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- 2021-07-01 发布
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§1.2
充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
高考数学
考点一 充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
(1)若
p
⇒
q
,则
p
是
q
的充分条件,
q
是
p
的①
必要
条件.
(2)若
p
⇒
q
,且
q
⇒
/
p
,则
p
是
q
的充分不必要条件.
(3)若
p
⇒
/
q
,且
q
⇒
p
,则
p
是
q
的必要不充分条件.
(4)若
p
⇔
q
,则
p
与
q
互为②
充要条件
.
(5)若
p
⇒
/
q
,且
q
⇒
/
p
,则
p
是
q
的既不充分也不必要条件.
2.充分条件与必要条件的两种判断方法
考点
清单
条件
定义法
集合法:
A
={
x
|
p
(
x
)},
B
={
x
|
q
(
x
)}
p
是
q
的充分条件
p
⇒
q
③
A
⊆
B
p
是
q
的必要条件
q
⇒
p
A
⊇
B
p
是
q
的充要条件
p
⇒
q
且
q
⇒
p
A
=
B
p
是
q
的充分不必要条件
p
⇒
q
且
q
⇒
/
p
④
A
⫋
B
p
是
q
的必要不充分条件
p
⇒
/
q
且
q
⇒
p
A
⫌
B
p
是
q
的既不充分也不必要条件
p
⇒
/
q
且
q
⇒
/
p
A
⊈
B
且
A
⊉
B
考点二 全称量词与存在量词
1.全称量词和存在量词
2.全称命题和特称命题
名称
常见量词
符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
∃
名称
结构
符号表示
全称命题
对
M
中任意一个
x
,有
p
(
x
)成立
⑤
∀
x
∈
M
,
p
(
x
)
特称命题
存在
M
中的一个
x
0
,使
p
(
x
0
)成立
⑥
∃
x
0
∈
M
,
p
(
x
0
)
3.全称命题和特称命题的否定
4.全(特)称命题真假的判断方法
命题
命题的否定
∀
x
∈
M
,
p
(
x
)
⑦
∃
x
0
∈
M
,¬
p
(
x
0
)
∃
x
0
∈
M
,
p
(
x
0
)
⑧
∀
x
∈
M
,¬
p
(
x
)
全称命题
特称命题
真假
真
假
真
假
方法一
证明所有对象使
命题为真
存在一个对象使
命题为假
存在一个对象使
命题为真
证明所有对象使
命题为假
方法二
否定为假
否定为真
否定为假
否定为真
考法一
充分条件与必要条件的判断方法
知能拓展
例1
(1)(2019黑龙江哈尔滨六中二模,3)“0<
a
<1且0<
b
<1”是“log
a
b
>0”
的
( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2018天津,4,5分)设
x
∈R,则“
<
”是“
x
3
<1”的
( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析
(1)充分性:因为0<
a
<1,所以
y
=log
a
x
在(0,+
∞
)上为单调递减函数,且恒
过点(1,0).又因为0<
b
<1,所以log
a
b
>log
a
1=0,故充分性成立.
必要性:因为log
a
b
>0,所以log
a
b
>log
a
1,
当
a
>1时,
b
>1,当0<
a
<1时,0<
b
<1.所以必要性不成立.
故“0<
a
<1且0<
b
<1”是“log
a
b
>0”的充分而不必要条件,故选A.
(2)由
<
得-
<
x
-
<
,解得0<
x
<1.
由
x
3
<1得
x
<1.当0<
x
<1时,能得到
x
<1一定成立;
当
x
<1时,0<
x
<1不一定成立.
所以“
<
”是“
x
3
<1”的充分而不必要条件.
答案
(1)A (2)A
方法总结
判断充分、必要条件的常用方法:
1.定义法:直接判断“若
p
,则
q
”“若
q
,则
p
”的真假;
2.利用集合间的包含关系判断:若
A
⊆
B
,则
A
是
B
的充分条件或
B
是
A
的必要
条件;若
A
=
B
,则
A
是
B
的充要条件.
考法二
全(特)称命题真假的判断方法
例2
(1)(2019江西师大附中月考,6)已知定义域为R的函数
f
(
x
)不是偶函数,
则下列命题一定为真命题的是
( )
A.
∀
x
∈R,
f
(-
x
)
≠
f
(
x
) B.
∀
x
∈R,
f
(-
x
)
≠
-
f
(
x
)
C.
∃
x
0
∈R,
f
(-
x
0
)
≠
f
(
x
0
) D.
∃
x
0
∈R,
f
(-
x
0
)
≠
-
f
(
x
0
)
(2)下列4个命题:
p
1
:
∃
x
0
∈(0,+
∞
),
<
;
p
2
:
∃
x
0
∈(0,1),lo
x
0
>lo
x
0
;
p
3
:
∀
x
∈(0,+
∞
),
>lo
x
;
p
4
:
∀
x
∈
,
成立,故
p
1
是假命题;对于
p
2
,当
x
0
=
时,有1=lo
=lo
>lo
成立,即lo
>lo
,故
p
2
是真命题;
对于
p
3
,结合指数函数
y
=
与对数函数
y
=lo
x
在(0,+
∞
)上的图象(如图1)
可以判断
p
3
是假命题;
对于
p
4
,结合指数函数
y
=
与对数函数
y
=lo
x
在
上的图象(如图2)
可以判断
p
4
是真命题.
综上可知,真命题为
p
2
,
p
4
,故选D.
答案
(1)C (2)D
方法总结
1.否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写
为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.
2.判定全称命题“
∀
x
∈
M
,
p
(
x
)”是真命题,需要对集合
M
中的每一个元
素
x
,证明
p
(
x
)成立;判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一
个
x
=
x
0
,使
p
(
x
0
)成立.
考法三
与全(特)称命题有关的参数的求解方法
例3
已知命题“
∀
x
∈R,sin
x
-2
a
≥
0”是真命题,则
a
的取值范围是
.
解析
因为“
∀
x
∈R,sin
x
-2
a
≥
0”是真命题,
所以
a
≤
=-
,
则
a
的取值范围是
.
答案
方法总结
解决与全称命题或特称命题有关的参数取值范围问题(本质是
恒成立问题或有解问题,最终转化为最值问题)的主要方法是分离变量法.
在使用该方法时一定要明确,在分离的过程中,把题目中所求范围的量放在
一边,其余的放在另一边,一定要注意这种分离过程是不是恒等变形.
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