高中数学（人教版必修2）配套练习 第二章2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 4页

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、基础过关 1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 ( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 2．若 AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有 ( ) A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180° C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180° D．∠BAC＞∠B′A′C′ 3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( ) A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4．“a、b 为异面直线”是指： ①a∩b＝∅，且 aD∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且 a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β ＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使 a⊂面α，b⊂面α成立． 上述结论中，正确的是 ( ) A．①④⑤ B．①③④ C．②④ D．①⑤ 5．如果两条直线 a 和 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系是________． 6．已知正方体 ABCD—A′B′C′D′中： (1)BC′与 CD′所成的角为________； (2)AD 与 BC′所成的角为________． 7．如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，BC 綊 1 2AD， BE 綊 1 2FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ 8．如图，正方体 ABCD－EFGH 中，O 为侧面 ADHE 的中心，求： (1)BE 与 CG 所成的角； (2)FO 与 BD 所成的角． 二、能力提升 9.如图所示，已知三棱锥 A－BCD 中，M、N 分别为 AB、CD 的中点，则下列结论正确的是 ( ) A．MN≥1 2(AC＋BD) B．MN≤1 2(AC＋BD) C．MN＝1 2(AC＋BD) D．MN<1 2(AC＋BD) 10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A．12 对 B．24 对 C．36 对 D．48 对 11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB 与 CM 所成的角为 60°； ③EF 与 MN 是异面直线； ④MN∥CD. 以上结论中正确的序号为________． 12．已知 A 是△BCD 平面外的一点，E，F 分别是 BC，AD 的中点， (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 AC⊥BD，AC＝BD，求 EF 与 BD 所成的角． 三、探究与拓展 13．已知三棱锥 A—BCD 中，AB＝CD，且直线 AB 与 CD 成 60°角，点 M、N 分别是 BC、 AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角． 答案 1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45° 7．(1)证明 由已知 FG＝GA，FH＝HD， 可得 GH 綊 1 2AD.又 BC 綊 1 2AD， ∴GH 綊 BC， ∴四边形 BCHG 为平行四边形． (2)解 由 BE 綊 1 2AF，G 为 FA 中点知，BE 綊 FG， ∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綊 CH，∴EF∥CH， ∴EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，∴C、D、F、E 四点共面． 8．解 (1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角， 又△BEF 中，∠EBF＝45°，所以 BE 与 CG 所成的角为 45°. (2)连接 FH，BD，FO，∵HD 綊 EA，EA 綊 FB， ∴HD 綊 FB， ∴四边形 HFBD 为平行四边形， ∴HF∥BD， ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角． 连接 HA、AF，易得 FH＝HA＝AF， ∴△AFH 为等边三角形， 又依题意知 O 为 AH 中点，∴∠HFO＝30°，即 FO 与 BD 所成的角是 30°. 9．D 10．B 11．①③ 12．(1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从 而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B、C、D 在同 一平面内，这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线． (2)解 取 CD 的中点 G，连接 EG、FG，则 EG∥BD，所以相 交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角．在 Rt△EGF 中，由 EG＝FG＝1 2AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°. 13．解 如图，取 AC 的中点 P. 连接 PM、PN， 则 PM∥AB，且 PM＝1 2AB，PN∥CD，且 PN＝1 2CD， 所以∠MPN 为直线 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°， 若∠MPN＝60°，因为 PM∥AB， 所以∠PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因 AB＝CD，所以 PM＝PN，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN＝30°， 即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 故直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°.