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- 2021-07-01 发布
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2020 年石家庄市综合训练(二)
数学文科答案
一、选择题:
1-5 DABBB 6-10 CADBC 11-12 CA
二、填空题:
13. 11 14. 10
7
15. 5 16. )1,0( 2e
三、解答题:
17.
(Ⅰ)证明:当 2n 时,由 11n n n na a a a
两边同时除以 1nnaa 得:
1
111
nnaa
, ………………………………………2 分
由 1 1a ,得
1
1 1a ,
故数列 1
na
是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.……………………………4 分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知 1
na n ,
…………………………………………………6 分
所以
2 1 2 111
2 1 2 1 2 2 1 2 1n
nnb n n n n
1 1 1
2 2 1 2 1nn
,……………8 分
所以 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1
nT nn
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1112 2 1n
. ………………………………………………………10 分
因为 1 021n
,故 1
2nT
.
……………………………………………………12 分
18.
解:(Ⅰ)证明: 1 1 1ABC A B C在三棱柱 中, 1AA ABC CD ABC平面 , 平面 ,
所以 1 2AA CD. …………………………………………………… 分
在 ABC AC BC,AD BD,△ 中, 所以CD AB.
又 1AA AB A, 11CD AA B B.所以 平面
因为 1 1 1 1 4B E AA B B, CD B E.平面 所以 …………………………… 分
1 1 1 1 1 5B E A D,A D CD D, B E ACD. 又 所以 平面 ………………… 分
(Ⅱ)解法 1:在矩形 11AA B B 中, 因 11B E A D,
所以 1 1 1A EB A DA,∠ ∠ 1 1 1tan A EB tan A DA,则 ∠ ∠
1 1 1 1
1
1
1
2 271 1
2
A B AA AA, , AA .A E AD AA
即 即 得 …………………………… 分
223Rt BDC CD BC BD , 在 △ 中,
11CD AA B B由(Ⅰ)知 平面 , 1138CD C AA B B所以 为 到平面 的距离,……… 分
22
1159Rt B BD B D BB BD , 1在 △ 中, …………………………………… 分
11 ,A B CD h设 到平面 的距离为
1 1 1 1
,A B CD C A B DVV三棱锥 三棱锥则
1 1 1
11 1033B CD A B DS h S CD △ △即 …………………… 分,
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1 1 1 1
1 1 1 1
3 2 3 2 ,CD B D h A B AA CD
1 1 1 13 5 2 2 33 2 3 2 ,h 45
5 ,h 解得
11
45 125A B CD .所以 到平面 的距离为 …………………………………………… 分
解法 2:在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,
因 1A A ABC, 平面 AB ABC, 平面
1A A AB,所以, 又因 11B E A D,
所以 1 1 1A EB A DA,∠ ∠ 1 1 1tan A EB tan A DA,则 ∠ ∠
1 1 1 1
1
1
1
2 271 1
2
A B AA AA, , AA .A E AD AA
即 即 得 ………… 分 1 1 1ABC A B C ABC在三棱柱 中,底面 是正三角形,
D AB侧面均为正方形, 为 的中点,
1 1 1 1 9A B CD B ACD所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离,………………… 分
1 1 1 1B E ACD, B E A D F, 由(Ⅰ)知 平面 设 1 1 1B F B ACD则 为 到平面 的距离.
1 1 1 1 1 1 1 1
25 115B A D A EB , sin B A D= sin A EB = ,因为∠ ∠ 则 ∠ ∠ ……………… 分
1 1 1 1 1
45
5B F A B sin B A D ,所以 ∠
11
45 125A B CD .即 到平面 的距离为 ………………………………………… 分
19.
解: (Ⅰ)由折线图最高日平均温度 40 度,最低温度 21 度,故日平均温度的极差为 40-21=19 度,……2 分
设日平均温度的均值为 x ,则
FE
A1 C1
B1
D
A C
B
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21 23 26 33 36 32 39 25 40 38 30 26 22 25 28 29.615x
度……5 分
(Ⅱ) 由题意此人停留的可能时间有 14 种情况, ……7 分
只有一天的日平均温度适宜户外活动共有 3-4 日, 7-8 日,8-9 日,11-12 日,14-15 日这 5 种情况,故概率 5
14P ,……
10 分
(III)从 5 月 7 日开始连续三天的日平均温度方差最大. ……12 分
20.
解:(Ⅰ)由题可知 3b . ○1 ………………………1 分
设 1 ,0Fc ,则由 1BF 与圆相切时 3
2r 得 3
2
bc
a ,即
2
ac . ○2 ………………2 分
将○1 ○2 代入 2 2 2a b c解得 2a . ……………3 分
所以 1C 的方程为
22
143
xy. ……………4 分
(Ⅱ)设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ,
将 y kx m代入 得 2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m .
由直线l 与椭圆 1C 相切得 0 即 2243mk,且
1 2
1 2
4 ,43
3 .43
kmx k
my k
………………………6 分
由直线l 与圆 2C 相切,设 1:ON y xk ,与 联立得
2 2
2 2
,1
.1
kmx k
my k
………………8 分
设直线 :l y kx m 0, 0km与 x 轴交于点Q ,则 ,0mQ k
.
所以△OMN 的面积
21 22
11
2 2 121OMN
m k m kS OQ y y kkk
,………………………10 分
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因为 1 2k k(当且仅当 1k 时等号成立),所以△OMN 的面积 1 1 1
124OMNS
k k
,
即△OMN 面积的最大值为 1
4
. …………………12 分
21.
解:(Ⅰ) baxaxf ln ,由题意知
1
1
01
01
b
a
f
f ;………………2 分
xxf ln ,令 xf ,解得 x ,当 1,0x 时, 0 xf ,即 xf 在 , 上单调递减;当 ,1x 时,
xf , 在 , 上单调递增;……………………………………………………4 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 fxf ,即 xxxln 对任意 ,x 成立.………………………5 分
要证
101101e 100
,只需证
ln .…………………………6 分
在不等式 中,令
x , 则 有
ln ,即
ln ,即
ln 成立;………………………………………8 分
要证
10001001 e1000
,只需证
ln ,即证
ln ,只需证
ln ,即证
ln .……………………………………………………10 分
在不等式 中,令
x ,则有
ln ,即
ln 成立.
综上,不等式
1000 1011001 101e1000 100
成立.………………………………………12 分
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选做题:
22.
解:(Ⅰ)设 2C 上任意一点的极坐标为( , )
则 2( , )3
在 1C 上 2分
所以 24sin( )3
4分
故曲线 的极坐标方程为 24sin( ).3
5分
(Ⅱ)设 ( , ), ( , )ABAB
| | | |ABAB 6分
24sin 4sin 3
| 6sin +2 3cos |
4 3 | sin( ) |6
8分
43
当且仅当 = 3
时等号成立. 9分
故||AB 的最大值为 43 10分
23.
解:(Ⅰ)
113
113
113
)(
xx
xx
xx
xf
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...........................................................................................2 分
当 1x 时, 4,fx 当 11 x 时, 2 ( ) 4,fx
当 1x 时, 2. 4分fx
故当 1x 时, fx取得最小值 2. 5分
(Ⅱ)因为 min( ) 2 6分fx
( ) | 1| | 3 |g x x x m m | 1 3 | |1 3 |x x m m m m
当 1x 时等号成立. 7分
由题意知,对任意 1xR ,存在 2xR 使得 12( ) ( )f x g x 成立
则 min min( ) ( )f x g x
即 2 |1 3 |mm 8分
所以 22
2+ 0
(2 ) (1 3 )
m
mm
解得: 31
42m
即 m 的取值范围为 31[ , ] 1042 分 .
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