江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考 数学（理） 13页

HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考 理科数学试卷 ‎ ‎ ‎ 第I卷（选择题：共60分）‎ 一、 选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意)‎ ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则( )‎ A．　　　 　B．‎2　‎ C．1　　　　 　D．‎ ‎3．已知定义在上的奇函数满足：当时，，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设等差数列的前项和为，若，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知条件，条件直线与直线平行，则是的( )‎ ‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果，则判断框中应填入( )‎ 输出 ‎ 结束 否 是 否 开始 A． B． C． D． ‎ ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎7．已知，且，则向量在方向上的投影为( )‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8．把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间为( )‎ A． B． C． D． ‎ 正视图 左视图 俯视图 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ 9． 已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．以双曲线上一点为圆心 作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若曲线和上分别存在点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形,交轴于点，且，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎ 第II卷（非选择题：共90分）‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。请将正确答案直接填在答题卡的相应位置)‎ ‎13．若，则的展开式中常数项为 ．‎ ‎14．在中，分别是内角的对边，若，，，则的面积 等于 ．‎ ‎15．已知关于实数的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数的最小值是 ．‎ ‎16．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形， 且满足，，则球的表面积是 ．‎ 三．解答题：(本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足.‎ ‎(Ⅰ)求数列，的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和．‎ ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在 F P D A B C E 这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于分者为“成绩优秀”）‎ 分数 甲班频数 乙班频数 ‎（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？‎ 甲班 乙班 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为，求的分布列和期望．‎ 参考公式：，其中．‎ 临界值表 20. ‎（本小题满分12分） ‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若在上存在极大值点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：，其中．‎ ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ‎ 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．‎ ‎23．（本题满分10分）选修4-5；不等式选讲 ‎ 若关于的不等式在实数范围内有解．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.‎ ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 理科数学参考答案 一、 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D B C D A B B A C D 二、填空题： 13． 14. 15. 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：(Ⅰ)设等比数列的公比为，由题意，得 ‎ 解得或（舍）…………………2分 又所以 ………………4分 ‎ ………………6分 ‎(Ⅱ)．……………7分 ‎∴ ，…………………9分 ‎∴ …………………12分 z x F P D A B C E y G ‎18.解：（Ⅰ） 四边形是正方形，∴.‎ ‎∵平面平面，∴平面.‎ ‎∵平面，∴. ‎ ‎∵，点为线段的中点，∴.‎ 又∵，∴平面.‎ 又∵平面，∴平面平面.………………5分 ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.‎ 在平面内过作交于点，‎ ‎∴，故，，两两垂直，以为原点，‎ 以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.‎ 因为，，∴.‎ ‎∵平面， 则，，‎ 又为的中点，，………………7分 假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，‎ 设平面的法向量为， 则 ‎∴，令，则，则………………9分 平面，平面的一个法向量,,则 ‎∴.‎ ‎，解得，∴………………12分 ‎19.解：（1）补充的列联表如下表：‎ 甲班 乙班 总计 成绩优秀 ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 成绩不优秀 总计 根据列联表中的数据，得的观测值为，‎ 所以有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………5分 ‎（2）的可能取值为，，，，‎ ‎，………………6分 ‎，………………7分 ‎，………………8分 ‎，………………9分 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎……………10分 ‎………………12分 ‎20.解：(1)由解得 得椭圆的方程为.………………4分 ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．……5分 ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ‎， ‎ ‎……………7分 ‎………………8分 点到直线的距离是………………9分 由得 因为点在曲线上，所以有整理得………………10分 由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为 ‎………………11分 由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．………………12分 ‎21.解：（1）由于，‎ 则①当时，，‎ 即当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 故在处取得极大值，‎ 则，解得：； ………………………………3分 ②当时，恒成立，无极值，不合题意舍去；………………4分 ③当时，，‎ 即当时，，单调递减； ‎ 当时， ，单调递增；‎ 故在处取得极小值，不合题意舍去；‎ 因此当时，在上存在极大值点； ………………6分 ‎（2）法一：令，，‎ 由（1）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，‎ 则，即，当且仅当时取“=”，………………8分 故当时，，………………10分 因此．………………12分 法二：下面用数学归纳法证明：，对恒成立．‎ ‎（1）当时，左边，右边，‎ 左边右边，结论成立；‎ ‎（2）假设当时，结论成立，即，‎ ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 当时，左边 ‎，‎ 而，‎ 令，，‎ 由（1）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，‎ 则，即，当且仅当时取“=”， ………………10分 则对恒成立，即 成立 故当时，结论成立，‎ 因此，综合（1）（2）得，对恒成立．………………12分 ‎22.（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：；‎ ‎ 即 的直角坐标方程为：.……………4分 ‎（Ⅱ）直线的参数方程（为参数），‎ 将其代入曲线的普通方程并整理得，‎ 设两点的参数分别为，则 ‎…………………………………………………7分 因为为的中点，故点的参数为，……8分 ‎·13·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 设点的参数分别为，把代入整理得………9分 所以.………10分 ‎23.解：（1）因为所以 ‎ 又因为………………………3分 所以………………………5分 ‎（2）由（1）可知，,则 方法一：‎ ‎ ………………………10分 ‎ 方法二：利用柯西不等式 ‎ ‎ ‎ …………………10分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org ‎·13·‎