,‎ ‎∴m·n=0,即(1,-1,λ)·(-3,-1,λ)=-3+1+λ2=0,解得λ=或λ=-(舍去).‎ ‎17.解 这5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率为=,‎ 获得B奖品的概率为=.‎ ‎(1)因为获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数,则获得A奖品的人数可能为3,4,5,则所求概率为P=C()3()2+C()4()+C()5==.‎ ‎(2)ξ的可能取值为1,3,5,‎ 则P(ξ=1)=C()3()2+C()2()3=,‎ P(ξ=3)=C()4()+C()()4=,‎ P(ξ=5)=C()5+C()5=,‎ 所以ξ的概率分布是 ξ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P 故随机变量ξ的均值E(ξ)=1×+3×+5×=.‎ ‎18.解 (1)方法一 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,‎ 即=(n≥2).‎ 所以数列是首项为=1的常数列.‎ 所以=1,‎ 即an=n(n∈N*),‎ 所以数列的通项公式为an=n(n∈N*).‎ 方法二 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,‎ 即=(n≥2).‎ 所以an=××…×××a1‎ ‎=××…×××1=n.‎ 因为a1=1,符合an的表达式.‎ 所以数列的通项公式为an=n(n∈N*).‎ ‎(2)假设存在k(k≥2,k∈N*),‎ 使得bk,bk+1,bk+2成等比数列,‎ 则bkbk+2=b.‎ 因为bn=ln an=ln n(n≥2),‎ 所以bkbk+2=ln k·ln(k+2)<[]2‎ ‎=[]2<[]2‎ ‎=[ln(k+1)]2=b.‎ 这与bkbk+2=b矛盾.‎ 故不存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比数列.‎ ‎19.(1)证明 由题意知抛物线E的焦点为F(0,),‎ 直线l1的方程为y=k1x+.‎ 由得x2-2pk1x-p2=0.‎ 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 则x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk+p.‎ 所以点M的坐标为(pk1,pk+),=(pk1,pk).‎ 同理可得点N的坐标为(pk2,pk+),=(pk2,pk).‎ 于是·=(pk1,pk)·(pk2,pk)=p2(k1k2+kk).‎ 又k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,‎ 所以0<k1k2<()2=1.‎ 故·<p2(1+12)=2p2.‎ ‎(2)解 由(1)及抛物线的定义知 FA=y1+,FB=y2+,‎ 所以AB=y1+y2+p=2pk+2p,‎ 从而圆M的半径r1=pk+p,‎ 故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-pk-)2=(pk+p)2,‎ 化简得x2+y2-2pk1x-p(2k+1)y-p2=0.‎ 同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k+1)y-p2=0.‎ 于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(k-k)y=0.‎ 又k2-k1≠0,k1+k2=2.‎ 所以直线l的方程为x+2y=0.‎ 因为p>0,所以点M到直线l的距离d===.‎ 故当k1=-时,d取最小值.‎ 故=,解得p=8.‎ 故所求的抛物线E的方程为x2=16y.‎ ‎20.(1)解 由已知得f′(x)=,g′(x)=a,‎ 所以f′(1)=1=a,即a=2.‎ 又因为g(1)=0=a+b,所以b=-1,‎ 所以g(x)=x-1.‎ ‎(2)解 因为φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数,‎ 所以φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立(等号不恒成立),‎ 即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,‎ 则2m-2≤x+,x∈[1,+∞).‎ 因为x+∈[2,+∞).‎ 所以2m-2≤2,m≤2.‎ ‎(3)证明 由(1)可得,当x≥2时,ln x<x-1≤(x-1),‎ 所以由ln x<x(x-1),得<,‎ 所以2(-)<.‎ 当x=2时,2×(-)<,‎ 当x=3时,2×(-)<,‎ 当x=4时,2×(-)<,‎ ‎…‎ 当x=n+1时,2(-)<,n∈N*,n≥2.‎ 上述不等式相加得2(1-)<+++…+,‎ 即<+++…+.①‎ 由(2)可得当m=2时,φ(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数,‎ 所以当x>1时,φ(x)<φ(1)=0,即-ln x<0,‎ 所以ln x>,从而得到<·.‎ 当x=2时,<×,‎ 当x=3时,<×,‎ 当x=4时,<×,‎ ‎…‎ 当x=n+1时,<·,n∈N*,n≥2.‎ 上述不等式相加得+++…+ ‎<(+++…+)‎ ‎=(n++++…+)‎ ‎=+1+++…+,‎ 即+++…+ ‎<+1+++…+.②‎ 由①②得,<+++…+<+1+++…+(n∈N*,n≥2).‎