黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题 7页

高三数学（文科）试卷 第 1 页 共 7 页 2020—2021 学年度 第一学期 期中考试 高三数学（文科）试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 （1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（60 分，每题 5 分） 1.设集合 则 =（ ） A． B． C． D． 2.设 是虚数单位，条件 复数 是纯虚数，条件 ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4.在等比数列 中， ， ，则 （ ） A．16 B． C． 或 D．16 或 1 5.在 中， ， , ,则 （ ） A． B． C． D． 6.已知 , 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 ( ) A． B． C． D．4 7.函数 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 8.曲线 在点 处的切线的斜率为（ ） A． B． C．1 D． 9.已知 ， ，并且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为 　　 A．16 B．9 C．5 D．4 10.已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则三个数 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 11.若将函数 y＝sin（2x ）的图象向右平移 个单位长度，平移后所得图象为曲线 y＝f（x）， 下列四个结论： ①f（x）＝sin（2x ） ②f（x）＝sin（2x ） ③曲线 y＝f（x）的对称中心的坐标为（ ，0），（k∈Z） ④曲线 y＝f（x）的对称中心的坐标为（ π，0）（k∈Z） 其中所有正确的结论为（ ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 12.若函数 恰有两个零点 ， ，且 ，则 （ ） A． B．2 C． D．1 第 II 卷（共 90 分） 2{ | 2 , }, { | 1 0},xA y y x R B x x= = ∈ = − < A B∪ ( 1,1)− (0,1) ( 1, )− +∞ (0, )+∞ i :p ( )1 ,a bi a b R− + ∈ : 1q a = p q / / / /m nα α， //m n / / m nα β α β⊂ ⊂， ， //m n m n n mα β α= ⊂ ⊥ ， ， n β⊥ / /m m n nα β⊥ ⊂， ， α β⊥ { }na 1 1a = 3 2 2a a− = 5a = 1− 16− 1− ABC∆ 3cos 5C = − 1BC = 5AC = AB = 30 4 2 29 2 5 a b 060 3a b+ = 10 ( ) 2ln 1 xf x x  =  −  ( ) ( )( ) ' 1 1= − −xf x f e e x ( )( )0, 0f 2 e− 1 2 e− 4 2e− 0a > 0b > 1 a 1 2 1 b 9a b+ ( ) ( )f x R [ )0, ∞+ ( )3log 13a f= − 1 2 1log 8b f  =     ( )0.62c f= a b c> > a c b> > b a c> > c a b> > 4 π+ 6 π 12 π− 7 12 π+ 2 24 kπ π+ 7 2 24 kπ + ( ) ( ) ( )1 sin 0f x a x x a= − − > 1x 2x 1 2x x< 1 1tanx x− = 2− 1− 高三数学（文科）试卷 第 2 页 共 7 页 二、填空题（20 分，每题 5 分） 13.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”. 如果三人中只有一人说的是真的，请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物. 14.设 满足约束条件 ，则 的最小值是____________. 15.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱 锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 16.已知菱形 的边长为 ， ，点 、 分别在边 ， 上， ， ，若 ，则 的最小值__________． 三、解答题（70 分，第 17 题 10 分，其余每道大题 12 分） 17.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ． （Ⅰ）求直线 和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线 上的点到直线 距离的最小值． 18.设 是等差数列，且 . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 . 19.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）正数 满足 ，证明： . 20.已知函数 ， （1）求函数 的最小正周期； （2）设 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，且 ，求 的面积． 21. 市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式.下表是该企 ,x y 2 2 0 2 2 x y x y + − ≥  ≤  ≤ 2z x y= − 2 5 ABCD 2 120BAD∠ = ° E F BC CD BE BCλ=  DF DCµ=  52 2 λ µ+ = AE AF⋅  xOy l 3 4 2 x t y t =  = − t x C 2 2 12 3 cos ρ θ= + l C C l { }na 1 2 3ln 2, 5ln 2a a a= + = { }na 1 2 naa ae e e+ + + ( ) | 3 1| | 3 3|f x x x= − + + ( ) 10f x ≥ ,a b 2a b+ = ( )f x a b≥ + ( ) 23sin 2 2cos 1f x x x= − − x∈R ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c 6c = ( ) 0f C = ( )sin sin 2sin 2C B A A+ − = ABC∆ H 高三数学（文科）试卷 第 3 页 共 7 页 业每月生产的一种核心产品的产量 （吨 与相应的生产总成本 （万元）的五组对照数据. （1）根据上达数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求 关于 的线性回归直线方程 ； 参考公式： ， . (2) 记第（1）问中所求 与 的线性回归直线方程 为模型①，同时该企业科研人员利 用计算机根据数据又建立了 与 的回归模型②： .其中模型②的残差图（残差 实际 值 预报值）如图所示：请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜 作为 关于 的回归方程？并说明理由； (3) 根据模型①中 与 的线性回归方程，预测产量为 6 吨时生产总成本为多少万元？ 22.已知函数 （ ） （1）若 为 的极大值点，求 的取值范围； （2）当 时，判断 与 轴交点个数，并给出证明. 一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.A 9.A 10.C 11.D 12.D 二、填空题 13.甲 14.-6 15. 16. 3 三、解答题 17.解：（Ⅰ） 代入 ，得 ： ； 由 ， 得，曲线 的直角坐标方程是 ． 产量 （件 1 2 3 4 5 生产总成本 （万元） 3 7 8 10 12 x ) y y x ˆˆ ˆy bx a= + 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − y x ˆˆ ˆy bx a= + y x 21 12 ˆy x= + = − y x y x ( ) ( 2) lnxf x x e a x ax= − + − a R∈ 1x = ( )f x a 0a ≥ ( )y f x= x 4 π 3 xt = 4 2y t= − l 2 3 12 0x y+ − = cosx ρ θ= 2 2 2x yρ = + C 2 2 14 3 y x+ = x ) y 高三数学（文科）试卷 第 4 页 共 7 页 （Ⅱ）设曲线 上任意一点 到 的距离 ， ， 当 时，曲线 上的点到 的距离 的最小值为 ． 18.（I）设等差数列 的公差为 ，∵ ，∴ ， 又 ，∴ .∴ . （II）由（I）知 ，∵ ，∴ 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.∴ . ∴ 19.（1）当 时， ，解得 ，所以 ； 当 时， ， ； 当 时， ，解得 ，所以 . 综上，不等式 的解集为 . （2）证明：因为 为正数，则 等价于 恒成立. 又因为 ，且 ，所以只需证 ， 因为 ，当且仅当 时等号成立.所以 成立. 20.（1） 的最小正周期： （2）由 得： ，即： ， ，解得： ， 由 得： 即： 若 ，即 时， 则： 若 ，则 ,由正弦定理可得： 由余弦定理得： 解得： 综上所述， 的面积为： 21.解：（1）计算 ， ， ， ， ， ， 因此，回归直线方程为 . （2）模型①的残差表为： C ( )3 cos ,2sinM θ θ l d 4 3sin 122 3 cos 6sin 12 6 13 13 d πθθ θ  + − + −  = = ( )23 k k Z πθ π= + ∈ C l d 12 13 4 39 13 − { }na d 2 3 5ln2a a+ = 12 3 5ln2a d+ = 1 ln2a = ln2d = ( )1 1 ln2na a n d n= + − = ln2na n= 2 ln2 =2n na nln ne e e= = { }nae 2 1 2 ln2 ln2 ln2n naa ae e e e e e+ + + = + + +  2=2 2 2n+ + + 1=2 2n+ − 1 2 naa ae e e+ + + 1=2 2n+ − 1x < − ( ) 1 3 3 3 6 2 10f x x x x= − − − = − − ≥ 2x −≤ 2x −≤ 11 3x− ≤ ≤ ( ) 1 3 3 3 4 10f x x x= − + + = ≥ x φ∈ 1 3x > ( ) 3 1 3 3 6 2 10f x x x x= − + + = + ≥ 4 3x ≥ 4 3x ≥ ( ) 10f x ≥ 4( , 2] [ , )3 −∞ − +∞ ,a b ( )f x a b≥ + ( ) 2f x a b ab≥ + + ( ) | 3 1| | 3 3| 4f x x x= − + + ≥ 2a b+ = 1ab ≤ 12 a bab +≤ = 1a b= = ( )f x a b≥ + ( ) 23sin 2 2cos 1 3sin 2 cos2 2 2sin 2 26f x x x x x x π = − − = − − = − −   ( )f x∴ 2 2T π π= = ( ) 0f C = 2sin 2 2 06C π − − =   sin 2 16C π − =   2 26 2C k π π π∴ − = + k Z∈ 3C k π π= + k Z∈ ( )0,C π∈ 3C π∴ = ( )sin sin 2sin 2C B A A+ − = ( ) ( )sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos sinA B B A A B A B B A B A A B+ + − = + + − = 4sin cosA A= cos sin 2sin cosA B A A= cos 0A = 2A π= 6 2 2sin 3 2 ca C = = = 2 2 2b a c= − = 1 1 2 6 32 2ABCS bc∆∴ = = × × = cos 0A ≠ sin 2sinB A= 2b a= 2 2 2 2 2 22 cos 5 4 cos 3 63c a b ab C a a a π= + − = − = = 2a = 2 2b∴ = 1 1sin 2 2 2 sin 32 2 3ABCS ab C π ∆∴ = = × × = ABC∆ 3 1 (1 2 3 4 5) 35x = + + + + = 1 (3 7 8 10 12) 85y = + + + + = 5 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 55i i x = = + + + + =∑ 5 1 1·3 2·7 3·8 4·10 5·12 141i i i x y = = + + + + =∑ 5 1 5 2 2 1 141 5 3 8 2.155 ˆ 5 9 i i i i i x y nxy b x nx = = − − × ×= = =− ×− ∑ ∑ 8 2.1 3 1ˆˆ .7a y bx= − = − × = 2.1 .7ˆ 1y x= + 高三数学（文科）试卷 第 5 页 共 7 页 1 2 3 4 5 3 7 8 10 12 3.8 5.9 8 10.1 12.2 1.1 0 结论：模型①更适宜作为 关于 的回归方程，因为： 理由 1：模型①的 4 个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄； 理由 2：模型①的 4 个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近进 轴.. （不列残差表不扣分，写出一个理由即可得分. （3）根据模型①中 与 的线性回归直线程， 计算 时， ， 所以预测产量为 6 吨时生产总成本为 14.3 万元. 22. （1） 设 ， ，所以 在 上单调递增. 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递增,所以此时 无极值. 当 时， ， 则一定存在 ，使得 所以当 时， ，从而 ， 单调递减. 当 时， ，从而 单调递增. 所以此时满足 为 的极大值点 当 时， ， 所以当 时， ，从而 ，所以 在 单调递增 此时 不可能为 的极大值点. 综上所述：当 为 的极大值点时， 的取值范围是 . （2）讨论 与 轴交点个数,即讨论方程 的根 的个数. 设 ，则 令 ，得 ，令 ，得 所以 在 上单调递减，在 上单调递增,所以 所以讨论方程 的根的个数，即探讨 的实数根的个数. 设 ， 则 x y ˆy ˆe 0.8− 0.1− 0.2− y x x ) y x 6x = 2.1 6 1. .3ˆ 7 14y = × + = ( ) ( 1)( ) 1)（ x x a xe af x x e xx x −= − − = −′ ( ) xg x xe a= − ( ) 1 0xg x x e+′ = >（ ） ( )g x R a e= (1) 0g e e= − = 1x > ( ) 0>g x 1x < ( ) 0 ( ) 0f x′ > ( )f x 1x < ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x a e> (1) 0g e a= − < ( )( ) 1 0a ag a ae a a e= − = − > ( )0 1,x a∈ 0( ) 0g x = ( )01,x x∈ ( ) 0 ( )f x 1x = ( )f x a e< (1) 0g e a= − > 1x > ( ) 0>g x ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1 + ∞， 1x = ( )f x 1x = ( )f x a a e> ( ) ( 2) lnxf x x e a x ax= − + − x ( )( 2) lnxx e a x x=− − ( ) lnr x x x= − ( ) 1 11 xr x x x −′ = − = ( ) 0r x′ > 1x > ( ) 0r x′ < 0 1x< < ( )r x ( )0,1 ( )1 + ∞， ( ) ( )1 1 0r x r≥ = > ( )( 2) lnxx e a x x=− − ( 2) ln xx ea x x − −= ( ) ( 2) ln xx e xh x x = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 21 ln 12 ln 2 ln ln ln x x x e x x xx e x x x e x x xh x x x x x  − − + −  − − − − −   = = − − ′ 高三数学（文科）试卷 第 6 页 共 7 页 设 ，则 令 ，得 ，令 ，得 所以 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 所以当 时， ，当 时， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增 又当 时， ，且 ， 当 时， 且 时， 所以当 时，方程 有唯一实数根. 综上： ， 与 轴有唯一交点 ( ) 2ln 1x x x x ϕ = − + − ( ) ( )( ) 2 2 2 11 21 x xx x x x ϕ − +′ = − − = ( ) 0xϕ′ > 2x > ( ) 0xϕ′ < 0 2x< < ( )xϕ ( )0 2， ( )2 + ∞， ( ) ( )2 2 ln 2 0xϕ ϕ≥ = − > 1x > ( ) 0h x′ > 0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )01， ( )1 + ∞， ( )0 2x∈ ， ( ) 2 0( ) ln xx eh x xx − −= < ( )2 0h = ( )2x∈ + ∞， ( ) 2 0( ) ln xx eh x xx − −= > x → +∞ ( )h x → +∞ 0a ≥ ( 2) ln xx ea x x − −= 0a ≥ ( )y f x= x 高三数学（文科）试卷 第 7 页 共 7 页