高考数学专题复习练习：2-3 专项基础训练 5页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2017·安徽合肥一中期中)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　)‎ A．f(x)－1为奇函数　　　　 B．f(x)－1为偶函数 C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数 ‎【解析】 ∵对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，∴令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1.∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，∴f(x)＋1为奇函数．故选C.‎ ‎【答案】 C ‎2．(2016·湖南常德一中第五次月考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为(　　)‎ A．(－∞，2) B．(－∞，1)‎ C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)‎ ‎【解析】 因为f(x)＝ex－ae－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，且f(1)＝e－.则由f(x－1)＜e－，得f(x－1)＜f(1)，即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－的解集为(－∞，2)．故选A.‎ ‎【答案】 A ‎3．(2017·湖南岳阳平江一中期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 017)＝(　　)‎ A．4 B．2‎ C．－2 D．log27‎ ‎【解析】 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)．‎ ‎∵－1∈，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，‎ ‎∴f(2 017)＝－f(－1)＝－2.‎ ‎【答案】 C ‎4．(2017·福建三明一中第一次月考)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，‎ 则当x＞0时，f(x)＝(　　)‎ A．－2x B．2－x C．－2－x D．2x ‎【解析】 x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.‎ ‎∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎5．(2016·四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________．‎ ‎【解析】 ∵函数f(x)为奇函数，且周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，∴f＝f＝－f＝－4＝－2，‎ ‎∴f＋f(1)＝－2.‎ ‎【答案】 －2‎ ‎6．(2017·山东东营广饶一中诊断)若f(x)＝2x＋2－x·lg a是奇函数，则实数a＝________．‎ ‎【解析】 ∵函数f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x＋2－xlg a＋2－x＋2xlg a＝0，即2x＋2－x＋lg a(2x＋2－x)＝0，∴lg a＝－1，∴a＝.‎ ‎【答案】 ‎7．(2017·长春质检)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．‎ ‎【解析】 由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．‎ ‎【答案】 (－∞，1]∪[3，＋∞)‎ ‎8．(2017·南通二模)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．‎ ‎【解析】 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，‎ ‎∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝.‎ ‎【答案】 ‎9．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)设x＜0，则－x＞0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，‎ 所以f(－x)＝－f(x)．‎ 于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象知 所以1＜a≤3，‎ 故实数a的取值范围是(1，3]．‎ ‎10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.‎ ‎(1)求证：f(x)是周期函数；‎ ‎(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；‎ ‎(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．‎ ‎【解析】 (1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．‎ ‎∴f(x)是周期为4的周期函数．‎ ‎(2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，‎ ‎∴4－x∈[0，2]，‎ ‎∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，‎ 又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴－f(x)＝－x2＋6x－8，‎ 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．‎ ‎(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.‎ 又f(x)是周期为4的周期函数，‎ ‎∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)‎ ‎＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.‎ ‎∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(2 016)＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝1.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f.则f(6)＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．2‎ ‎【解析】 ∵当x＞时，f＝f，∴f(x)＝f(x＋1)，∴当x＞时，函数f(x)以T＝1为周期．故f(6)＝f(1)．‎ ‎∵当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＝2.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎12．(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．‎ ‎【解析】 ∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎∴f(2|a－1|)＞f(－)＝f()，∴2|a－1|＜＝2，‎ ‎∴|a－1|＜，∴－＜a－1＜，∴＜a＜.‎ ‎【答案】 ‎13．(2017·郑州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．‎ ‎【解析】 因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.‎ ‎【答案】 7‎ ‎14．(2017·湛江月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0，1]上是增函数；④f(x)在[1，2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确结论的序号是________．‎ ‎【解析】 对于①，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期，‎ 故①正确；对于②，由于函数f(x)是偶函数，且函数f(x)是以2为周期的函数，则f(2－x)＝f(x－2)＝f(x)，即f(2－x)＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故②正确；对于③，由于函数f(x)是偶函数且在[－1，0]上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f(x)在[0，1]上是减函数，故③错误；对于④，由于函数f(x)是以2为周期的函数且在[－1，0]上为增函数，由周期函数的性质知，函数f(x)在[1，2]上是增函数，故④错误；对于⑤，由于函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(2)＝f(0)，故⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②⑤.‎ ‎【答案】 ①②⑤‎ ‎15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；‎ ‎(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵对于任意x1，x2∈D，‎ 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，‎ ‎∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.‎ ‎(2)f(x)为偶函数．‎ 证明 令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，‎ ‎∴f(－1)＝f(1)＝0.‎ 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)为偶函数．‎ ‎(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，‎ 由(2)知，f(x)是偶函数，‎ ‎∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．‎ 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎∴0＜|x－1|＜16，‎ 解之得－15＜x＜17且x≠1.‎ ‎∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．‎