人教版初一数学上学期 绝对值 21页

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点03 绝对值 知识框架 基础知识点 知识点3. 1 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作 例1．（2020·河北邢台金华中学初一期中）表示的意义是( )‎ A．的相反数是 B．表示的点到原点的距离是 C．的相反数是 D．表示的点到原点的距离是 ‎【答案】D ‎【分析】在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，据此判断即可.‎ ‎【解析】根据绝对值的定义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，‎ ‎∴表示的点到原点的距离是，故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.‎ 例2．（2020·江苏省初三其他）的绝对值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可．‎ ‎【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，故．故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ 例3．（2020·眉山市东坡区苏辙中学初三其他）绝对值等于2020的实数为（ ）‎ A．2020 B．-2020 C．±2020 D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身解答．‎ ‎【解析】∵|-2020|=2020，|2020|=2020，∴绝对值等于2020的实数为±2020．故选：C．‎ ‎【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．‎ 例4.（2019·罗平县腊山一中初一月考）求下列各数的绝对值：‎ ‎（1）____________． （2）____________．‎ ‎（3）____________． （4）____________．‎ ‎【答案】； ； ； ‎ ‎【分析】根据绝对值的定义（数轴上某数与原点的距离叫做这个数的绝对值），求出各数的绝对值即可．‎ ‎【解析】（1）38；（2）0．15；（3）；（4）．‎ ‎【点睛】本题考查化简绝对值．解决本题的关键是理解正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．‎ 知识点3.2 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：‎ 互为相反数的两个数绝对值相等 例1．（2020·全国初一课时练习）设x为有理数，若|x|＝x，则( )‎ A．x为正数 B．x为负数 C．x为非正数 D．x为非负数 ‎【答案】D ‎【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．‎ ‎【解析】解：设x为有理数，若|x|=x，则x≥0，即x为非负数．故选：D．‎ ‎【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．‎ 例2．（2020·乌兰浩特市卫东中学初三二模）若，下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C．≥0 D．≤0‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据绝对值的意义解答即可．‎ ‎【解析】解：∵|x−5|＝5−x，∴，故选：D．‎ ‎【点睛】此题主要考查了绝对值和不等式的意义，熟知绝对值是它的相反数的数是非正数是解题的关键．‎ 例3．（2020·黑龙江哈尔滨初三其他）如果|x|＝|－5|，那么x等于（ ）‎ A．5 B．－5 C．＋5或－5 D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】|－5|=5，即：|x|=5，所以x=＋5或－5 ；选 C ‎【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，属于易错题型．‎ 例4．（2019·全国初一单元测试）若，则M一定是（ ）‎ A．任意一个有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 ‎【答案】B ‎【分析】直接利用绝对值的性质即可解答．‎ ‎【解析】解：∵M＋｜-20｜＝｜M｜＋｜20｜，∴Ｍ≥0，为非负数．‎ 故答案为B．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的应用，灵活应用绝对值的性质是正确解答本题的关键．‎ 例5．（2020·重庆第二外国语学校初三模拟）下列命题正确的是（　　）‎ A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数 ‎【答案】C ‎【分析】根据绝对值和相反数的概念分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．‎ ‎【解析】A、绝对值等于本身的数是非负数，原命题是假命题；‎ B、绝对值等于相反数的数是非正数，原命题是假命题；‎ C、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题；‎ D、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原命题是假命题；故选：C．‎ ‎【点睛】此题借助绝对值和相反数的概念考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．‎ 例6．（2020·新疆高昌初一月考）下列说法中错误的是（ ）‎ A．若∣a∣=∣b∣，则a=b B．若a=b，则∣a∣=∣b∣‎ C．没有最小的有理数 D．相反数等于它本身的数只有0．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据绝对值、相反数的性质即可判断．‎ ‎【解析】A. 若∣a∣=∣b∣，则a=±b，故错误； B. 若a=b，则∣a∣=∣b∣，正确；‎ C. 没有最小的有理数，正确 D. 相反数等于它本身的数只有0，正确．故选A．[来源:学科网]‎ ‎【点睛】此题主要考查有理数的性质判断，解题的关键是熟知绝对值、相反数的性质．‎ 知识点3.3 绝对值与数的大小 1） 正数大于0，0大于负数。‎ 2） 理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。‎ 例1．（2020·温岭市实验学校初一期末）如图，下列判断正确的是（　　）‎ A．a的绝对值大于b的绝对值 B．a的绝对值小于b的绝对值 C．a的相反数大于b的相反数 D．a的相反数小于b的相反数 ‎【答案】C ‎【分析】根据绝对值的性质，相反数的性质，可得答案．‎ ‎【解析】解：没有原点，无法判断|a|，|b|，有可能|a|＞|b|，|a|＝|b|，|a|＜|b|．‎ 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b，‎ 由相反数的概念，可得﹣a＞﹣b， 故C符合题意；故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴、绝对值、相反数，又利用了有理数大小的比较．‎ 例2．（2020·全国初一课时练习）下列各组数的大小比较的式子：①；②；③；④．其中正确的有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【分析】本题考查有理数的比较大小，按照正数绝对值越大，其结果越大；负数绝对值越大，其结果越小求解本题．‎ ‎【解析】①，结果正确；②正确应为，故结果错误；③，结果正确；④，结果正确；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查有理数的比较大小，按照正数大于负数，正数绝对值越大，结果越大，负数绝对值越小，其结果越大原则求解即可．‎ 例3．（2020·全国初一课时练习）问题：比较－与＋(－)的大小．‎ 解：化简可得－＝－，＋(－)＝－①.因为＝，=②，‎ 且＝>＝③，所以－＜－④，所以－＜＋(－)⑤.‎ 本题从第________(填序号)步开始产生错误，请给出正确的解题过程．‎ ‎【答案】③‎ ‎【分析】根据比较两个负数大小的方法进行分析解答即可.‎ ‎【解析】本题从第③步开始产生错误．正确的解题过程如下：‎ 将原式化简可得：，，①；‎ ‎∵，，②；且，③；‎ ‎∴，④‎ ‎∴．⑤‎ 故答案为：③.‎ ‎【点睛】熟知“两个负数，绝对值大的反而小”是解答本题的关键.‎ 例4．（2020·山东省中考真题）实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（ ）‎ A．a B．b C．c D．无法确定 ‎【答案】A ‎【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案．‎ ‎【解析】观察有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，‎ 这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．故选：A．‎ ‎【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，以及有理数大小的比较，正确掌握绝对值的意义是解题关键．‎ 重难点题型 题型1 由数求绝对值，由绝对值求数 ‎1)由数求绝对值：一定为非负数，即 ‎2)由绝对值求数 a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。‎ b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）‎ 例1．（2020·全国初一课时练习）绝对值小于3的所有整数的和是 ．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】绝对值小于3的所有整数有0, 1, 2，-1，-2，它们的积为0.‎ 例2．（2020·内蒙古自治区初一期末）已知，则的值为( )‎ A．6 B．-4 C．6或-4 D．-6或4‎ ‎【答案】C ‎【分析】本题根据绝对值的定义,由已知,可得a-1= ±5,解这个关于a的方程即可求得a的值.‎ ‎【解析】因为，‎ 当a-1大于0时，则a-1=5，则a=6，‎ 当a-1小于0时，则a-1= -5，则a= -4, 故选C.‎ ‎【点睛】此题考查了绝对值的性质，特别注意：互为相反数的两个数的绝对值相等．‎ 例3．（2020·贵州省初三学业考试）若，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【分析】先根据题意求得a、b的值，然后再求a-b的值，最后求a-b的绝对值即可．‎ ‎【解析】解：∵ ∴a=±3，b=±5‎ 当a=3，b=5时，a-b=-2 当a=3，b=-5时，a-b=8‎ 当a=-3，b=5时，a-b=-8 当a=-3，b=-5时，a-b=2‎ 所以a-b=±2或±8 所以2或8．故答案为D．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值方程和求绝对值，根据题意求得a-b的值是解答本题的关键．‎ 例4．（2020·全国初一课时练习）小麦做这样一道题“计算”、其中“□”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案，得知该题计算结果是8，那么”□”表示的数是( )‎ A．5 B．-5 C．11 D．-5或11[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据绝对值的性质求得结果，采用排除法判定正确选项．‎ ‎【解析】解：设”□”表示的数是x，则|（-3）+x|=8， ∴-3+x=-8或-3+x=8，∴x=-5或11．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的运算,掌握:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ 题型2 比较有理数大小的方法 性质：a.在数轴上从左往右的顺序，数字依次增大； b.两个负数，绝对值大的反而小 解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；‎ ‎（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数 ‎（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小 ‎（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。‎ 例1．（2019·全国初一课时练习）比较下列各组有理数的大小：（填“＞”或“＜”）‎ ‎（1）_______；（2）_______；（3）2.3_______-12.1；（4）-0.1______-10.‎ ‎【答案】＜ ＞ ＞ ＞ ‎ ‎【分析】首先将各式化简，可直接根据正数大于负数，比较（3）；再将（1）、（2）通分，根据同分母分数比较大小的方法比较即可，再根据两个负数相比较的法则，得出（4）的大小关系.‎ ‎【解析】（1）= ，= ；∴＜；‎ ‎（2）=- ，= ；∴＞；‎ ‎（3）2.3＞-12.1； （4）-0.1＞-10.‎ ‎【点睛】此题考查有理数大小比较，解题关键在于掌握比较法则.‎ 例2．（2019·浙江省初一课时练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示．‎ ‎ (1)在空白处填入“＞”或“＜”：a_____0；b_____0；c_____0；|a|_____|c|；|a|_____|b|；|－b|_____|c|.‎ ‎(2)试在数轴上找出表示－a，－b，－c的点；‎ ‎(3)试用“＜”号将a，－a，b，－b，c，－c，0连接起来．‎ ‎【答案】(1) ＜,＞,＜,＜, ＜ ,＜ ;(2)见解析；(3)c＜－b＜a＜0＜－a＜b＜－c ‎【分析】（1）根据数轴上点的位置特点和绝对值的含义进行解答;‎ ‎（2）根据相反数的定义画了其对应点;‎ ‎（3）根据数轴上从左到右的顺序就是从小到大的顺序进行解答.‎ ‎【解析】 (1)∵根据正数都大于0在原点的右边、负数都小于0在原点的左边、正数大于一切负数和绝对值大的点以原点的距离更远,∴a<0；b>0；c<0；|a|<|c|；|a|<|b|；|－b|<|c|;‎ ‎(2)根据相反数的定义可得：如图所示：‎ ‎(3) 根据数轴上从左到右的顺序就是从小到大的顺序可得：c＜－b＜a＜0＜－a＜b＜－c.‎ ‎【点睛】考查数轴上点的位置特点和有理数的大小比较，解题关键根据题意将各个数在数轴上表示出来.‎ 例3．（2019·四川省初一期末）a，b在数轴上位置如图所示，则a，b，‎-a，‎-b的大小顺序是( )‎ A．‎-a0,-b>0 ∴3a﹣b>0，故正确；‎ ‎⑤∵﹣a>b ∴- a﹣b>0. 故①③④⑤正确，选C.‎ ‎【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小.‎ 例5．（2019·河北省初一期中）如图，数轴上的三点所表示的数分别为，其中 ‎，如果|那么该数轴的原点的位置应该在（ ）‎ A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点的右边 ‎【答案】C ‎【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．‎ ‎【解析】∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小， 又∵AB=BC，∴原点O的位置是在点B、C之间且靠近点B的地方．故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．‎ 题型3 绝对值非负性的应用 性质：，即非负性 注：a为任意实数 解题技巧：此类题型往往出题为几个非负数相加，结果为0，则这每个非负数必须为零。即若，，…，为非负数，且，则必有 例1．（2020·浙江初一课时练习）若|x＋1|＋|y－2|＝0，则x－y＝________．‎ ‎【答案】－3‎ ‎【解析】由|x+1|+|y﹣2|=0，得 x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2．‎ x﹣y=﹣1﹣2=﹣1+（﹣2）=﹣3，故答案为﹣3．‎ 点睛：本题利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．‎ 例2．（2019·全国初一单元测试）若，则的值是　　‎ A． B．48 C．0 D．无法确定 ‎【答案】B ‎【分析】根据绝对值的性质以及非负数性质可得a+1=0、b-2=0、c+3=0，求得a、b、c的值后代入进行计算即可得答案.‎ ‎【解析】∵|a+1|+|b-2|+|c+3|=0，且|a+1|≥0，|b-2|≥0，|c+3|≥0，‎ ‎∴a+1=0、b-2=0、c+3=0，∴a=-1，b=2，c=-3，‎ ‎∴(a+3)(b+2)(c+6)= (-1+3)×(2+2)×(-3+6)=48，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了非负数的性质以及有理数的运算，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.‎ 例3. x，y是有理数，求的最小值。‎ ‎【答案】因为绝对值≥0，‎ 所以要使为最小值 则这两个绝对值都为0‎ ‎2x－8=0，3x－4y－12=0‎ 解得：x=4，y=0‎ 原式最小值为：0+0+3=3‎ 题型4 含有字母的绝对值的化简求值 性质：，即 注：无论a为何值，去绝对值，一定要保证得到的结果为非负数。‎ 解题技巧：（1）此类题型的关键是去掉绝对值符号，而去绝对值的关键是判断绝对值里面的式子是正数还是负数。若为正数，则可以直接去绝对值，绝对值里面的式子不变；若为负数，则去掉绝对值后，对绝对值里面的式子这个整体添加“﹣”号，使得到的结果为非负数。（2）有时，无法判断绝对值中式子的政府性，此时需要分类讨论。讨论的关键点在于找出对应零点，再根据零点进行讨论。‎ 例1．（2019·泰州市姜堰区张甸初级中学初一期中）已知化简：=__________．‎ ‎【答案】-a-3b-c ‎【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.‎ ‎【解析】∵ ∴a≤0，b＜0，c≥0 ∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0‎ ‎∴=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c 故答案为-a-3b-c.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键.‎ 例2．（2020·重庆市实验学校初一期中）有理数在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并同类项即可得到结果.‎ ‎【解析】由数轴可得a<0，b<0，c>0，且 ∴a-b<0，a+b<0，b-c<0 ‎ ‎∴=== ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查数轴、绝对值、有理数的大小比较，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答.‎ 例3．（2019·河北省衡水中学初一期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图得，a+1>0,a<0,a-b<0,b-1<0,‎ ‎=,选D.‎ 点睛：化简绝对值问题，根据，此时，a可以看做一个式子，a是正数或0，则，把绝对值变成括号，如果a是负数，则绝对值变括号，前面加负号.‎ 例4．（2019·长郡集团郡维学校初一月考）如果++=-1，那么+++的值为（　　）‎ A． B． C．0 D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】，所以，，中有一个正数，二个负数．‎ 不妨设，，，则．故选．‎ 点睛：本题考查了有理数的除法，利用得出a、b、c有一个正数，二个负数是解题关键．‎ 题型5 借助数轴解绝对值问题 性质：几何意义：表示x到点a的距离 解题技巧：（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。‎ 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。‎ 例1．（2020·珠海市第九中学初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.‎ ‎【解析】‎ 方法一：代数法（借助零点分类讨论）‎ 当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；‎ 当时，=（x+2）+（5-x）=7；‎ 当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；‎ ‎∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D.‎ 方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）‎ 可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，‎ 通过数轴分析反现当时，有最小值，最小值为7。‎ ‎【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题.‎ 例2．（2019·西安市铁一中学初一月考）若|x+3|+|x-5|=12，则x=_____．‎ ‎【答案】或 ‎【分析】对x-5＞0、-3＜x＜5、x＜-3分类讨论解答即可．‎ ‎【解析】‎ ① x-5＞0，即x>5 由|x+3|+|x-5|=12 得x+3+0．8x-4=12 x=13× x=‎ ② ‎-3＜x＜5时，则由|x+3|+|x-5|=12 得x+3+4-0.8x=12 x=25(舍)‎ ③ x＜-3，则由|x+3|+|x-5|=12 得-x-3+4-0.8x=12 x=‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值方程，根据绝对值正确的分类讨论是解答本题的关键．‎ 例3．（2018·天津南开中学初一月考）x是有理数，则的最小值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】代数法:分3种情况①当x＜-时；②当-≤x≤时；③当x＞时进行讨论，从而得到所求的结果．几何法：根据绝对值得几何意义分析知道在当-≤x≤时值最小。‎ ‎【解析】‎ 方法一（代数法）：分三种情况讨论：‎ ‎（1）当x＜-时， ‎ 原式=-（x-）-（x+）=-x+-x-=-2x+＞-2（-）+==； （2）当-≤x≤时，原式=-（x-）+x+=-x++x+==； （3）当x＞时，原式=x-+x+=2x-＞2×-==； 综合（1），（2），（3），可得最小值是．故答案为．‎ 方法二（几何法）：根据绝对值得几何意义分析，‎ 知当-≤x≤时的值最小为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值的运用，关键是讨论时要讨论所有的情况，不能缺少一个．‎ 例4．（2020·天津耀华中学初一月考）若是有理数，则的最小值是________．‎ ‎【答案】509040‎ ‎【分析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是多少即可．‎ ‎【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，‎ 最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）‎ ‎＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040‎ ‎∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．‎ ‎【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．‎ 例5．（2019·全国初一课时练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，p=|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B 分析：若P为定值，则化简后x的系数为0，由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简．‎ ‎【解析】∵P为定值，∴P的表达式化简后x的系数为0；‎ 由于2+3+4+5+6+7=8+9+10；∴x的取值范围是：1-7x≥0且1-8x≤0，即≤x≤；‎ 所以P=（1-2x）+（1-3x）+…+（1-7x）-（1-8x）-（1-9x）-（1-10x）=6-3=3．‎ 故选：B．‎ 点睛：能够根据P为常数的条件判断出x的取值范围，是解答此题的关键．‎ 课后训练：‎ ‎1．（2020·陕西西安高新一中初三其他）用数轴上的点表示下列各数，其中离原点距离最远的点对应的数是（　　）‎ A．0.5 B．2 C．0 D．﹣4‎ ‎【答案】D ‎【分析】到原点距离最远的点，即绝对值最大的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．‎ ‎【解析】解：0.5、2、0、﹣4四个点所表示的有理数的绝对值分别为0.5、2、0、4，其中绝对值最大的是﹣4．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．‎ ‎2．（2020·全国初一课时练习）设x为有理数，若|x|＝x，则( )‎ A．x为正数 B．x为负数 C．x为非正数 D．x为非负数 ‎【答案】D ‎【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．‎ ‎【解析】解：设x为有理数，若|x|=x，则x≥0，即x为非负数．故选：D．‎ ‎【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．‎ ‎3．（2019·河南唐河初一期中）方程|2x+1|=7的解是（　　）‎ A．x=3 B．x=3或x=﹣3 C．x=3或x=﹣4 D．x=﹣4‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据绝对值的意义，将原方程转化为两个一元一次方程后求解．‎ ‎【解析】解：由绝对值的意义，把方程变形为：‎ ‎2x＋1＝7或2x＋1＝－7，解得x＝3或x＝－4 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的意义和一元一次方程的解法，对含绝对值的方程，一般是根据绝对值的意义，去除绝对值后再解方程．‎ ‎4．（2020·广东东莞初三二模）下列说法中不正确的是（ ）‎ A．-3 表示的点到原点的距离是|-3| B．一个有理数的绝对值一定是正数 C．一个有理数的绝对值一定不是负数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 ‎【答案】B ‎【分析】根据绝对值的意义以及相反数的意义逐项进行分析即可得答案.‎ ‎【解析】A、根据绝对值的意义|-3|表示在数轴上表示-3的点到原点的距离，故A选项正确，不符合题意；‎ B、若这个有理数为0，则0的绝对值还是0，故B选项错误，符合题意；‎ C、根据绝对值的意义，|a|的绝对值表示在数轴上表示a的点到原点的距离，故任意有理数的绝对值都为非负数，所以不可能为负数，故C选项正确，不符合题意；‎ D、根据相反数的定义可知：只有符号不同的两数互为相反数，可知互为相反数的两数到原点的距离相等，即互为相反数的两个数的绝对值相等，故D选项正确，不符合题意，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值的代数意义为：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0；绝对值的几何意义为：|a|表示在数轴上表示a的这个点到原点的距离，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键．‎ ‎5．（2020·山东青岛三十七中初一月考）现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③﹣a一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数；⑤若两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等．其中错误的有（　 　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【分析】根据相反数、绝对值的定义和性质以及有理数的分类进行判断即可．‎ ‎【解析】解：①绝对值等于其本身的有理数是非负数，错误；②相反数等于其本身的有理数只有零，正确；[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎③−a不一定是负数，错误；④一个有理数不是整数就是分数，正确；‎ ‎⑤若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，错误．故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是绝对值、相反数的定义和性质以及有理数的分类，熟练掌握相关知识是解题的关键．‎ ‎6．（2020·温岭市实验学校初一期末）如图，下列判断正确的是（　　）‎ A．a的绝对值大于b的绝对值 B．a的绝对值小于b的绝对值 C．a的相反数大于b的相反数 D．a的相反数小于b的相反数 ‎【答案】C ‎【分析】根据绝对值的性质，相反数的性质，可得答案．‎ ‎【解析】解：没有原点，无法判断|a|，|b|，有可能|a|＞|b|，|a|＝|b|，|a|＜|b|．‎ 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b，‎ 由不等式的性质，得﹣a＞﹣b，故C符合题意；故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴、绝对值、相反数，利用不等式的性质是解题关键，又利用了有理数大小的比较．‎ ‎7．（2020·新疆高昌初一月考）下列说法中错误的是（ ）‎ A．若∣a∣=∣b∣，则a=b B．若a=b，则∣a∣=∣b∣‎ C．没有最小的有理数 D．相反数等于它本身的数只有0．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据绝对值、相反数的性质即可判断．‎ ‎【解析】A. 若∣a∣=∣b∣，则a=±b，故错误； B. 若a=b，则∣a∣=∣b∣，正确；‎ C. 没有最小的有理数，正确 D. 相反数等于它本身的数只有0，正确．故选A．‎ ‎【点睛】此题主要考查有理数的性质判断，解题的关键是熟知绝对值、相反数的性质．‎ ‎8．（2019·河北邢台金华中学初一期中）表示的意义是( )‎ A．的相反数是 B．表示的点到原点的距离是 C．的相反数是 D．表示的点到原点的距离是 ‎【答案】D ‎【分析】在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，据此判断即可.‎ ‎【解析】根据绝对值的定义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，‎ ‎∴表示的点到原点的距离是，故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.‎ ‎9．（2018·天津南开中学初一月考）设a是有理数，则的值（ ）[来源:Zxxk.Com]‎ A．可以是负数 B．必是正数 C．不可能是负数 D．正数、负数均可以 ‎【答案】C ‎【分析】根据绝对值分类讨论解答即可．‎ ‎【解析】解：当a＜0时，|a|-a=-a-a=-2a＞0， 当a=0时，|a|-a=0；当a＞0时，|a|-a=a-a=0，所以|a|-a的值不可能是负数，故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查绝对值，关键是根据绝对值分类讨论解答．‎ ‎10．（2019·浙江初一课时练习）若‎|a|‎a‎=-1‎；则a为（ ）‎ A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 ‎【答案】A ‎【分析】由已知可得|a|=－a且a≠0，所以a＜0，则可得出结果．‎ ‎【解析】∵‎|a|‎a‎=-1‎，∴|a|=－a且a≠0，∴a＜0，即a为负数．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值为非负数，比较简单．‎ ‎11．（2020·内蒙古自治区初一期末）下列说法正确的个数有（ ）‎ ‎①已知且则数在数轴上距离原点较近的是②若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数；③一定是负数；④若则是非正数．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】B ‎【分析】①根据已知条件判断出a，b的符号及绝对值的大小即可；‎ ‎②通过绝对值的性质即可求解；‎ ‎③本题可通过特殊值法求解；‎ ‎④通过绝对值的性质即可求解．‎ ‎【解析】解：①∵a+b＜0且a＞0，b＜0，∴|a|＜|b|，‎ ‎∴数a、b在数轴上距离原点较近的是a，故①正确；‎ ‎②正数和0的绝对值等于它本身，负数小于它的绝对值，故②正确；‎ ‎③a=0时，-|a|=0，故③错误；④若|a|+a=0，则a是非正数，故④正确．故选B．‎ ‎【点睛】考查的是数轴和绝对值，理解绝对值的性质、熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．绝对值的性质：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．‎ ‎12．（2020·安徽省初三一模）若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】利用绝对值的意义求解后即可确定正确的选项．‎ ‎【解析】∵，∴，故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的性质，若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a．‎ ‎13．（2020·重庆市实验学校初一期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（ ）‎ A．a–2c B．–a C．a D．2b–a ‎【答案】C ‎【解析】由数轴上a、b、c的位置关系可知：aa，c>b，a<0，∴a–b<0，c–a>0，b–c<0，∴=b–a–（c–a）+（c–b）–（–a）=b–a–c+a+c–b+a=a．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答.‎ ‎14．（2019·全国初一课时练习）如图，已知四个有理数、、、在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为、、、，且,则在，，，四个有理数中,绝对值最小的一个是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】根据可知，互为相反数，从而可以确定原点的位置，再根据离原点近的数绝对值小即可得到答案.‎ ‎【解析】∵，∴互为相反数，∴原点在的中点部位，即在的右边一点，∴是离原点最近的数，故答案是.‎ ‎【点睛】本题考查的是有理数与数轴的关系和互为相反数的特点以及绝对值的意义，由判断出这个数互为相反数从而确定原点的位置是解题的关键.‎ ‎15．（2020·全国初一课时练习）下列说法：①一个数的绝对值一定是正数；②－a一定是一个负数；③没有绝对值为－3的数；④若|a|＝a，则a是一个正数；⑤－2018的绝对值是2018.其中正确的有________．(填序号)‎ ‎【答案】③⑤‎ ‎【分析】直接利用绝对值的性质进而分析得出答案．‎ ‎【解析】①一个数的绝对值一定是正数，错误，因为有可能是0；   ②-a一定是一个负数，错误，a若小于0，则是正数；③没有绝对值为-3的数，正确； ④若|a|=a，则a是一个正数或0，故此选项错误；⑤－2018的绝对值是2018，正确；故答案为：③⑤．‎ ‎【点睛】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．‎