高考数学专题复习练习：9-8-3 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2017·衡水模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2＋y2＝3相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k·k′为定值．‎ ‎【解析】 (1)因为△EFF1的周长为8，‎ 所以4a＝8，所以a2＝4，‎ 又椭圆C与圆x2＋y2＝3相切，故b2＝3，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明 由题意知过点F2(1，0)的直线l的方程为y＝k(x－1)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ 将直线l的方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程＋＝1，‎ 整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，‎ Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＞0恒成立，‎ 且x1＋x2＝，‎ x1x2＝.‎ 直线AE的方程为y＝(x－2)，‎ 令x＝4，得点M，‎ 直线AF的方程为y＝(x－2)．‎ 令x＝4，得点N，‎ 所以点P的坐标为.‎ 所以直线PF2的斜率为 k′＝ ‎＝ ‎＝· ‎＝·，‎ 将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得：‎ k′＝·＝－，‎ 所以k·k′为定值－1.‎ ‎2．(2015·四川雅安重点中学1月月考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c，又斜边长为2，即2c＝2，故c＝b＝1，a＝，椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋＝；‎ 当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ 由得 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1)．‎ 下面证明Q(0，1)为所求：‎ 若直线l的斜率不存在，上述已经证明．‎ 若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，‎ Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，‎ ·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋ ‎＝(1＋k2)·－·＋＝0，‎ ‎∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0，1)．‎ ‎3．(2017·河南郑州二模)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线C过A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上的两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．‎ ‎【解析】 (1)由题意可得 解得m＝4，n＝1.‎ 所以曲线C的方程为y2＋4x2＝1.‎ ‎(2)证明 由题意得y＋4x＝1，y＋4x＝1，x1x2＋y1y2＝0，‎ 原点O到直线MN的距离 d＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ .‎ 由x1x2＋y1y2＝0得 xx＝yy＝(1－4x)(1－4x)＝1－4(x＋x)＋16xx，‎ 所以xx＝(x＋x)－，‎ 所以d＝ ‎＝ ＝.‎ 所以直线MN恒与定圆x2＋y2＝相切．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎4．(2017·河南洛阳模拟)设M是焦距为2的椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上点N(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.若点P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证：直线CD恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【解析】 (1)设A(－a，0)，B(a，0)，M(m，n)，则＋＝1，即n2＝b2·.‎ 由k1k2＝－，即·＝－，故＝－，则a2＝2b2，又c2＝a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1.‎ 所以椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明 设点P(2，t)，切点C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则两切线PC，PD的方程分别为 ＋y1y＝1，＋y2y＝1.‎ 由于点P在切线PC，PD上，故P(2，t)满足 ＋y1y＝1，＋y2y＝1，‎ 得x1＋y1t＝1，x2＋y2t＝1，故C(x1，y1)，D(x2，y2)均满足方程x＋ty＝1，‎ 即x＋ty＝1为直线CD的方程．‎ 令y＝0，得x＝1，故直线CD过定点(1，0)．‎ ‎5．(2017·湖北黄冈二模)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C ‎2：＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k′.‎ ‎(1)求证：k·k′为定值；‎ ‎(2)求|AB|·|CD|的最大值．‎ ‎【解析】 (1)证明 因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1，F2的坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)．‎ 而点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1，F2的坐标代入C2的方程得，λ＝.‎ 设点P的坐标是(x0，y0)，‎ ‎∵直线PF1和PF2的斜率分别是k，k′(k≠0，k′≠0)，‎ ‎∴kk′＝·＝，①‎ 又点P是椭圆C2上的点，故＋y＝，②‎ 联立①②两式可得kk′＝－，即k·k′为定值．‎ ‎(2)直线PF1的方程可表示为y＝k(x＋1)(k≠0)，‎ 与椭圆C1的方程联立，‎ 得到方程组 由方程组得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝·＝.‎ 同理可求得|CD|＝，‎ 则|AB|·|CD|＝ ‎＝4≤，‎ 当且仅当k＝±时等号成立．‎ 故|AB|·|CD|的最大值等于.‎ ‎6．(2017·东北师大附中联考)椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴、y轴上，它们有相同的离心率e＝，且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是2.‎ ‎(1)求椭圆C1与C2的方程；‎ ‎(2)设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于点E，F.‎ ‎①求证：直线PA，PB的斜率之积为常数；‎ ‎②直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)依题意设C1：＋＝1，C2：＋＝1，由对称性知，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积S＝×2b×2b＝2，解得b2＝1，‎ ‎∴椭圆C1：＋y2＝1，C2：＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知A(－，0)，B(，0)．‎ ‎①证明 设P(x0，y0)，则＋＝1，‎ ‎∵kPA＝，kPB＝，‎ ‎∴kPA·kPB＝＝＝－2，‎ 即直线PA，PB的斜率之积为常数－2.‎ ‎②是常数．设E(x1，y1)，则＋y＝1，‎ ‎∵kEA＝，kEB＝，‎ ‎∴kEA·kEB＝＝＝－，‎ 同理，kFA·kFB＝－，‎ ‎∴kEA·kEB·kFA·kFB＝，‎ 由kEA＝kPA，kFB＝kPB，结合①得kEA·kFB＝－.‎