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- 2021-07-01 发布
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模块综合测评(二)
(时间 120分钟，满分 150分)
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列 1,3,7,15，…的通项 an可能是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
【解析】 取 n＝1时，a1＝1，排除 A、B，取 n＝2时，a2＝3，排除 D.
【答案】 C
2．不等式 x2－2x－5>2x的解集是( )
A．{x|x≤－1或 x≥5}
B．{x|x<－1或 x>5}
C．{x|10，所以(x－5)(x＋1)>0，所以 x<－1或 x>5.
【答案】 B
3．在正项等比数列{an}中，a1和 a19为方程 x2－10x＋16＝0的两根，则 a8·a10·a12
等于( )
A．16 B．32
C．64 D．256
【解析】 ∵{an}是等比数列且由题意得 a1·a19＝16＝a210(an>0)，∴a8·a10·a12
＝a310＝64.
【答案】 C
4．下列不等式一定成立的是( )
A．lg
x2＋1
4 >lg x(x>0)
B．sin x＋ 1
sin x
≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D. 1
x2＋1
>1(x∈R)
【解析】
选项 具体分析 结论
A lg
x2＋1
4 ≥lg
2 x2·1
4 ＝lg x，当且仅当 x2＝1
4
时，即 x＝1
2
不正确
B 当 sin x<0时，不可能有 sin x＋ 1
sin x
≥2 不正确
C 由基本不等式 x2＋1＝|x|2＋1≥2|x| 正确
D 因为 x2＋1≥1，所以
1
x2＋1
≤1 不正确
【答案】 C
5．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，ac＝3，且 a＝3bsin A，
则△ABC的面积等于( )
A.1
2
B.3
2
C．1 D.3
4
【解析】 ∵a＝3bsin A，
∴由正弦定理得 sin A＝3sin Bsin A，
∴sin B＝1
3
.
∵ac＝3，∴△ABC的面积 S＝1
2
acsin B＝1
2
×3×1
3
＝
1
2
，故选 A.
【答案】 A
6．等比数列{an}前 n项的积为 Tn，若 a3a6a18是一个确定的常数，那么数列 T10，
T13，T17，T25中也是常数的项是( )
A．T10 B．T13
C．T17 D．T25
【解析】 由等比数列的性质得
a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而 T17＝a179 ，故 T17为常数．
【答案】 C
7．已知不等式 x2－2x－3<0的解集为 A，不等式 x2＋x－6<0 的解集为 B，不
等式 x2＋ax＋b<0的解集是 A∩B，那么 a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
【解析】 由题意：A＝{x|－10，
则
y
x
的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 实数 x，y满足
x－y＋1≤0，
x>0
的相关区域如图中的阴影部分所示．
y
x
表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，
y
x
的取值
范围为(1，＋∞)．
【答案】 C
10．在△ABC中，若 c＝2bcos A，则此三角形必是( )
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．有一角为 30°的直角三角形
【解析】 由正弦定理得 sin C＝2cos Asin B，
∴sin (A＋B)＝2cos Asin B，
即 sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，
即 sin Acos B－cos Asin B＝0，
所以 sin (A－B)＝0.
又因为－π1)的最小值是( )
A．2 3＋2 B．2 3－2
C．2 3 D．2
【解析】 ∵x>1，
∴x－1>0.
∴y＝x2＋2
x－1
＝
x2－2x＋2x＋2
x－1
＝
x2－2x＋1＋2x－1＋3
x－1
＝
x－12＋2x－1＋3
x－1
＝x－1＋ 3
x－1
＋2
≥2 3＋2.
【答案】 A
12．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 tan B＝ 2－ 3
a2－b2＋c2
，
BC→ ·BA→＝
1
2
，则 tan B等于( )
A. 3
2
B. 3－1
C．2 D．2－ 3
【解析】 由BC→ ·BA→＝
1
2
，得 accos B＝1
2
，
∴2accos B＝1.
又由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1，
∴a2－b2＋c2＝1，
∴tan B＝2－ 3
1
＝2－ 3.
【答案】 D
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线
上)
13．已知点 P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式
2x＋by＋1>0 表示的平面区域内，则 b 的取值范围是______. 【导学号：
05920089】
【解析】 点 P(1，－2)关于原点的对称点为点 P′(－1，2)．
由题意知
2×1－2b＋1>0，
－2＋2b＋1>0，
解得
1
2
|b|；③a2；
⑤a2>b2；⑥2a>2b.
其中正确的不等式的序号为______．
【解析】 ∵
1
a
<1
b
<0，
∴b0，
S13<0.
(1)求公差 d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
【解】 (1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴
12a1＋66d>0，
13a1＋78d<0，
即
24＋7d>0，
3＋d<0，
∴－
24
7
0，S13<0，
∴
a1＋a12>0，
a1＋a13<0，
∴
a6＋a7>0，
a7<0，
∴a6>0，
又由(1)知 d<0.
∴数列前 6项为正，从第 7项起为负．
∴数列前 6项和最大．
18．(本小题满分 12分)已知α，β是方程 x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，
β∈[1,2]，a，b∈R，求
b－3
a－1
的最大值和最小值．
【解】 ∵
α＋β＝－a，
αβ＝2b，
∴
a＝－α＋β，
b＝αβ
2
，
∵0≤α≤1,1≤β≤2，
∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.
∴
－3≤a≤－1，
0≤b≤1，
建立平面直角坐标系 aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．
令 k＝b－3
a－1
，可以看成动点 P(a，b)与定点 A(1,3)的连线的斜率．
取 B(－1,0)，C(－3,1)，
则 kAB＝3
2
，kAC＝1
2
，
∴
1
2
≤
b－3
a－1
≤
3
2
.
故
b－3
a－1
的最大值是
3
2
，最小值是
1
2
.
19．(本小题满分 12分)在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，满
足(2b－c)cos A－acos C＝0.
(1)求角 A的大小；
(2)若 a＝ 3，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状. 【导学号：
05920090】
【解】 (1)∵(2b－c)cos A－acos C＝0，
由余弦定理得(2b－c)·b
2＋c2－a2
2bc
－a·a
2＋b2－c2
2ab
＝0，
整理得 b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝
1
2
，
∵00，
Δ＝4a2－4a≤0，
解得 0a，
即 0≤a<1
2
时，
a0，a1＝1，a5＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列 a2n
1
2 n 的前 n项和．
【解】 (1)由 a21＝1，a25＝9，
得 a25－a21＝4d，
∴d＝2.
a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∵an>0，
∴an＝ 2n－1.
数列{an}的通项公式为 an＝ 2n－1.
(2)a2n
1
2 n＝(2n－1) 1
2n
，
设 Sn＝1·1
2
＋3· 1
22
＋5· 1
23
＋…＋(2n－1)· 1
2n
，①
1
2
Sn＝1· 1
22
＋3· 1
23
＋5· 1
24
＋…＋(2n－1)· 1
2n＋1
，②
①－②，得
1
2
Sn＝1
2
＋2
1
22
＋
1
23
＋…＋
1
2n －(2n－1)· 1
2n＋1
＝
1
2
＋2·
1
4
1－ 1
2n－1
1－1
2
－(2n－1)· 1
2n＋1
，
即 Sn＝3－2n＋3
2n
，
即数列 a2n
1
2 n 的前 n项和为 3－2n＋3
2n
.
22．(本小题满分 12分)如图 1所示，某海岛上一观察哨 A上午 11时测得一轮
船在海岛北偏东 60°的 C处，12时 20分时测得该轮船在海岛北偏西 60°的 B处，
12时 40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5千米的 E港口，如果轮船始终匀
速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)
图 1
【解】 轮船从点 C到点 B用时 80分钟，从点 B到点 E用时 20分钟，而船
始终匀速航行，
由此可见，BC＝4EB.
设 EB＝x，则 BC＝4x，
由已知得∠BAE＝30°，
在△AEC中，由正弦定理得
EC
sin∠EAC
＝
AE
sin C
，
即 sin C＝AEsin∠EAC
EC
＝
5sin 150°
5x
＝
1
2x
，
在△ABC中，由正弦定理得
BC
sin∠BAC
＝
AB
sin C
，
即 AB＝BCsin C
sin 120°
＝
4x× 1
2x
sin 120°
＝
4
3
＝
4 3
3
.
在△ABE中，由余弦定理得
BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcos 30°
＝25＋16
3
－2×5×4 3
3
×
3
2
＝
31
3
，
所以 BE＝ 31
3
(千米)．
故轮船的速度为 v＝ 31
3
÷20
60
＝ 93(千米/时)．
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