上海市宝山区2020届高三下学期二模考试数学试题 Word版含解析 19页

www.ks5u.com 上海市宝山区2020届高三二模数学试卷 一：填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1.已知复数z满足（其中，i为虚数单位），则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数乘方运算法则可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复数的乘方运算公式，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反正弦函数的定义域列不等式可解得结果.‎ ‎【详解】由得，‎ 所以函数的定义域是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了反正弦函数的定义域，属于基础题.‎ ‎3.计算行列式的值，______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据行列式的计算公式计算可得答案.‎ - 19 -‎ ‎【详解】,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二阶行列式的计算，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线C：（，）的实轴与虚轴长度相等，则C：（，）的渐近线方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实轴与虚轴的定义可得，根据双曲线的渐近线方程可得答案.‎ ‎【详解】依题意得，即，‎ 所以C：（，）的渐近线方程是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的实轴，虚轴，渐近线，属于基础题.‎ ‎5.已知无穷数列，，则数列的各项和为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用定义可得数列是首项为，公比为的等比数列，利用公式计算可得答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ ‎，‎ - 19 -‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以数列的各项和为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了无穷等比数列各项和的公式，属于基础题.‎ ‎6.一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆锥的底面半径为，根据可解得结果.‎ ‎【详解】设圆锥的底面半径为，则底面周长为，底面积为，‎ 侧面展开图扇形的半径为，弧长为，扇形的面积为，‎ 所以，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的表面积，考查了扇形的面积公式，属于基础题.‎ ‎7.某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由变化为p，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率______.（精确到）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意列出方程，改为对数式后，利用计算器可解得结果.‎ ‎【详解】依题意有，所以，‎ 所以，所以.‎ 故答案为：‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了利用计算器求近似值，属于基础题.‎ ‎8.已知的展开式的常数项为第6项，则常数项为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据第6项为常数项，由通项公式可得，再由通项公式即可解得结果.‎ ‎【详解】由通项公式得=为常数项，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎9.某医院从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记3名男医生分别为，2名女医生分别为，利用列举法列出所有基本事件，得到所有基本事件的种数和所求事件包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式计算可得结果.‎ ‎【详解】记3名男医生分别为，2名女医生分别为，‎ 则从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫的所有基本事件为：，，，，，，，，，共10种，‎ 其中至少有1位女医生的有，，，，，，共7种，‎ 根据古典概型的概率公式可得选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是.‎ - 19 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，使用列举法是解题关键，属于基础题.‎ ‎10.已知方程（）的两个虚根是，，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据虚根成对定理可设，，代入可解得，根据韦达定理可得，，将代入可解得，.‎ ‎【详解】因为方程（）的两个虚根是，，‎ 所以，解得，‎ 由虚根成对定理可设，，‎ 所以，，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，满足，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理，复数的模长公式，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎11.已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，令目标函数为，作出可行域，根据图形得到最优解即可得到结果.‎ ‎【详解】因为，令目标函数为，‎ 作出可行域，如图：‎ 由图可知，最小值最优解为，最大值最优解为，‎ 所以，即的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示，考查了线性规划求函数的最值，属于基础题.‎ ‎12.已知平面向量满足，，，，则 - 19 -‎ 的最小值为_____‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，由，可求，再代入，可得，由此表示出，从而可求出最小值.‎ ‎【详解】设，，，由，得：，‎ 又，则，解得：，‎ ‎，‎ 故的最小值为-4.‎ 故答案为：-4.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查了向量在几何中的应用，建立坐标系表示出每个向量是常用的基本手段，属中档题.‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化标准形式，可得，进一步可得准线方程.‎ ‎【详解】由可得，所以，‎ 所以准线方程为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了抛物线方程的标准形式，考查了抛物线的准线方程，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎14.设函数的图象关于直线对称，则的值为()‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称轴可知，代入可求得结果.‎ ‎【详解】关于直线对称 ，则 经检验，满足题意，本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数对称性的应用，在已知对称轴的情况下，通常采用特殊值的方式来进行求解.‎ ‎15.用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”（ ）‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据必要不充分条件的定义可得结论.‎ ‎【详解】“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，‎ ‎“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，‎ 所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/‎ 故选：B - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题.‎ ‎16.已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，则函数（ ）‎ A. 是偶函数，且在上单调递减 B. 是偶函数，且在上单调递增 C. 是奇函数，且单调递减 D. 是奇函数，且单调递增 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用是定义在R上的奇函数，根据偶函数的定义可得为偶函数，设，则，根据可得，所以，根据定义可得函数在上单调递减.‎ ‎【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以时，恒有，即为偶函数， ‎ 当时，，设，则，‎ 由可知，‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 又，‎ - 19 -‎ 所以，即，‎ 由减函数的定义可知，函数在上单调递减.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了利用定义判断函数奇偶性，考查了利用定义判断函数的单调性，属于基础题.‎ 三.解答题（本大题共5题，共76分）‎ ‎17.如图，在直三棱柱中，，，D是的中点.‎ ‎（1）若三棱柱的体积为，求三棱柱的高 ‎（2）若，求二面角的大小 ‎【答案】（1）6（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出底面积后，根据棱柱的体积公式可求得棱柱的高；‎ ‎（2）以C为原点，为x轴，为y轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意，求得，‎ 所以，‎ 由，‎ 解得 ‎（2）以C为原点，为x轴，为y轴，为轴，建立如图所示的坐标系：‎ - 19 -‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，‎ 取，则，，‎ 所以，平面的一个法向量为，‎ 平面的一个法向量为，‎ 记二面角为，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，考查了二面角的向量求法，正确建立空间直角坐标系是求二面角的关键，属于中档题.‎ ‎18.已知函数，，，，它们的最小正周期为 ‎（1）若是奇函数，求和在上的公共递减区间D ‎（2）若的一个零点为，求的最大值 - 19 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据周期求出，根据是奇函数，求出，再求出和在上的递减区间，然后求其交集即可得到结果；‎ ‎（2）将点代入，可得，再化简得，可得最大值.‎ ‎【详解】（1）由，以及得，‎ 又是奇函数，所以，‎ 所以，，‎ 又，所以，‎ 在上，的递减区间是，‎ 的递减区间是，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ 把点代入得，‎ 即，‎ 又因为，，‎ - 19 -‎ 所以，所以，‎ 所以 因而.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式，考查了函数的奇函数性质，考查了函数的单调性，考查了函数的零点，考查了函数的最值，属于中档题.‎ ‎19.据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.‎ ‎（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）‎ ‎（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）‎ ‎【答案】（1）62.2万个，（2）2021年181万个，2022年547万个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案；‎ ‎（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，根据题意列式，可得，再求出和即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，‎ 所以今年一共建设基站万个，‎ 所以今年底全国共有基站万个.‎ ‎（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，‎ - 19 -‎ 则，即，解得，‎ 所以万个， 万个.‎ 所以2021年至少新建万个基站，2022年至少新建万个基站オ能完成计划.‎ ‎【点睛】本题考查了数列建模，考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.已知直线l：和椭圆：相交于点，‎ ‎（1）当直线l过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线l的方程 ‎（2）点在上，若，求面积的最大值：‎ ‎（3）如果原点O到直线l的距离是，证明：为直角三角形.‎ ‎【答案】（1） （2） （3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程可得的坐标，可得弦长，求出点到直线的距离。利用三角形面积公式可得面积，然后利用基本不等式可得最大值；‎ ‎（3）利用原点O到直线l的距离是可得，联立，利用韦达定理可得，，求出，利用 - 19 -‎ 可证结论.‎ ‎【详解】（1）由知，，，所以，所以，‎ 所以左焦点为，上顶点为，‎ 所以，，所以直线l的方程为.‎ ‎（2）联立，可得或，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 又点到直线的距离，‎ 所以三角形的面积 ‎，‎ 因为要求面积的最大值，所以，‎ 所以，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎（3）原点到直线的距离为，‎ 所以，‎ - 19 -‎ 联立，消去并整理得，‎ 由韦达定理得，，‎ 所以，‎ 所以 所以，所以为直角三角形.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了三角形的面积公式，考查了基本不等式，考查了平面向量的数量积，考查了运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.定义：是无穷数列，若存在正整数k使得对任意，均有则称是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列的间隔数 ‎（1）若，是不是近似递增数列，并说明理由 ‎（2）已知数列的通项公式为，其前n项的和为，若2是近似递增数列的间隔数，求a的取值范围：‎ ‎（3）已知，证明是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.‎ ‎【答案】（1）近似递增数列，详见解析（2）（3）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据近似递增数列的定义判断可知是近似递增数列；‎ - 19 -‎ ‎（2）求出，根据，即恒成立，可得；‎ ‎（3）因为等价于，因为n，k是正整数，所以，均取不到，所以时上式恒成立，可得是近似递减数列，再验证时，不是近似递减数列，则可得4是它的最小间隔数.‎ ‎【详解】（1）是近似递增数列,理由如下：‎ 因为，‎ 或[注：2，3，4，…，都是间隔数.]‎ 即，所以是近似递增数列.‎ ‎（2）由题意得，‎ 所以对任意恒成立，‎ 即恒成立，.‎ 令，则，‎ 即a的取值范围是.‎ ‎（3）因为等价于，‎ 即，（*）‎ 因为n，k是正整数，所以，均取不到，‎ 所以时上式恒成立，即是近似递减数列，4是它的间隔数.‎ 当，当时，，故不等式（*）不成立；‎ - 19 -‎ 当，当时，，故不等式（*）不成立；‎ 当，当时，，故不等式（*）不成立；‎ 所以，4是它的最小间隔数.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，考查了对新定义的理解和运用能力，属于中档题.‎ - 19 -‎ - 19 -‎