人教新课标A版数学高三高考卷 08 普通高等学校招生全国统一考试数学（湖北卷·文科）（附答案，完全word版） 10页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注间事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题 卡上指定位置 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效. 3.填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效. 4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.设 (1, 2), ( 3,4), (3,2), ( 2 )a b c a b c      则 A. ( 15,12) B.0 C.-3 D.-11 2. 3 2 1(2 )2x x  的展开式中常数项是 A.210 B.105 2 C. 1 4 D.-105 3.若集合 {1,2,3,4}, { 0 5, },P Q x x x R     则 A. “ x R ”是“ x Q ”的充分条件但不是必要条件 B. “ x R ”是“ x Q ”的必要条件但不是充分条件 C. “ x R ”是“ x Q ”的充要条件 D. “ x R ”既不是“ x Q ”的充分条件也不是“ x Q ”的必要条件 4.用与球必距离为 1 的平面去截面面积为 ，则球的体积为 A. 32 3  B. 8 3  C.8 2 D. 8 2 3  5.在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式组 , 1 x y x     的点 ( , )x y 的集合用阴影表示为下列图中的 6.已知 ( )f x 在 R 上是奇函数，且 2( 4) ( ), (0,2) ( ) 2 , (7)f x f x x f x x f    当 时， 则 A.-2 B.2 C.-98 D.98 7.将函数 sin( )y x   的图象 F 向右平移 3  个单位长度得到图象 F′，若 F′的一条对称轴是直线 ,1x  则 的一个可能取值是 A. 5 12  B. 5 12  C. 11 12  D. 11 12  8. 函数 2 21( ) 1 ( 3 2) 3 4f x n x x x xx        的定义域为 A. ( , 4][2, )   B. ( 4,0) (0,1)  C.[ 4,0)(0,1] D.[ 4,0) (0,1]  9.从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A.100 B.110 C.120 D.180 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨 进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入 仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆 形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 12c 和 22c 分别表示椭圆轨道 I 和Ⅱ的焦距，用 12a 和 22a 分别 表示椭圆轨道 I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ① 1 1 2 2 ;a c a c   ② 1 1 2 2 ;a c a c   ③ 1 2 1 2 ;c a a c ④ 1 2 1 2 .c c a a  其中正确式子的序号 是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡相应位置上. 11.一个公司共有 1 000 名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 50 的样 本，已知某部门有 200 名员工，那么从该部门抽取的工人数是 . 12.在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知 3, 3, 30 ,a b c    则 A＝ . 13.方程 22 3x x   的实数解的个数为 . 14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时 响的概率是 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 15.圆 3 4cos , ( )2 4sin xC y         为参数 的圆心坐标为 ，和圆 C 关于直线 0x y  对称的圆 C′的普通方程是 . 三、解答题：本大题共 6 分小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满 12 分） 已知函数 2( ) sin cos cos 2.2 2 2 x x xf x    （Ⅰ）将函数 ( )f x 化简成 sin( ) ( 0, 0, [0,2 ))A x B A         的形式，并指出 ( )f x 的周期； （Ⅱ）求函数 17( ) [ , ]12f x 在 上的最大值和最小值 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 3 2 2( ) 1f x x mx m x    （m 为常数，且 m>0）有极大值 9. （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）若斜率为-5 的直线是曲线 ( )y f x 的切线，求此直线方程. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 1A BC  侧面 1 1.A ABB （Ⅰ）求证： ;AB BC （Ⅱ）若 1AA AC a  ，直线 AC 与平面 1A BC 所成的角为  ，二面角 1 , .2A BC A      的大小为 求证： 19.（本不题满分 12 分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的 面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告的高与宽 的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 20（本小题满分 13 分） 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点为 :( 2,0), :(2,0), (3, 7)F F P 点 的曲线 C 上. （Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，若△OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程 21.（本小题满分 14 分） 已知数列 1 2{ } { } , 1 3n n xa b a an a  和 满足： 4 , ( 1) ( 3 21)n n n nn b a n      ,其中  为实数， n 为正整数. （Ⅰ）证明：当 18 { }nb   时，数列 是等比数列； （Ⅱ）设 nS 为数列{ }nb 的前 n 项和，是否存在实数  ，使得对任意正整数 n，都有 12?nS   若 存在，求  的取值范围；若不存在，说明理由. 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题 5 分，满分 50 分. 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题 5 分，满分 25 分. 11.10 12.30°（或 6  ） 13.2 14.0.98 15.（3，－2），（x＋2）2＋（y－3）2＝16（或 x2＋y2＋4x－6y－3＝0） 三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分. 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力. （满分 12 分） 解：(Ⅰ)f(x)= 2 1 sinx+ 2 3)4sin(2 2 2 3)cos(sin2 122 cos1  xxxx . 故 f(x)的周期为 2kπ｛k∈Z 且 k≠0｝. (Ⅱ)由π≤x≤ 12 17 π，得  3 5 44 5  x .因为 f(x)＝ 2 3)4sin(2 2  x 在[ 4 5,  ]上是减函数，在 [ 12 17,4 5  ]上是增函数. 故当 x= 4 5 时，f(x)有最小值－ 2 23  ；而 f(π)=－2，f( 12 17 π)＝－ 4 66  ＜－2， 所以当 x=π时，f(x)有最大值－2. 17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分 12 分） 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则 x=－m 或 x= 3 1 m, 当 x 变化时，f’(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (－∞,－m) －m (－m, m3 1 ) m3 1 ( m3 1 ,+∞) f’(x) + 0 － 0 + f (x) 极大值 极小值 从而可知，当 x=－m 时，函数 f(x)取得极大值 9， 即 f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1, 依题意知 f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1 或 x＝－ 3 1 . 又 f(－1)＝6，f(－ 3 1 )＝ 27 68 ， 所以切线方程为 y－6＝－5(x＋1),或 y－ 27 68 ＝－5(x＋ 3 1 )， 即 5x＋y－1＝0，或 135x＋27y－23＝0. 18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空 间想象能力和推理论证能力.（满分 12 分） (Ⅰ)证明：如右图，过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于 D，则 由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC∩侧面 A1ABB1＝A1B， 得 AD⊥平面 A1BC.又 BC 平面 A1BC 所以 AD⊥BC. 因为三棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA1⊥底面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AA1∩AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1, 又 AB 侧面 A1ABB1， 故 AB⊥BC. (Ⅱ)证法 1：连接 CD,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角，∠ABA1 就是二面角 A1－BC －A 的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=. 于是在 RtΔADC 中，sinθ= a AD AC AD  ,在 RtΔADA1 中，sin∠AA1D＝ a AD AA AD 1 , ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D 都是锐角，所以θ＝∠AA1D. 又由 RtΔA1AB 知，∠AA1D＋＝∠AA1B＋＝ 2  ，故θ＋＝ 2  . 证法 2：由(Ⅰ)知，以点 B 为坐标原点，以 BC、BA、BB1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 设 AB=c（c＜a＝，则 B(0,0,0)，A(0,c,0)，C( 0,0,22 ca  ), A1(0,c,a)，于是 )0,0,( 22 caBC  ， 1BA ＝（0，c,a）, )0,,( 22 ccaAC   1AA c,a 设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则由             .0 ,0 ,0 ,0 22 1 xca azcy BCn BAn 得 可取 n＝（0，－a，c），于是 n· AC =ac＞0， AC 与 n 的夹角为锐角,则与互为余角 sin=cos= 2222222 22 )( )0,,(),,0( |||| ca c ccaca ccaca ACn ACn         , cos= ,),0,0(),,0( |||| 2222 1 1 ca c aca aca BABA BABA         所以 sin=cos=sin(   2 ),又 0＜，＜ 2  ，所以+= 2  . 19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（满分 12 分） 解法 1：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab=9000. ① 广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a＞0，b＞0. 广告的面积 S＝(a+20)(2b+25) ＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b ≥18500+2 ba 4025  =18500+ .245001000 ab 当且仅当 25a＝40b 时等号成立，此时 b= a8 5 ,代入①式得 a=120，从而 b=75. 即当 a=120，b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小. 解法 2：设广告的高为宽分别为 x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为 x－20， ,2 25y 其中 x＞20，y＞25 两栏面积之和为 2(x－20) 180002 25 y ,由此得 y= ,2520 18000 x 广告的面积 S=xy=x( 2520 18000 x )＝ 2520 18000 x x, 整理得 S= .18500)20(2520 360000  xx 因为 x－20＞0，所以 S≥2 .2450018500)20(2520 360000  xx 当且仅当 )20(2520 360000  xx 时等号成立， 此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得 x=140，代入 y= 20 18000 x +25,得 y＝175， 即当 x=140，y＝175 时，S 取得最小值 24500， 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小. 20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待 写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. （满分 13 分） (Ⅰ)解法 1：依题意，由 a2+b2=4，得双曲线方程为 1 4 2 2 2 2    a y a x （0＜a2＜4＝， 将点（3， 7 ）代入上式，得 1 4 79 22    aa .解得 a2=18（舍去）或 a2＝2， 故所求双曲线方程为 .122 22  yx 解法 2：依题意得，双曲线的半焦距 c=2. 2a=|PF1|－|PF2|= ,22)7()23()7()23( 2222  ∴a2=2，b2=c2－a2=2. ∴双曲线 C 的方程为 .122 22  yx (Ⅱ)解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6=0. ∵直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴            ,33 ,1 0)1(64)4( ,01 22 2 ＜＜，＞ k k kk k ∴k∈(－ 1,3  )∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得 x1+x2= , 1 6, 1 4 2212 k xx k k    于是 |EF|= 2 21 22 21 2 21 ))(1()()( xxkyyxx  = |1| 32214)(1 2 2 2 21 2 21 2 k kkxxxxk    而原点 O 到直线 l 的距离 d＝ 21 2 k , ∴SΔOEF= . |1| 322 |1| 3221 1 2 2 1||2 1 2 2 2 2 2 2 k k k kk k EFd        若 SΔOEF＝ 22 ，即 ,0222 |1| 322 24 2 2    kk k k 解得 k=± 2 , 满足②.故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y= 22 x 和 .22  xy 解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ① ∵直线 l 与比曲线 C 相交于不同的两点 E、F， ∴            .33 ,1 0)1(64)4( ,01 22 2 ＜＜，＞ k k kk k ∴k∈(－ 1,3  )∪(1, 3 ). ② 设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得 |x1－x2|＝ |1| 322 |1| 4)( 2 2 221 2 21 k k k xxxx      . ③ 当 E、F 在同一支上时（如图 1 所示）， SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|= ||||2 1||||||||2 1 2121 xxOQxxOQ   ； 当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示）， SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝ .||||2 1|)||(|||2 1 2121 xxOQxxOQ   综上得 SΔOEF＝ ||||2 1 21 xxOQ  ，于是 由|OQ|＝2 及③式，得 SΔOEF＝ |1| 322 2 2 k k   . 若 SΔOEF＝2 2 ，即 0222 |1| 322 24 2 2    kk k k ,解得 k=± 2 ,满足②. 故满足条件的直线 l 有两条，基方程分别为 y= 22 x 和 y= .22  21.本小题主要考查等比数列的定义、数列示和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力 和推理能力.（满分 14 分） (Ⅰ)证明：假设存在一个实数，使｛an｝是等比数列，则有 21 2 2 aaa  ,即 （ 2 33   ）2= 4 449 9        2 244 9 4 9 0,9         矛盾. 所以｛an｝不是等比数列. （Ⅱ）证明：∵ 1 1 1 1 2( 1) [ 3{ 1} 21] ( 1) ( 2 14)3 n n n a nb a n a n            2 2( 1),( 3 21) .3 3n na n b       又 118, ( 18) 0.b        由上式知 1 20, ( ),3 nn n n bb n Nb      故当 18,   时，数列｛bn｝是以 （ +18）为首项， 2 3  为公比的等比数列. （Ⅲ）当 18   时，由（Ⅱ）得 12( 18) ( ) ,3 n nb      于是 3 2( 18) [1 ( ) ],5 3 n nS      当 18   时， 0nb  ，从而 0.nS  上式仍成立. 要使对任意正整数 n , 都有 12.nS   即 3 2 20( 18) [1 ( ) ] 12 18.25 3 1 ( )3 n n            令 2( ) 1 ( ) ,3 nf n    则 当 n 为正奇数时， 51 ( ) :3f n  当 n 为正偶数时， 5 ( ) 1,9 f n  5( ) (1) .3f n f 的最大值为 于是可得 320 18 6.5       综上所述，存在实数  ，使得对任意正整数 n ，都有 12;nS    的取值范围为 ( , 6). 