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- 2021-07-01 发布
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综合测试卷
(时间:120分钟 满分:150分)
滚动测试卷第17页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若集合A={x|log12(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=( )
A.0,12 B.-12,12 C.(0,2) D.12,2
答案A
解析∵A={x|log12(2x+1)>-1}=x-120,3a-1<0,解得-3b>0)的离心率为12,则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率是( )
A.2 B.52 C.72 D.3
答案C
解析∵ca=12,a2=b2+c2,
∴a2-b2a2=14,即b2a2=34.
在双曲线x2a2-y2b2=1中,由b2a2=34,即c2-a2a2=34,可得c2a2=74,故所求的离心率e=72.故选C.
4.设直线y=12x+b是曲线y=ln x的一条切线,则b的值为( )
A.ln 2-1 B.ln 2-2
C.2ln 2-1 D.2ln 2-2
答案A
解析设切点为(m,n),则n=ln m.
函数y=ln x的导数为y'=1x,可得切线的斜率为1m,
则1m=12,解得m=2,则n=ln 2,故b=n-12m=ln 2-1.
故选A.
5.(2016河南顶级名校二模)设a∈R,则“a=1”是“f(x)=lna+2x-1为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案C
解析若a=1,则f(x)=ln1+2x-1=lnx+1x-1.
故函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
又f(-x)+f(x)=ln-x+1-x-1+lnx+1x-1
=lnx+1x-1·x-1x+1=ln 1=0,
∴函数f(x)是奇函数,即充分性成立.
若f(x)=lna+2x-1为奇函数,
则f(-x)+f(x)=lna+2x-1+lna+2-x-1=0,
化为(a-1)[(a+1)(x2-1)+4]=0,此式对于定义域内的任意x都成立,故a=1,
即必要性成立.故“a=1”是“f(x)=lna+2x-1为奇函数”的充要条件.故选C.
6.执行如图所示的程序框图,当输入x为6时,输出的y=( )
A.1 B.2 C.5 D.10
答案D
解析由程序框图可得流程如下:x=6→x=3→x=0→x=-3,退出循环,此时y=(-3)2+1=10.
7.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
A.52 B.7 C.6 D.42
答案A
解析∵a1a2a3=5,∴a23=5.
∵a7a8a9=10,∴a83=10.
又a52=a2a8,∴a56=a23a83=50.
∴a4a5a6=a53=52,故选A.
8.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于( )
A.10 cm3 B.20 cm3 C.30 cm3 D.40 cm3
答案B
解析由三视图可知该几何体为三棱柱ABC-DEF削去一个三棱锥A-BCD,如图.
因为棱柱的高为5,底面为直角三角形,且直角三角形的两直角边长分别为3,4,
所以几何体的体积V=12×3×4×5-13×12×3×4×5=20(cm3).故选B.
9.(2016河南顶级名校二模)已知等差数列的前n项和为Sn,且S1 006>S1 008>S1 007,则满足SnSn-1<0的正整数n为( )
A.2 015 B.2 013 C.2 014 D.2 016
答案A
解析由题意可得S1 008-S1 007>0,即a1 008>0.
由S1 006>S1 008,得S1 008-S1 006<0,即a1 007+a1 008<0.
故S2 015=2 015(a1+a2 015)2
=2 015×2a1 0082=2 015a1 008>0,
S2 014=2 014(a1+a2 014)2=2 014(a1 007+a1 008)2<0,
因此满足SnSn-1<0的正整数n=2 015,故选A.
10.(2016河南顶级名校二模)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且cos A=223,BC=1,AC=3,三棱锥O-ABC的体积为146,则球O的表面积为( )
A.36π B.16π C.12π D.16π3
答案B
解析由余弦定理得cos A=AB2+AC2-BC22AB·AC=AB2+9-16AB=223,解得AB=22.
故AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.
因此AC是平面ABC与球的截面圆的直径.
作OD⊥平面ABC,则D为AC的中点.
所以VO-ABC=13S△ABC·OD
=13×12×22×1×OD=146,所以OD=72.
所以OA=OD2+AD2=2.
所以S球O=4π·OA2=16π.故选B.
11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是△ABC所在平面内一点,且AP=2,则PB·PC的最大值为( )
A.10 B.12 C.10+237 D.8〚导学号74920625〛
答案C
解析以点A为原点,边AC所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,
则A(0,0),B32,332,C(4,0).
设P(2cos θ,2sin θ),θ∈R,可得PB=32-2cosθ,332-2sinθ,PC=(4-2cos θ,-2sin θ),
故PB·PC=32-2cosθ(4-2cos θ)-2sin θ332-2sinθ
=-11cos θ-33sin θ+10=-237sin(θ+α)+10.
其中α为锐角,且tan α=1139,θ∈R.
故当sin(θ+α)=-1时,PB·PC取最大值10+237.故选C.
12.(2016山西太原五中4月模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则( )
A.3f(ln 2)>2f(ln 3) B.3f(ln 2)=2f(ln 3)
C.3f(ln 2)<2f(ln 3) D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定〚导学号74920626〛
答案C
解析令g(x)=f(x)ex,
则g'(x)=f'(x)·ex-f(x)·exe2x=f'(x)-f(x)ex.
因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x),
所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增.
又ln 2b>0)的离心率e=12,右焦点到直线xa+yb=1的距离d=217,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.
解(1)由e=12得ca=12,即a=2c,故b=3c.
由右焦点到直线xa+yb=1的距离为d=217,
得|bc-ab|a2+b2=217,解得a=2,b=3.
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,
联立直线AB:y=kx+m与椭圆x24+y23=1,
消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,
化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
则x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.
∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0.
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,
即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
∴(k2+1)4m2-123+4k2-8k2m23+4k2+m2=0,
整理得7m2=12(k2+1).
∴点O到直线AB的距离d=|m|k2+1=127=2217为定值.
∵OA⊥OB,
∴OA2+OB2=AB2≥2OA·OB.
当且仅当OA=OB时取“=”号.
由d·AB=OA·OB得d·AB=OA·OB≤AB22,
∴AB≥2d=4217,
即弦AB的长度的最小值是4217.〚导学号74920628〛
21.(12分)设函数f(x)=-2x2+ax-ln x(a∈R),g(x)=exex+3.
(1)若函数f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围;
(2)若对任意x∈(0,e),都有唯一的x0∈[e-4,e],使得g(x)=f(x0)+2x02成立,求实数a的取值范围.
解(1)∵f'(x)=-4x2+ax-1x,且f(x)在定义域内单调递减,
∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,
即4x2-ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立.
∴Δ=a2-4×4×1≤0,即-4≤a≤4;
或Δ=a2-4×4×1>0,a8<0,即a<-4.
综上可知,a≤4.
(2)∵g'(x)=e1-x(1-x),∴g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,e)内单调递减.
又g(0)=3,g(1)=4,g(e)=e2-e+3>3,
∴g(x)的值域为(3,4].
记h(x)=f(x)+2x2=ax-ln x,m=g(x),
原问题等价于∀m∈(3,4],存在唯一的x0∈[e-4,e],使得h(x0)=m成立.
∵h'(x)=a-1x=ax-1x,x∈[e-4,e].
①当a≤1e时,h'(x)≤0恒成立,h(x)单调递减,
由h(x)max=h(e-4)=ae-4+4≥4,h(x)min=h(e)=ae-1≤3,解得0≤a≤1e;
②当a≥e4时,h'(x)≥0恒成立,h(x)单调递增,
h(x)min=h(e-4)=ae-4+4>4,不符合题意,舍去;
③当1e4,h(e)=ae-1,
要满足条件,则ae-1≤3,故1e0,得|2cos α-sin α|>1.
故1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2||t1t2|
=4|2cos α-sin α|∈(4,45].
[选修4—5:不等式选讲]
23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).
(1)当a=1时,求不等式f(x)>8的解集;
(2)若不等式f(x)≥3在(-∞,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,
①当x≤-1时,f(x)=2-x-2(x+1)=-3x.
由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-83;
②当-18,得x>4,此时不等式无解;
③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x.
由f(x)>8,得3x>8,解得x>83.
综上,不等式f(x)>8的解集为-∞,-83∪83,+∞.
(2)∵a>0,∴-a<0<2.
∴f(x)=|x-2|+2|x+a|=-3x+2-2a,x≤-a,x+2a+2,-a
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