高考数学专题复习练习：3-1 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2017·温州月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于(　　)‎ A．－e　　　　　　　　　　　　B．－1‎ C．1 D．e ‎【解析】 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋.‎ ‎∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.‎ ‎【答案】 B ‎2．(2017·雅安模拟)设曲线y＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则实数a＝(　　)‎ A．3 B．1‎ C．2 D．0‎ ‎【解析】 ∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，‎ ‎∴f′(0)＝e0＋a＝2，解得a＝2.‎ ‎【答案】 C ‎3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 016(x)等于(　　)‎ A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x ‎【解析】 ∵f1(x)＝sin x＋cos x，‎ ‎∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，‎ ‎∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，‎ ‎∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，‎ ‎∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，‎ ‎∴fn(x)是以4为周期的函数，‎ ‎∴f2 016(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎4．(2017·北京东城期中)曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)‎ A．x＝1 B．y＝ C．x＋y＝1 D．x－y＝1‎ ‎【解析】 f(x)＝的导数为f′(x)＝，因此曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝0，切点坐标为，因此曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎5．(2017·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为(　　)‎ A.∪ B. C.∪ D. ‎【解析】 因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.‎ ‎【答案】 C ‎6．(2017·陕西西安地区八校第三次联考)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　)‎ A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)‎ B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)‎ C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)‎ D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)‎ ‎【解析】 观察题中图象可知，该函数在(2，3)上为连续可导的增函数，且增长得越来越慢．所以各点处的导数在(2，3)上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以f′(2)＞f′(3)．而f(3)－f(2)＝表示连接点(2，f(2))与点(3，f(3))割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在(2，3)之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有0＜f′(3)＜＜f′(2)．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎7．(2017·天津一中第一次月考)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．‎ ‎【解析】 根据题意，得y′＝－，∴曲线在点P处的切线的斜率k＝－≥－＝－1，且k＜0.又∵k＝tan α，结合正切函数的图象可得α∈.‎ ‎【答案】 ‎8．(2017·江西南昌十所省重点中学二模)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________．‎ ‎【解析】 ∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)．∵f′(x)是偶函数，∴3(－x)2＋2a(－x)＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，解得a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3.则f(2)＝2，f′(2)＝9，即切点为(2，2)，切线的斜率为9，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.‎ ‎【答案】 9x－y－16＝0‎ ‎9．(2017·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．‎ ‎【解析】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ ‎∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，‎ ‎∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ ‎∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)，‎ 即y＝13x－32.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.‎ 又∵直线l过原点(0，0)，‎ ‎∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，‎ ‎∴x0＝－2，‎ ‎∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ ‎【解析】 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，‎ 于是解得故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)，‎ 即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0，得y＝－，‎ 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，‎ 从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎【解析】 ∵f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，∴f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.‎ ‎【答案】 C ‎12．(2017·兰州一模)曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1(x∈[1，2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设P(x0，x＋1)，x0∈[1，2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，∴y＝2x0(x－x0)＋x＋1，设g(x)＝2x0(x－x0)＋x＋1，则g(1)＋g(2)＝2(x＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)，∴S普通梯形＝×1＝－x＋3x0＋1＝－＋，‎ ‎∴P点坐标为时，S普通梯形最大．‎ ‎【答案】 B ‎13．(2017·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x上，且在第二象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________．‎ ‎【解析】 ∵y′＝3x2－1，曲线C在点M处的切线的斜率为2，∴3x2－1＝2，x＝±1，又∵点M在第二象限，∴x＝－1，‎ ‎∴y＝(－1)3－(－1)＝0，∴M点的坐标为(－1，0)．‎ ‎【答案】 (－1，0)‎ ‎14．已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 017x1＋log2 017x2＋…＋log2 017x2 016的值为________．‎ ‎【解析】 f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，‎ 点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，‎ 令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，‎ ‎∴x1·x2·…·x2 016＝×××…××＝.‎ 则log2 017x1＋log2 017x2＋…＋log2 017x2 016‎ ‎＝log2 017(x1x2…x2 016)＝－1.‎ ‎【答案】 －1‎ ‎15．(2017·河北唐山一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，‎ 求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，‎ ‎∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.‎ ‎(2)存在．‎ 由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)．‎ ‎∵g′(x0)＝6x0＋6，‎ ‎∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)‎ ‎＝(6x0＋6)(x－x0)，‎ 将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.‎ 当x0＝－1时，切线方程为y＝9；‎ 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.‎ 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，‎ ‎①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，‎ 解得x＝－1或x＝2.‎ 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；‎ 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，‎ ‎∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.‎ ‎②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，‎ 解得x＝0或x＝1.‎ 在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；‎ 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；‎ ‎∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.‎ 综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.‎