2019年高考数学练习题汇总高考解答题分项练(六) 5页

‎(六)函数与导数(B)‎ ‎1．(2018·江苏省兴化一中模拟)已知函数f(x)＝xex－ax，a∈R.‎ ‎(1)当a＝0时，求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若x≥0时，f(x)≥ax2恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)若函数f(x)存在极小值，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，‎ 当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，‎ 所以当x＝－1时，f(x)取最小值为f(－1)＝－.‎ ‎(2)当x≥0时，‎ f(x)≥ax2⇔xex－ax≥ax2⇔ex－a≥ax⇔a≤，‎ 令h(x)＝(x≥0)，‎ 则h′(x)＝≥0，‎ 所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，‎ 所以h(x)min＝h(0)＝1，所以a≤1.‎ ‎(3)设g(x)＝f′(x)＝(x＋1)ex－a，‎ 则g′(x)＝(x＋2)ex，‎ 令g′(x)＝0，得x＝－2，‎ 所以g(x)在(－∞，－2)上单调递减，‎ 在(－2，＋∞)上单调递增，‎ 所以g(x)≥g(－2)＝－－a，‎ 当a≤－时，g(x)≥－－a≥0，即f′(x)≥0，‎ 所以f(x)在R上单调递增，无极值；‎ 当a>－时，‎ 因为g(－2)＝－－a<0，‎ g(a)＝(a＋1)ea－a≥(a＋1)2－a＝2＋>0(易证ea≥a＋1)，‎ 所以g(－2)g(a)<0，‎ 所以g(x)在(－2，a)上有一个零点，记为x1，‎ 则当x∈(－2，x1)时，f′(x)＝g(x)<0，‎ 则f(x)单调递减；‎ 当x∈(x1，a)时，f′(x)＝g(x)>0，则f(x)单调递增，‎ 所以f(x)在x＝x1处取得极小值．‎ 综上，若函数f(x)存在极小值，则实数a的取值范围为.‎ ‎2．设函数f(x)＝2(a＋1)(a∈R)，g(x)＝ln x＋bx(b∈R)，直线y＝x＋1是曲线y＝f(x)的一条切线．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)－g(x)有两个极值点x1，x2.‎ ‎①试求b的取值范围；‎ ‎②证明：≤＋.‎ ‎(1)解　设直线y＝x＋1与函数y＝f(x)的图象相切于点(x0，y0)，‎ 则y0＝x0＋1，y0＝2(a＋1)，＝1，解得a＝0.‎ ‎(2)①解　记h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)＝2－ln x－bx.‎ 函数y＝f(x)－g(x)有两个极值点的必要条件是h′(x)有两个正零点．‎ h′(x)＝－－b＝，‎ 令h′(x)＝0，得bx－＋1＝0(x>0)．‎ 令＝t，则t>0.‎ 问题转化为bt2－t＋1＝0有两个不等的正实根t1，t2，‎ 等价于解得00；‎ 当x∈(x2，＋∞)时，h′(x)<0.‎ 所以x1，x2是h(x)＝f(x)－g(x)的极值点，‎ 所以b的取值范围是.‎ ‎②证明　由①知＝＋＝.‎ 可得g(x1)＋g(x2)＝－2ln b＋－2，f(x1)＋f(x2)＝，‎ 所以＝－bln b－b.‎ 记k(b)＝－bln b－b，‎ 则k′(b)＝－ln b－2，‎ 令k′(b)＝0，得b＝∈，‎ 所以当b∈时，k′(b)>0，k(b)单调递增；‎ 当b∈时，k′(b)<0，k(b)单调递减，‎ 所以当b＝时，k(b)取最大值＋，‎ 所以≤＋.‎ ‎3．设函数f(x)＝2ax＋＋cln x.‎ ‎(1)当b＝0，c＝1时，讨论函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝3x＋3a－6且函数f(x)有两个极值点x1，x2，x10，‎ f′(x)＝2a－＋＝.‎ ‎(1)当b＝0，c＝1时，f′(x)＝.‎ 当a≥0时，由x>0，得f′(x)＝>0恒成立，‎ 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 当a<0时，令f′(x)＝>0，解得0－，‎ 所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上所述，①当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎(2)①函数f(x)在x＝1处的切线为y＝3x＋3a－6，‎ 所以f(1)＝2a＋b＝3a－3，f′(1)＝2a＋c－b＝3，‎ 所以b＝a－3，c＝－a，‎ f′(x)＝2a－＋＝，‎ 函数f(x)有两个极值点x1，x2，x10,4t－1>0，φ′(t)>0，‎ 所以φ(t)在上单调递增，‎ φ(t)∈，‎ 所以f(x2)的取值范围是.‎