高中数学4_4参数方程4_4_3参数方程的应用课后训练苏教版选修4-41 4页

4.4.3 参数方程的应用 练习 1．过点 M(2,1)作曲线 C： 4cos 4sin x y      ， (θ为参数)的弦，使 M 为弦的中点，则此弦所 在直线方程为__________． 2．如图，由圆 x2＋y2＝9 上的点 M 向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 N，设 P 是 MN 的中点， 则点 P 的轨迹的参数方程是__________． 3．点 P(x，y)在椭圆 4x2＋y2＝4 上，则 x＋y 的最大值为________，最小值为________． 4．椭圆 3 2cos 2 3sin x y      ， (φ为参数)的焦距是__________． 5．参数方程 4sin 5cos x y      (θ为参数)表示的曲线为__________． 6．直线 cos sin x t y t      (θ为参数，θ∈[0，π))和圆 4 2cos , 2sin x y       (α为参数)相切， 则θ＝__________. 7．已知 A，B 分别是椭圆 2 2 136 9 x y  的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，则 △ABC 的重心 G 的轨迹的参数方程是__________． 8．如图，已知椭圆 2 4 x ＋y2＝1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1，B2 的连线 分别交 x 轴于 P，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值． 9．设点 M(x，y)在圆 x2＋y2＝1 上移动，求： (1)点 P(x＋y，xy)的轨迹； (2)点 Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹． 10．已知双曲线方程为 x2－y2＝1，M 为双曲线上任意一点，点 M 到两条渐近线的距离分 别为 d1 和 d2，求证：d1 与 d2 的乘积是常数． 参考答案 1. 答案：2x＋y－5＝0 解析：把曲线 C 的参数方程化为普通方程为 x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径 r＝4 的圆，∴过点 M 的弦与线段 OM 垂直．又 1 2OMk  ， ∴弦所在直线的斜率为－2， ∴直线方程为 y－1＝－2(x－2)，即 2x＋y－5＝0. 2. 答案： 3cos 3 sin2 x y     ， (θ为参数) 解析：圆 x2＋y2＝9 的参数方程为 3cos 3sin x y      ， (θ为参数)．∴设 M(3cos θ，3sin θ)， P(x，y)，则 N(3cos θ，0)． ∴ 3cos 3cos 3cos2 3sin 3 sin2 2 x y            ， (θ为参数)． 3. 答案： 5 5 解析：因为 P 点在椭圆 2 2 14 yx   上，所以可设 P 点的坐标为(cos θ，2sin θ)，即 x＝cos θ，y＝2sin θ， 所以 x＋y＝cos θ＋2sin θ＝ 5sin (θ＋φ)，其中 1tan 2   . 因为 sin(θ＋φ)∈[－1,1]，所以 x＋y 的最大值为 5 ，最小值为 5 . 4. 答案： 2 6 解析：根据参数方程，可知 3 2a  ， 2 3b  ， ∴ 2 2(3 2) (2 3) 18 12 6c      ， ∴焦距为 2 2 6c  . 5. 答案：椭圆 解析：参数方程 4sin 5cos x y      (θ为参数)， 可化为 sin ,4 ( ) cos 5 x y        为参数 . ① ② ①2＋②2，得 2 2 116 25 x y  ，所以曲线为椭圆． 6. 答案： π 6 或 5π 6 解析：直线的参数方程化为普通方程为 y＝xtan θ，圆的参数方程化为普通方程为(x －4)2＋y2＝4. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离 2 | 4tan 0 | 2 tan 1 d      ，得 3tan 3    ， ∴ π 6   或 5π 6 . 7. 答案： 2 2cos π 1 sin 2 x y                为参数， 且 解析：由于动点 C 在该椭圆上运动，故可设点 C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心 G 的坐标为(x，y)，则由题意可知点 A(6,0)，B(0,3)，由重心坐标公式可知有 6 0 6cos 2 2cos3 0 3 3sin 1 sin3 x y               ， π 2         为参数， 且 . 8. 解：设 M(2cos φ，sin φ)， 由题意得 B1(0，－1)，B2(0,1)． 则 MB1 的方程为 sin 11 2cosy x    ， 令 y＝0，则 2cos sin 1x    ，即 2cos| | 1 sinOP    . MB2 的方程为 sin 11 2cosy x    ，∴ 2cos| | 1 sinOQ    . ∴ 2cos 2cos| || | 41 sin 1 sinOP OQ         . 9. 解：(1)设点 M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点 P(x′，y′)， 则 cos sin cos sin x y           ① ② ①2－2×②，得 x′2－2y′＝1，即 2 1' 2 2x y     ， ∴所求点 P 的轨迹为抛物线 2 12 2x y     的一部分 1| | 2 | | 2x y     ， . (2)设 M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点 Q(x1，y1)， 则     2 1 2 1 =cos cos sin cos cos sin , =sin cos sin sin cos sin , x y                    ∴ 1 1 2 1 1 1 sin2 , 1 1sin2 sin 2 .2 2 x y x y         将 sin 2θ＝x1＋y1－1 代入另一个方程，整理得 2 2 1 1 1 1 1 .2 2 2x y             ∴所求点 Q 的轨迹是以 1 1,2 2      为圆心，以 2 2 为半径的圆． 10. 证明：设 d1 为点 M 到渐近线 y＝x 的距离，d2 为点 M 到渐近线 y＝－x 的距离， 因为点 M 在双曲线 x2－y2＝1 上，则可设点 M 的坐标为 1 ,tancos       . 1 1 tancos 2 d    ， 2 1 tancos 2 d    ， 2 2 1 2 1 tan 1cos 2 2d d      ， 故 d1 与 d2 的乘积是常数．