【数学】2020一轮复习北师大版（理）39　空间图形的基本关系与公理作业 6页

课时规范练39　空间图形的基本关系与公理 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(　　)‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ D.既非充分又非必要条件 ‎2.(2018河北衡水二调,3)已知l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题中正确的是(　　)‎ A.若l∥α,m⫋α,则l∥m ‎ B.若l∥α,m∥α,则l∥m C.若l⊥m,m⫋α,则l⊥α ‎ D.若l⊥α,l∥m,则m⊥α ‎3.(2018河南六市一模,6)在空间中,a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是(　　)‎ A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a⫋α,b⫋β,α⊥β,则a⊥b C.若a∥α,a∥b,则b∥α D.若α∥β,a⫋α,则a∥β ‎4.(2018广东深圳二模,5)已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是(　　)‎ A.若l⊥m,l⊥n,且m,n⫋α,则l⊥α B.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥n,n⊥α,则m⊥α ‎5.‎ 如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)‎ A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 ‎6.(2018广东佛山模拟,4)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线(　　)‎ A.不存在 ‎ B.有且只有两条 C.有且只有三条 ‎ D.有无数条 ‎7.(2018云南保山统考二,10)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=‎5‎,E为PC的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎13‎‎10‎ B.‎15‎‎5‎ C.‎13‎‎39‎ D.‎‎15‎‎39‎ ‎8.‎ ‎(2018河北衡水一模,14)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,D是AB的中点,∠ACB=90°,AC=BC=CC1,过点D、C作截面交BB1于点E,若点E恰好是BB1的中点,则直线AC1与DE所成角的余弦值为　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎9.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎10.‎ ‎(2018重庆模拟,14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为　　　　　. ‎ ‎11.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:‎ ‎①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β,m⫋α,那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有　　　.(填写所有正确命题的编号) ‎ 创新应用组 ‎12.‎ ‎(2018山西太原三模,10)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中:①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎13.‎ ‎(2018陕西黄陵中学6月模拟,7)我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成角的正弦值为(　　)‎ A.‎9‎‎130‎‎130‎ B.‎7‎‎130‎‎130‎ C.‎9‎‎7‎ D.‎‎7‎‎9‎ 参考答案 课时规范练39　空间图形的基本关系与公理 ‎1.A　“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”.故选A.‎ ‎2.D　由题意,A中,若l∥α,m⫋α,则l∥m或l与m异面,所以不正确;B中,若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m相交或异面,所以不正确;C中,若l⊥m,m⫋α,则l⊥α或l与平面α斜交或平行,所以不正确;D中,若l⊥α,l∥m,则m⊥α是正确的,故选D.‎ ‎3.D　若a∥α,b∥α,则a,b位置关系不定;若a⫋α,b⫋β,α⊥β,则a,b位置关系不定;若a∥α,a∥b,则b∥α或b⫋α;若α∥β,a⫋α,则a∥β,选D.‎ ‎4.D　对于选项A,若l⊥m,l⊥n,且m,n⫋α,则l不一定垂直平面α,因为m有可能和n平行,所以该选项错误;对于选项B,若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α,β可能相交或平行,所以该选项错误;对于选项C,若m⊥α,m⊥n,则n有可能在平面α内,所以该选项错误;对于选项D,由于两平行线中有一条垂直平面α,则另一条也垂直平面α,所以该选项正确.故答案为D.‎ ‎5.A　连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,‎ 所以A1,C1,A,C四点共面.‎ 所以A1C⫋平面ACC1A1.‎ 因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.‎ 又M∈平面AB1D1,‎ 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.‎ 同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.‎ ‎6.D　‎ 在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.‎ ‎7.C　取CD的中点F,连接BF,EF,‎ ‎∵E是PC的中点,∴EF∥PD,‎ 则∠BEF是BE与PD的夹角,EF=‎1‎‎2‎PD=‎3‎‎2‎.‎ ‎∵PC=‎13‎,‎ ‎∴cos∠BPC=‎3‎‎2‎‎+(‎13‎‎)‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎‎2×3×‎‎13‎=‎3‎‎13‎,‎ ‎∴BE2=32+‎13‎‎2‎2-2×3×‎13‎‎2‎×‎3‎‎13‎=‎13‎‎4‎.‎ 又BF=‎5‎,‎ ‎∴cos∠BEF=BE‎2‎+EF‎2‎-BF‎2‎‎2BE·EF=‎13‎‎4‎‎+‎9‎‎4‎-5‎‎2×‎13‎‎2‎×‎‎3‎‎2‎=‎13‎‎39‎.‎ ‎8.‎6‎‎3‎　连接AB1,且AB1∥DE,所以直线AC1与DE所成角为∠C1AB1,由CC1⊥底面ABC,所以为直三棱柱,设AC=BC=CC1=1,∠ACB=90°,所以B1C1=1,AC1=‎2‎,AB1=‎3‎,且B1C1⊥AC1,cos∠C1AB1=AC‎1‎AB‎1‎=‎6‎‎3‎.填‎6‎‎3‎.‎ ‎9.A　(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.‎ ‎∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.‎ ‎∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.‎ ‎∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,‎ ‎∴m,n所成的角的正弦值为‎3‎‎2‎.‎ ‎(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,‎ 补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,‎ 所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.‎ 因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,‎ 故m,n所成角的正弦值为‎3‎‎2‎.‎ ‎10.π‎3‎　如图,将原图补成正方体ABCD-QGHP,连接GP,则GP∥BD,‎ 所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,‎ 在△AGP中,AG=GP=AP,‎ 所以∠APG=π‎3‎.‎ ‎11.②③④　对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,‎ 由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有②③④.‎ ‎12.C　‎ 将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)-DEF,如图:‎ 对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;‎ 对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);‎ 对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;‎ 对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,‎ 而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.‎ 综上所述,正确命题的序号是②③④,故答案为②③④.‎ ‎13.B　‎ 如图:根据题意AB∥CD,所以∠FDC为异面直线DF与AB所成角,又因为CD=10尺,EF=8尺且侧面为等腰梯形,过点F作FG⊥DC,则DG=9尺,CD,EF间的距离为7尺,故FG=7尺,由勾股定理得DF=‎81+49‎=‎130‎尺,所以sin∠FDC=‎7‎‎130‎=‎7‎‎130‎‎130‎,故选B.‎