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- 2021-07-01 发布
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1.(2020·唐山模拟)抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为k的直线l经过点P(-4,0),且直线l与抛物线C有公共点A,B,当k=时,A与B重合.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若A为PB的中点,求|AB|.
2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(1,0).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.
3.(2019·娄底期末)在平面直角坐标系中,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线x2-=1的渐近线的距离为.
(1)求该抛物线的方程;
(2)设抛物线准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,弦AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于N,求点N横坐标的取值范围.
4.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.
(1)求C2的方程;
(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
答案精析
1.解 (1)当k=时,直线l:y=(x+4),即x-2y+4=0.
此时,直线l与抛物线C相切,
联立得y2-4py+8p=0,
由Δ=0,即16p2-32p=0,得p=2(p=0舍去),
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)直线l:y=k(x+4)(k≠0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-y+16=0,
则①
又A为PB的中点,则y1=y2.②
由①②得k2=,
所以|AB|=
=2.
2.解 (1)依题意可得
解得a=,b=1,
所以椭圆E的标准方程为+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
①当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;
②当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).
联立得方程组
消去y整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
所以x1+x2=,x1·x2
=.
所以y1·y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=.
因为OM⊥ON,所以·=0.
所以x1·x2+y1·y2==0,所以k=±,
即直线l的方程为y=±(x-1).
3.解 (1)由题意知,F,双曲线的一条渐近线为y=x,
则=,解得p=2(负值舍去).
故所求抛物线方程为y2=4x.
(2)由(1)知,M(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),
联立
得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,
Δ=4(k2-2)2-4k4>0,
故-13,即点N横坐标的取值范围是(3,+∞).
4.解 (1)由C1:x2=4y知,其焦点F的坐标为(0,1).
因为F也是椭圆C2的一个焦点,
所以a2-b2=1,①
又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,
由此易知C1与C2的公共点的坐标为,
所以+=1.②
联立①②,得a2=9,b2=8.
故C2的方程为+=1.
(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,
于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③
设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.
由
得x2-4kx-4=0.
而x1,x2是这个方程的两根,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④
由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,
而x3,x4是这个方程的两根,
所以x3+x4=,x3x4=.⑤
将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,
即16(k2+1)=,
所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,
即直线l的斜率为±.
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