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  • 2021-07-01 发布

2021高考数学新高考版一轮习题:专题8 第74练 高考大题突破练——直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析

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‎1.(2020·唐山模拟)抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为k的直线l经过点P(-4,0),且直线l与抛物线C有公共点A,B,当k=时,A与B重合.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若A为PB的中点,求|AB|.‎ ‎2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(1,0).‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.‎ ‎3.(2019·娄底期末)在平面直角坐标系中,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线x2-=1的渐近线的距离为.‎ ‎(1)求该抛物线的方程;‎ ‎(2)设抛物线准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,弦AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于N,求点N横坐标的取值范围.‎ ‎4.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.‎ ‎(1)求C2的方程;‎ ‎(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.‎ 答案精析 ‎1.解 (1)当k=时,直线l:y=(x+4),即x-2y+4=0.‎ 此时,直线l与抛物线C相切,‎ 联立得y2-4py+8p=0,‎ 由Δ=0,即16p2-32p=0,得p=2(p=0舍去),‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)直线l:y=k(x+4)(k≠0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得y2-y+16=0,‎ 则①‎ 又A为PB的中点,则y1=y2.②‎ 由①②得k2=,‎ 所以|AB|= ‎=2.‎ ‎2.解 (1)依题意可得 解得a=,b=1,‎ 所以椭圆E的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).‎ ‎①当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;‎ ‎②当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).‎ 联立得方程组 消去y整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,‎ 所以x1+x2=,x1·x2‎ ‎=.‎ 所以y1·y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=.‎ 因为OM⊥ON,所以·=0.‎ 所以x1·x2+y1·y2==0,所以k=±,‎ 即直线l的方程为y=±(x-1).‎ ‎3.解 (1)由题意知,F,双曲线的一条渐近线为y=x,‎ 则=,解得p=2(负值舍去).‎ 故所求抛物线方程为y2=4x.‎ ‎(2)由(1)知,M(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),‎ 联立 得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,‎ Δ=4(k2-2)2-4k4>0,‎ 故-13,即点N横坐标的取值范围是(3,+∞).‎ ‎4.解 (1)由C1:x2=4y知,其焦点F的坐标为(0,1).‎ 因为F也是椭圆C2的一个焦点,‎ 所以a2-b2=1,①‎ 又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,‎ 由此易知C1与C2的公共点的坐标为,‎ 所以+=1.②‎ 联立①②,得a2=9,b2=8.‎ 故C2的方程为+=1.‎ ‎(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).‎ 因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,‎ 于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③‎ 设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.‎ 由 得x2-4kx-4=0.‎ 而x1,x2是这个方程的两根,‎ 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④‎ 由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,‎ 而x3,x4是这个方程的两根,‎ 所以x3+x4=,x3x4=.⑤‎ 将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,‎ 即16(k2+1)=,‎ 所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,‎ 即直线l的斜率为±.‎