2017年北京市东城区高考二模试卷数学文 12页

2017 年北京市东城区高考二模试卷数学文 一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项) 1.已知全集 U 是实数集 R.如图的韦恩图表示集合 M={x|x＞2}与 N={x|1＜x＜3}关系，那么 阴影部分所表示的集合可能为( ) A.{x|x＜2} B.{x|1＜x＜2} C.{x|x＞3} D.{x|x≤1} 解析：由韦恩图得所有元素是有属于 U，但不属于 M∪N 的元素构成，即 x∈CU(M∪N)， 由 M={x|x＞2}与 N={x|1＜x＜3}则 M∪N={x|x＞1}， 则 CU(M∪N)={x|x≤1}. 答案：D 2.已知向量 a =(1，2)，b =(x，4)，且 ab ，那么 x 的值为( ) A.-2 B.-4 C.-8 D.-16 解析：∵ =(1，2)， =(x，4)，且 ab ，∴x+8=0，解得：x=-8. 答案：C 3.下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是( ) A.f(x)=sinx B.f(x)=|x+1| C.f(x)=-x D.f(x)=cosx 解析：对于 A，是奇函数，在区间[-1，1]上单调递增，不正确； 对于 B，非奇非偶函数，不正确， 对于 C，是奇函数，在区间[-1，1]上单调递减，正确； 对于 D，偶函数，不正确. 答案：C 4.在平面直角坐标系中，不等式组 0 2 x xy xy      ， ，所表示的平面区域的面积为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析：画出不等式组 所表示的平面区域如图所示， 联立 20 xy xy      ， ，得 C(1，1)，又 A(0，2)，B(0，0)； ∴不等式组 0 2 x xy xy      ， ，所表示的平面区域的面积为 S= 1 2 ×2×1=1. 答案：A 5.已知 x，y∈R，那么“x＞y”的充分必要条件是( ) A.2x＞2y B.lgx＞lgy C. 11 xy ＞ D.x2＞y2 解析：由 2x＞2y  x＞y，故“x＞y”的充分必要条件是：2x＞2y. 答案：A 6.已知直线 x+y=m(m＞0)与圆 x2+y2=1 相交于 P，Q 两点，且∠POQ=120°(其中 O 为原点)， 那么 m 的值是( ) A. 3 3 B. 2 2 C. 2 D. 3 解析：由题意，圆心到直线的距离 d=OPsin30°= 1 2 ， 即圆心 O(0，0)到直线 x+y=m(m＞0)的距离 d= 1 22 m  ，∵m＞0，∴m= . 答案：B 7.日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”.其原理就是利用太 阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明， 这项发明被人类沿用达几千年之久.如图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧 (左)视图可能为 ( ) A. B. C. D. 解析：由侧视图的定义及其圆的三视图可知：此日晷的侧(左)视图可能为 D. 答案：D 8.已知甲、乙两个容器，甲容器容量为 x，装满纯酒精，乙容器容量为 z，其中装有体积为 y 的水(x，y＜z，单位：L).现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或 乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒 满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略 不计.设经过 n(n∈N*)次操作之后，乙容器中含有纯酒精 an(单位：L)，下列关于数，列{an} 的说法正确的是( ) A.当 x=y=a 时，数列{an}有最大值 2 a B.设 bn=an+1-an(n∈N*)，则数列{bn}为递减数列 C.对任意的 n∈N*，始终有 an≤ xy z D.对任意的 n∈N*，都有 an≤ xy xy 解析：对于 A，若 x+y＞z，每次倾倒后甲容器都有剩余，故 an＜ ，故 A 错误； 对于 B，若 x+y=z，则每次操作后乙容器所含酒精都为 2 x ，故 B 错误； 对于 C，若 x=1，y=1，z=3，则 a1= 1 2 ， 1 3 xy z  ，故 a1＞xyz，故 C 错误； 对于 D，当 n→+∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当 x+y≤z 时，an= ， 当 x+y＞z 时，an＜ ，故 D 正确. 答案：D 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.已知△ABC 三内角 A，B，C 对应的边长分别为 a，b，c，且 B= 2 3  ，又边长 b=3c，那么 sinC= . 解析：∵B= 2 3  ，又边长 b=3c，∴由正弦定理可得： 33 2sin sin 3sin 3 2 c b c c CB    ，∴解 得：sinC= 3 6 . 答案： 10.已知 11 12nii  其中 n 是实数，i 是虚数单位，那么 n= . 解析：∵ 11 12nii  ，其中 n 是实数， ∴    1 1 1 1 1 1 2 2 2 i i niii      ，解得 n= 1 2 . 答案： 11.如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位：小时)，已知甲班 数据的平均数为 13，乙班数据的中位数为 17，那么 x 的位置应填 ；y 的位置应 填 . 解析：根据茎叶图中的数据，得： ∵甲班的平均数为 13，∴  8 9 13 15 10 20 1 63 x       ，解得 x=3； 又乙班的中位数是 17，∴  10 16 172 y ，解得 y=8； 综上，x、y 的值分别为 3、8. 答案：3 8 12.已知函数 f(x)=1nx+2x-6 的零点在区间( 2 k ， 1 2 k  )(k∈Z)内，那么 k= . 解析：函数 f(x)=lnx+2x-6 在其定义域上连续单调递增， f(2)=ln2+4-6=ln2-2＜0，f(3)=ln3+6-6=ln3＞0； 故函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点在区间(2，3)内，故 k=4. 答案：4 13.已知双曲线 G 以原点 O 为中心，过( 5 ， 4)点，且以抛物线 C：y2=4x 的焦点为右顶点， 那么双曲线 G 的方程为 . 解析：根据题意，抛物线 C：y2=4x 的焦点为(1，0)，即双曲线 G 的右顶点坐标为(1，0)， 则该双曲线的焦点在 x 轴上，且其中 a=1，设其方程为： 2 2 2 yx b =1， 又由双曲线过点( 5 ， 4)，则有 4- 2 4 b =1，解可得 b2=4，则双曲线 G 的方程为 2 2 4 yx  =1. 答案： =1 14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为对角线 B1D 上的一点，M，N 为对角线 AC 上的两个动点，且线段 MN 的长度为 1. (1)当 N 为对角线 AC 的中点且 DE= 2 时，则三棱锥 E-DMN 的体积是 ； (2)当三棱锥 E-DMN 的体积为 1 3 时，则 DE= . 解析：(1)∵底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，N 是 AC 的中点，∴AC⊥BD，DN= ， ∵BB1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD， ∴AC⊥BB1，又 BB1∩BD=B，∴AC⊥平面 BB1D， 故当 N 为 AC 的中点时，有 MN⊥平面 DEN， 又 DB1=2 3 ，BB1=2，∴sin∠BDB1= 23 323  ， ∴VE-DMN=VM-DEN= 1 1 1 3 3· 2 2 13 3 2 3 9DENS MN        . (2)设三棱锥 E-DMN 的高为 h， 则 VE-DMN= 1 1 1 2 1123 3 2 6 3 hS DMN h h        ，∴h= 2 ， ∵ 11 h DE BB DB ，即 2 2 23 DE ，∴DE= 6 . 答案：(1) 3 9 ；(2) 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.在等差数列{an}中，a1=-2，a12=20. (Ⅰ)求通项 an； (Ⅱ)若 bn= 12 na a a n   ，求数列{3 nb }的前 n 项和. 解析：(Ⅰ)根据等差数列的通项公式即可求出公差 d，写出通项公式即可， (Ⅱ)先根据等差数列的求和公式化简 bn，再判断数列{3bn}为等比数列，根据等比数列的求 和公式计算即可. 答案：(Ⅰ)因为 an=-2+(n-1)d，所以 a12=-2+11d=20. 于是 d=2，所以 an=2n-4. (Ⅱ)因为 an=2n-4，所以 a1+a2+…+an=  26 2 nn =n(n-3). 于是 bn= n=n-3， 令 cn= ，则 cn=3n-3. 显然数列{cn}是等比数列，且 c1=3-2，公比 q=3， 所以数列{ }的前 n 项和 Sn=  1 1 31 1 18 n ncq q   . 16.函数 f(x)=Asin(ωx+ 6  )(A＞0，ω＞0)的最大值为 2，它的最小正周期为 2π. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式； (Ⅱ)若 g(x)=cosx·f(x)，求 g(x)在区间[- ， 4  ]上的最大值和最小值. 解析：(Ⅰ)根据 f(x)最小正周期为 2π，求出ω.f(x)的最大值 2，所以 A=2.可得解析式； (Ⅱ)根据 g(x)=cosx·f(x)，求出 g(x)的解析式，x∈[- 6  ， 4  ]上时，求出内层函数的取 值范围，结合三角函数的图象和性质，求出 f(x)的最大值和最小值. 答案：(Ⅰ)函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A＞0，ω＞0)， ∵f(x)的最小正周期为 2π， ∴ 2  ，解得ω=1. ∵f(x)的最大值 2，∴A=2. 故得 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(x+ ). (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)=2sin(x+ )=2sinxcos +2cosxsin 36   sinx+cosx 那么 g(x)=cosx·f(x)= 3 sinxcosx+cos2x= 23 1 cos 1sin 2 sin 22 2 6) 2(xxx    ， ∵x∈[- ， ]上时， 可得： 226 6 3x      ， 于是，当 2x+ 62  时，g(x)取得最大值为 3 2 ； 当 2x+ 66  时，g(x)取得最小值为 0. ∴g(x)在区间[- ， ]上的最大值为 ，最小值为 0. 17.某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有 50 个车位，为了方便市民停车，某互 联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表： 如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的 10%，那么当车主驱车抵达单位附近 时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报. (Ⅰ)假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的 概率； (Ⅱ)从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率； (Ⅲ)当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率. 解析：(Ⅰ)事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有 10 点这一种情况，该车主抵达单位 共有六种情况，由此能求出该车主收到停车场甲饱和警报的概率. (Ⅱ)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有 8 点、10 点、18 点三种情况，一共有六 个时刻，由此能求出甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率. (Ⅲ)事件“停车场乙发出饱和警报”有 10 点、12 点、14 点三种情况，事件“停车场甲也发 出饱和警报”只有 10 点一种情况，由此能求出当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发 出饱和警报的概率. 答案：(Ⅰ)事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有 10 点这一种情况， 该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为 P= 1 6 . (Ⅱ)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有 8 点、10 点、18 点三种情况， 一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为 31 62P . (Ⅲ)事件“停车场乙发出饱和警报”有 10 点、12 点、14 点三种情况， 事件“停车场甲也发出饱和警报”只有 10 点一种情况， 所以当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率为 P= 1 3 . 18.如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧面 ADD1A1 和侧面 CDD1C1 都是矩形，BC∥AD，△ABD 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别为 AD，A1D1 的中点. (Ⅰ)求证：DD1⊥平面 ABCD； (Ⅱ)求证：平面 A1BE⊥平面 ADD1A1； (Ⅲ)若 CF∥平面 A1BE，求棱 BC 的长度. 解析：(Ⅰ)证明 DD1⊥AD，且 DD1⊥CD，即可证明：DD1⊥平面 ABCD； (Ⅱ)证明 BE⊥平面 ADD1A1.即可证明：平面 A1BE⊥平面 ADD1A1； (Ⅲ)证明四边形 BCFA1 是平行四边形，求棱 BC 的长度. 答案：(Ⅰ)因为侧面 ADD1A1 和侧面 CDD1C1 都是矩形，所以 DD1⊥AD，且 DD1⊥CD. 因为 AD∩CD=D，所以 DD1⊥平面 ABCD. (Ⅱ)因为△ABD 是正三角形，且 E 为 AD 中点，所以 BE⊥AD. 因为 DD1⊥平面 ABCD，而 BE 平面 ABCD，所以 BE⊥DD1. 因为 AD∩DD1=D，所以 BE⊥平面 ADD1A1. 因为 BE 平面 A1BE，所以平面 A1BE⊥平面 ADD1A1. (Ⅲ)因为 BC∥AD，F 为 A1D1 的中点，所以 BC∥A1F.所以 B、C、F、A1 四点共面. 因为 CF∥平面 A1BE，而平面 BCFA1∩平面 A1BE=A1B，所以 CF∥A1B. 所以四边形 BCFA1 是平行四边形.所以 BC=FA1= 1 2 AD=1. 19.设函数 f(x)=(x-a)·ex，a∈R. (Ⅰ)当 a=1 时，试求 f(x)的单调增区间； (Ⅱ)试求 f(x)在[1，2]上的最大值； (Ⅲ)当 a=1 时，求证：对于 x∈[-5，+∞)，f(x)+x+5≥ 5 6 e 恒成立. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，求出 f(x)的最大值是 f(1)或 f(2)，通过作 差求出满足 f(1)或 f(2)最大时 a 的范围，从而求出 f(x)的最大值； (Ⅲ)令 h(x)=f(x)+x，根据函数的单调性求出 h(x)的最小值，从而证明结论即可. 答案：(Ⅰ)由 f(x)=(x-a)·ex 得 f′(x)=(x-a+1)·ex. 当 a=1 时，f′(x)=x·ex，令 f′(x)＞0，得 x＞0， 所以 f(x)的单调增区间为(0，+∞). (Ⅱ)令 f′(x)=0 得 x=a-1. 所以当 a-1≤1 时，x∈[1，2]时 f′(x)≥0 恒成立，f(x)单调递增； 当 a-1≥2 时，x∈[1，2]时 f′(x)≤0 恒成立，f(x)单调递减； 当 1＜a-1＜2 时，x∈[1，a-1)时 f′(x)≤0，f(x)单调递减； x∈(a-1，2)时 f′(x)＞0，f(x)单调递增. 综上，无论 a 为何值，当 x∈[1，2]时，f(x)最大值都为 f(1)或 f(2). f(1)=(1-a)e，f(2)=(2-a)e2， f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e). 所以当 a≥ 2 2 2 2 1 1 e e e e e e  时，f(1)-f(2)≥0，f(x)max=f(1)=(1-a)e. 当 a＜ 2 2 2 2 1 1 e e e e e e  时，f(1)-f(2)＜0，f(x)max=f(2)=(2-a)e2. (Ⅲ)令 h(x)=f(x)+x，所以 h′(x)=xex+1.所以 h″(x)=(x+1)ex. 令 h″(x)=(x+1)ex=0，解得 x=-1， 所以当 x∈[-5，-1)，h″(x)＜0，h′(x)单调递减； 当 x∈[-1，+∞)，h″(x)＞0，h′(x)单调递增. 所以当 x=-1 时，h′(x)min=h′(-1)=1- 1 e ＞0. 所以函数 h(x)在[-5，+∞)单调递增.所以 h(x)≥h(-5)= 5 6 e -5. 所以 x∈[-5，+∞)，f(x)+x+5≥ 恒成立. 20.已知椭圆 E：mx2+y2=1(m＞0). (Ⅰ)若椭圆 E 的右焦点坐标为( 3 ，0)，求 m 的值； (Ⅱ)由椭圆 E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形.若以 B(0，1)为直角顶点的 椭圆 E 的内接等腰直角三角形恰有三个，求 m 的取值范围. 解析：(Ⅰ)化椭圆 E 的方程为标准形式，通过焦点( 3 ，0)在 x 轴上，求出 a，然后求解 m 即可. (Ⅱ)设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA，BC，设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，BA 与 BC 不与坐标轴平行，且 kBA·kBC=-1＜0，设直线 BA 的方程为 y=kx+1(k＞0)，则直线 BC 的方程为 y=- 1 k x+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形 状，转化求解即可. 答案：(Ⅰ)椭圆 E 的方程可以写成 2 2 1 x y m  =1，焦点(3，0)在 x 轴上，所以 a2= 1 m ，b2=1， c2=a2-b2= 21 13m  =3，求得 m= 1 4 . (Ⅱ)设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA，BC，设 A(x1，y1)，C(x2，y2) 显然 BA 与 BC 不与坐标轴平行，且 kBA·kBC=-1＜0∴可设直线 BA 的方程为 y=kx+1(k＞0)，则 直线 BC 的方程为 y=- x+1， 由 221 1 mx y y kx      ， 消去 y 得到(m+k2)x2+2kx=0，所以 x1= 2 2k mk   ， 求得|BA| = 2 2 2 1 22 2 21 0 1 1k kk x k km k m k       ， 同理可求|BC| = 22 2 2 2 2 121 1 21 0 1 111 kxkk k mkm k                       ， 因为△ABC 为以 B(0，1)为直角顶点的等腰直角三角形，所以|BA|=|BC|， 所以 22 22 22111 k kkm k mk   ， 整理得 mk3-k2+k-m=0(mk3-m)-(k2-k)=0m(k3-1)-(k2-k)=0， m(k-1)(k2+k+1)-k(k-1)=0 (k-1)[mk2+(m-1)k+m]=0， 所以 k=1 或 mk2+(m-1)k+m=0，设 f(k)=mk2+(m-1)k+m， 因为以 B(0，1)为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个， 所以关于 k 的方程 mk2+(m-1)k+m=0 有两个不同的正实根 x1 ，x2 ，且都不为 1，∴       12 12 2 2 11 0 1 0 3 10 0 0 1 0 1 0, 10 1 4 0 1 3 f m m m m mx x mm xx m m m                         ， ＞ ＞ ＜ ＜， ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ， 所以实数 m 的取值范围是(0， 1 3 ).