高考数学一轮复习核心素养测评二十四4-6正弦定理和余弦定理文含解析北师大版 9页

核心素养测评二十四　正弦定理和余弦定理 (30 分钟　60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.在△ABC 中,a=2 ,b=2 ,B=45°,则 A 为 (　　) A.60°或 120°　　　　　　　 B.60° C.30°或 150° D.30° 【解析】选 A.在△ABC 中, 由正弦定理得 = , 所以 sin A= = = . 又 a>b,所以 A>B, 所以 A=60°或 A=120°. 2.(2020·侯马模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 = ,则 B 的大小 为 (　　) A.30°　 B.45° C.60°　 D.90° 【解析】选 B.由正弦定理知, = , 所以 sin B=cos B,所以 B=45°. 3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 a=2bcos C,则此三角形一定是 (　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】选 C.在△ABC 中,因为 cos C= ,所以 a=2bcos C=2b· ,所以 a2=a2+b2-c2,所以 b=c, 所以此三角形一定是等腰三角形. 4.在△ABC 中,∠A=60°,a= ,b= ,则△ABC 解的情况是 (　　) A.无解 B.有唯一解 C.有两解 D.不能确定 【解析】选 B.因为在△ABC 中, ∠A=60°,a= ,b= , 所以根据正弦定理 得 sin B= = = , 因为∠A=60°,得∠B+∠C=120°, 所以由 sin B= ,得∠B=30°,从而得到∠C=90°, 因此,满足条件的△ABC 有且只有一个. 　　【变式备选】 　　 已知在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.a=x,b=2,B=30°,若三角形有两个解, 则 x 的取值范围是 (　　) A.(2,+∞)　　　　　　　 B.(2,2 ) C.(2,4)　 D.(2,2 ) 【解析】选 C.因为三角形有两个解,所以 xsin B0, 所以 1+2cos B=0,解得 cos B=- , 又因为 B∈(0,π),所以 B= . (2)由(1)知 B= ,且外接圆的半径为 , 由正弦定理可得 =2× ,解得 b=5, 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,可得 25=a2+c2+ac, 因为△ABC 的面积为 = acsin B= ac,解得 ac=3, 所以 25=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=(a+c)2-3,解得:a+c=2 , 所以△ABC 的周长 L=a+c+b=2 +5. 5.(10 分)(2020·侯马模拟) 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. 世纪金榜导学号 (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 【解析】(1)由已知,结合正弦定理, 得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc.又由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,所以 bc=-2bccos A,即 cos A=- .由于 A 为△ABC 的内角,所以 A= . (2)由已知 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,结合正弦定理,得 2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C, 即 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2 = .又由 sin B+sin C=1,得 sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,所以 sin Bsin C= ,结合 sin B+sin C=1,解得 sin B=sin C= .因为 B+C=π-A= ,所以 B=C= ,所以△ABC 是等腰三角形. 1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式:设△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则△ABC 的面积 S= .若 a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求 得△ABC 的面积为 (　　) 世纪金榜导学号 A. B.2 C.3 D. 【解析】选 A.由正弦定理及 a2sin C=4sin A,得 ac=4,再结合(a+c)2=12+b2,得 a2+c2-b2=4,则 S= = = ,故选 A. 2.(2019·沈阳模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=5,B= ,△ABC 的面 积为 ,则 cos 2A=　　　　. 世纪金榜导学号 【解析】由三角形面积公式得 S△ABC= acsin B= ×a×5×sin = × ×5a= ,解得 a=3.由 b2=a2+c2-2accos B=32+52-2×3×5× =49,得 b=7.由 = 所以 sin A= sin B= sin = ,所以 cos 2A=1-2sin2A=1-2× = . 答案: