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- 2021-07-01 发布
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[
最新考纲展示
]
1
.
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
2.
会运用函数的图象理解和研究函数的性质.
第二节 函数的单调性与最值
函数的单调性
1
.单调函数的定义
2.
单调区间的定义
如果函数
y
=
f
(
x
)
在区间
D
上是
或
,那么就说函数
y
=
f
(
x
)
在区间
D
具有
(
严格的
)
单调性,这一区间叫做
y
=
f
(
x
)
的单调区间.
增函数
减函数
答案:
B
解析:
依据增函数的定义可知,对于
①③
,当自变量增大时,相对应的函数值也增大,所以
①③
可推出函数
y
=
f
(
x
)
为增函数.
答案:
①③
函数的最值
____________________[
通关方略
]____________________
求函数最值的常用方法
(1)
单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值;
(2)
图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点,最低点,求出最值;
(3)
基本不等式法:先对解析式变形,使之具备
“
一正二定三相等
”
的条件后用基本不等式求出最值;
(4)
导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
(5)
换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
答案:
D
4
.
f
(
x
)
=
x
2
-
2
x
(
x
∈
[
-
2,4])
的单调增区间为
________
;
f
(
x
)
max
=
________.
解析:
函数
f
(
x
)
的对称轴为
x
=
1
,单调增区间为
[1,4]
,所以
f
(
x
)
max
=
f
(
-
2)
=
f
(4)
=
8.
答案:
[1,4]
8
函数单调性的判断
答案:
B
求函数的单调区间
[
答案
]
B
反思总结
求函数的单调性或单调区间的方法
(1)
利用已知函数的单调性;
(2)
定义法:先求定义域,再利用单调性定义来求;
(3)
图象法:如果
f
(
x
)
是以图象形式给出的,或者
f
(
x
)
的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间;
(4)
导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
答案:
C
由函数的单调性求参数的范围
【
例
3】
(1)
定义在
R
上的偶函数
f
(
x
)
在
(0
,+
∞
)
上是增函数,则
(
)
A
.
f
(3)
<
f
(
-
4)
<
f
(
-
π)
B
.
f
(
-
π)
<
f
(
-
4)
<
f
(3)
C
.
f
(3)
<
f
(
-
π)
<
f
(
-
4)
D
.
f
(
-
4)
<
f
(
-
π)
<
f
(3)
[
解析
]
(1)
∵
f
(
x
)
是偶函数,
∴
f
(
-
π)
=
f
(π)
,
f
(
-
4)
=
f
(4)
.
又
∵
f
(
x
)
在
(0
,+
∞
)
上是增函数,
∴
f
(3)
<
f
(π)
<
f
(4)
,
∴
f
(3)
<
f
(
-
π)
<
f
(
-
4)
,故
C
正确.
(2)
要保证函数
f
(
x
)
在
(
-
∞
,+
∞
)
上单调递增.则首先要满足分段函数在各自的定义域内分别单调递增.若
f
(
x
)
=
(
a
-
2)
x
-
1
在区间
(
-
∞
,
1]
上单调递增,则
a
-
2>0
,即
a
>2.
若
f
(
x
)
=
log
a
x
在区间
(1
,+
∞
)
上单调递增,则
a
>1.
另外要保证函数
f
(
x
)
在
(
-
∞
,+
∞
)
上单调递增还需满足
(
a
-
2)
×
1
-
1
≤
log
a
1
=
0
,即
a
≤
3.
故
2<
a
≤
3.
[
答案
]
(1)C
(2)2<
a
≤
3
反思总结
单调性的应用常涉及大小比较,解不等式,求最值及已知单调性求参数范围等问题,解决时要注意等价转化思想与数形结合思想的运用.
——
函数的最值问题
函数的最值问题是高考热点内容之一,主要涉及二次型函数最值,基本不等式求最值及应用.常见的方法有换元法、数形结合法.
换元法
解题模板
第一步:换元 确定解析式中的某一部分作为一个新的变元
第二步:定范围 根据新的变元的表达式确定新变元的取值范围
M
.
第三步:转化 将问题转化为关于新变元的一个函数在区间
M
上的最值问题.
第四步:求最值 利用基本初等函数求最值得原函数的最值.
数形结合法
【
典例
2】
用
min{
a
,
b
,
c
}
表示
a
,
b
,
c
三个数中的最小值,则函数
f
(
x
)
=
min{4
x
+
1
,
x
+
4
,-
x
+
8}
的最大值是
________
.
[
解析
]
在同一坐标系中分别作出函数
y
=
4
x
+
1
,
y
=
x
+
4
,
y
=-
x
+
8
的图象后,取位于下方的部分得函数
f
(
x
)
=
min{4
x
+
1
,
x
+
4
,-
x
+
8}
的图象,如图所示,不难看出函数
f
(
x
)
在
x
=
2
时取得最大值
6.
故填
6.
[
答案
]
6
解题模板
对于函数解析式有明显的几何特征的函数最值问题,解题步骤是:
第一步:数变形 根据函数解析式的特征,构造图形转化为求几何中的最值.
第二步:解形 利用几何方法解决图形中的最值.
第三步:还形为数 将几何中的最值还原为函数的最值.
第四步:回顾反思 利用数形结合法求解函数最值,其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值,关键在于把握函数解析式的结构特征.
答案:
[0
,+∞
)
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