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  • 2021-07-01 发布

高考数学专题复习练习:综合测试卷

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综合测试卷 ‎(时间:120分钟 满分:150分)‎ ‎ 滚动测试卷第17页  ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.若集合A={x|log‎1‎‎2‎(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=(  )‎ ‎                   ‎ A.‎0,‎‎1‎‎2‎ B.‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎ C.(0,2) D.‎‎1‎‎2‎‎,2‎ 答案A 解析∵A={x|log‎1‎‎2‎(2x+1)>-1}=x‎-‎1‎‎2‎0,‎‎3a-1<0,‎解得-3b>0)的离心率为‎1‎‎2‎,则双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的离心率是(  )‎ A.2 B.‎5‎‎2‎ C.‎7‎‎2‎ D.3‎ 答案C 解析∵ca‎=‎‎1‎‎2‎,a2=b2+c2,‎ ‎∴a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎,即b‎2‎a‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎.‎ 在双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1中,由b‎2‎a‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎,即c‎2‎‎-‎a‎2‎a‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎,可得c‎2‎a‎2‎‎=‎‎7‎‎4‎,故所求的离心率e=‎7‎‎2‎.故选C.‎ ‎4.设直线y=‎1‎‎2‎x+b是曲线y=ln x的一条切线,则b的值为(  )‎ A.ln 2-1 B.ln 2-2‎ C.2ln 2-1 D.2ln 2-2‎ 答案A 解析设切点为(m,n),则n=ln m.‎ 函数y=ln x的导数为y'=‎1‎x,可得切线的斜率为‎1‎m,‎ 则‎1‎m‎=‎‎1‎‎2‎,解得m=2,则n=ln 2,故b=n-‎1‎‎2‎m=ln 2-1.‎ 故选A.‎ ‎5.(2016河南顶级名校二模)设a∈R,则“a=1”是“f(x)=lna+‎‎2‎x-1‎为奇函数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案C 解析若a=1,则f(x)=ln‎1+‎‎2‎x-1‎=lnx+1‎x-1‎.‎ 故函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.‎ 又f(-x)+f(x)=ln‎-x+1‎‎-x-1‎+lnx+1‎x-1‎ ‎=lnx+1‎x-1‎‎·‎x-1‎x+1‎=ln 1=0,‎ ‎∴函数f(x)是奇函数,即充分性成立.‎ 若f(x)=lna+‎‎2‎x-1‎为奇函数,‎ 则f(-x)+f(x)=lna+‎‎2‎x-1‎+lna+‎‎2‎‎-x-1‎=0,‎ 化为(a-1)[(a+1)(x2-1)+4]=0,此式对于定义域内的任意x都成立,故a=1,‎ 即必要性成立.故“a=1”是“f(x)=lna+‎‎2‎x-1‎为奇函数”的充要条件.故选C.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图,当输入x为6时,输出的y=(  )‎ A.1 B.2 C.5 D.10‎ 答案D 解析由程序框图可得流程如下:x=6→x=3→x=0→x=-3,退出循环,此时y=(-3)2+1=10.‎ ‎7.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=(  )‎ A.5‎2‎ B.7 C.6 D.4‎‎2‎ 答案A 解析∵a1a2a3=5,∴a‎2‎‎3‎=5.‎ ‎∵a7a8a9=10,∴a‎8‎‎3‎=10.‎ 又a‎5‎‎2‎=a2a8,∴a‎5‎‎6‎‎=‎a‎2‎‎3‎a‎8‎‎3‎=50.‎ ‎∴a4a5a6=a‎5‎‎3‎=5‎2‎,故选A.‎ ‎8.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(  )‎ A.10 cm3 B.20 cm3 C.30 cm3 D.40 cm3‎ 答案B 解析由三视图可知该几何体为三棱柱ABC-DEF削去一个三棱锥A-BCD,如图.‎ 因为棱柱的高为5,底面为直角三角形,且直角三角形的两直角边长分别为3,4,‎ 所以几何体的体积V=‎1‎‎2‎×3×4×5-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×3×4×5=20(cm3).故选B.‎ ‎9.(2016河南顶级名校二模)已知等差数列的前n项和为Sn,且S1 006>S1 008>S1 007,则满足SnSn-1<0的正整数n为(  )‎ A.2 015 B.2 013 C.2 014 D.2 016‎ 答案A 解析由题意可得S1 008-S1 007>0,即a1 008>0.‎ 由S1 006>S1 008,得S1 008-S1 006<0,即a1 007+a1 008<0.‎ 故S2 015=‎‎2 015(a‎1‎+a‎2 015‎)‎‎2‎ ‎=‎2 015×2‎a‎1 008‎‎2‎=2 015a1 008>0,‎ S2 014=‎2 014(a‎1‎+a‎2 014‎)‎‎2‎‎=‎‎2 014(a‎1 007‎+a‎1 008‎)‎‎2‎<0,‎ 因此满足SnSn‎-1‎<0的正整数n=2 015,故选A.‎ ‎10.(2016河南顶级名校二模)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且cos A=‎2‎‎2‎‎3‎,BC=1,AC=3,三棱锥O-ABC的体积为‎14‎‎6‎,则球O的表面积为(  )‎ A.36π B.16π C.12π D.‎‎16π‎3‎ 答案B 解析由余弦定理得cos A=AB‎2‎+AC‎2‎-BC‎2‎‎2AB·AC‎=AB‎2‎+9-1‎‎6AB=‎‎2‎‎2‎‎3‎,解得AB=2‎2‎.‎ 故AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.‎ 因此AC是平面ABC与球的截面圆的直径.‎ 作OD⊥平面ABC,则D为AC的中点.‎ 所以VO-ABC=‎1‎‎3‎S△ABC·OD ‎=‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×2‎2‎×1×OD=‎14‎‎6‎,所以OD=‎7‎‎2‎.‎ 所以OA=OD‎2‎+AD‎2‎=2.‎ 所以S球O=4π·OA2=16π.故选B.‎ ‎11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是△ABC所在平面内一点,且AP=2,则PB‎·‎PC的最大值为(  )‎ A.10 B.12 C.10+2‎37‎ D.8〚导学号74920625〛‎ 答案C 解析以点A为原点,边AC所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,‎ 则A(0,0),B‎3‎‎2‎‎,‎‎3‎‎3‎‎2‎,C(4,0).‎ 设P(2cos θ,2sin θ),θ∈R,可得PB‎=‎3‎‎2‎‎-2cosθ,‎3‎‎3‎‎2‎-2sinθ,‎PC=(4-2cos θ,-2sin θ),‎ 故PB‎·PC=‎‎3‎‎2‎‎-2cosθ(4-2cos θ)-2sin θ‎3‎‎3‎‎2‎‎-2sinθ ‎=-11cos θ-3‎3‎sin θ+10=-2‎37‎sin(θ+α)+10.‎ 其中α为锐角,且tan α=‎11‎‎3‎‎9‎,θ∈R.‎ 故当sin(θ+α)=-1时,PB‎·‎PC取最大值10+2‎37‎.故选C.‎ ‎12.(2016山西太原五中4月模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则(  )‎ A.3f(ln 2)>2f(ln 3) B.3f(ln 2)=2f(ln 3)‎ C.3f(ln 2)<2f(ln 3) D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定〚导学号74920626〛‎ 答案C 解析令g(x)=f(x)‎ex,‎ 则g'(x)=f'(x)·ex-f(x)·‎exe‎2x‎=‎f'(x)-f(x)‎ex.‎ 因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x),‎ 所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增.‎ 又ln 2b>0)的离心率e=‎1‎‎2‎,右焦点到直线xa‎+‎yb=1的距离d=‎21‎‎7‎,O为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.‎ 解(1)由e=‎1‎‎2‎得ca=‎‎1‎‎2‎,即a=2c,故b=‎3‎c.‎ 由右焦点到直线xa‎+‎yb=1的距离为d=‎21‎‎7‎,‎ 得‎|bc-ab|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎21‎‎7‎,解得a=2,b=‎3‎.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,‎ 联立直线AB:y=kx+m与椭圆x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1,‎ 消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,‎ 化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.‎ 则x1+x2=-‎8km‎3+4‎k‎2‎,x1x2=‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎.‎ ‎∵OA⊥OB,‎ ‎∴x1x2+y1y2=0.‎ ‎∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,‎ 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,‎ ‎∴(k2+1)‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎‎-‎‎8‎k‎2‎m‎2‎‎3+4‎k‎2‎+m2=0,‎ 整理得7m2=12(k2+1).‎ ‎∴点O到直线AB的距离d=‎|m|‎k‎2‎‎+1‎‎=‎12‎‎7‎=‎‎2‎‎21‎‎7‎为定值.‎ ‎∵OA⊥OB,‎ ‎∴OA2+OB2=AB2≥2OA·OB.‎ 当且仅当OA=OB时取“=”号.‎ 由d·AB=OA·OB得d·AB=OA·OB≤AB‎2‎‎2‎,‎ ‎∴AB≥2d=‎4‎‎21‎‎7‎,‎ 即弦AB的长度的最小值是‎4‎‎21‎‎7‎.〚导学号74920628〛‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=-2x2+ax-ln x(a∈R),g(x)=exex+3.‎ ‎(1)若函数f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若对任意x∈(0,e),都有唯一的x0∈[e-4,e],使得g(x)=f(x0)+2x‎0‎‎2‎成立,求实数a的取值范围.‎ 解(1)∵f'(x)=‎-4x‎2‎+ax-1‎x,且f(x)在定义域内单调递减,‎ ‎∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,‎ 即4x2-ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立.‎ ‎∴Δ=a2-4×4×1≤0,即-4≤a≤4;‎ 或Δ=a‎2‎-4×4×1>0,‎a‎8‎‎<0,‎即a<-4.‎ 综上可知,a≤4.‎ ‎(2)∵g'(x)=e1-x(1-x),∴g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,e)内单调递减.‎ 又g(0)=3,g(1)=4,g(e)=e2-e+3>3,‎ ‎∴g(x)的值域为(3,4].‎ 记h(x)=f(x)+2x2=ax-ln x,m=g(x),‎ 原问题等价于∀m∈(3,4],存在唯一的x0∈[e-4,e],使得h(x0)=m成立.‎ ‎∵h'(x)=a-‎1‎x‎=‎ax-1‎x,x∈[e-4,e].‎ ‎①当a≤‎1‎e时,h'(x)≤0恒成立,h(x)单调递减,‎ 由h(x)max=h(e-4)=ae-4+4≥4,h(x)min=h(e)=ae-1≤3,解得0≤a≤‎1‎e;‎ ‎②当a≥e4时,h'(x)≥0恒成立,h(x)单调递增,‎ h(x)min=h(e-4)=ae-4+4>4,不符合题意,舍去;‎ ‎③当‎1‎e4,h(e)=ae-1,‎ 要满足条件,则ae-1≤3,故‎1‎e0,得|2cos α-sin α|>1.‎ 故‎1‎‎|PM|‎‎+‎1‎‎|PN|‎=‎1‎‎|t‎1‎|‎+‎1‎‎|t‎2‎|‎=‎‎|t‎1‎+t‎2‎|‎‎|t‎1‎t‎2‎|‎ ‎=4|2cos α-sin α|∈(4,4‎5‎].‎ ‎[选修4—5:不等式选讲]‎ ‎23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>8的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥3在(-∞,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,‎ ‎①当x≤-1时,f(x)=2-x-2(x+1)=-3x.‎ 由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-‎8‎‎3‎;‎ ‎②当-18,得x>4,此时不等式无解;‎ ‎③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x.‎ 由f(x)>8,得3x>8,解得x>‎8‎‎3‎.‎ 综上,不等式f(x)>8的解集为‎-∞,-‎‎8‎‎3‎‎∪‎‎8‎‎3‎‎,+∞‎.‎ ‎(2)∵a>0,∴-a<0<2.‎ ‎∴f(x)=|x-2|+2|x+a|=‎‎-3x+2-2a,x≤-a,‎x+2a+2,-a