【精品导学案】人教版 七年级上册数学 3 5页

教学目标 1．通过观察，归纳一元一次方程的概念． 2．会根据已知条件，设未知数，列出简单的一元一次方程. 3．根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解． 教学重、难点： 重点：了解一元一次方程的有关概念，会根据已知条件，设未知数，列出简单的一元一次方程，并会估 计方程的解． 难点：找出问题中的相等关系，列出一元一次方程以及估计方程的解． 教学过程 一、复习提问 在小学里，我们已学习了像 2x=50，3x+1=4 等简单方程，那么什么叫方程呢？什么叫方程的解和解方 程呢？ 答：含有未知数的等式叫方程；能使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫 解方程． 方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用等式形式表示出来．在研究问题时， 要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数． 怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？这是本章研究的问题． 二、探究新知 1．怎样列方程？ 让学生观察章前图表，根据图表中给出的信息，回答以下问题． （1）根据图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间表，你知道，汽车从王家庄行驶 到青山用了多少时间？青山到秀水呢？ （2）青山与翠湖、秀水到翠湖的距离分别是多少？ （3）本问题要求什么？ （4）如果设王家庄到翠湖的路程为 x（千米），你能列出方程吗？ 解：（1）汽车从王家庄行驶到青山用了 3 小时，青山到秀水用了 2 小时． （2）青山与翠湖的距离为 50 千米，秀水与翠湖的距离为 70 千米． （3）王家庄到翠湖的距离是多少千米？ （4）分析：先画出示意图，示意图往往有助于分析问题． 从上图中可以用含 x 的式子表示关于路程的数量： 王家庄距青山（x-50）千米，王家庄距秀水（x+70）千米． 根据题意可知： 从王家庄到青山行车 3 小时，从王家庄到秀水行车 5 小时． 所以汽车从王家庄开往青山时的速度为 50 3 x  千米／时，汽车从王家庄开往秀水的速度为 70 5 x  千米 ／时． 根据汽车是匀速行驶的，可知各段路程的车速相等． 于是列出方程： 50 3 x  = 70 5 x  思考：对于以上的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？ 根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等． 所以还可以列方程： 50 3 x  = 50 70 2  或 70 5 x  = 50 70 2  以后我们将学习如何解这个方程，求出未知数 x 的值，从而得出王家庄到翠湖的路程． 方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，有了这 个未知数，问题中的已知量与未知量之间的关系就很容易用含有这个未知数的式子表示，再根据“相等关系” 列出方程． 总结：列方程时，要先设字母表示未知数，通常用 x、y、z 等字母表示未知数，然后根据问题中的相 等关系，写出含有未知数的等式即方程． 例 1：根据下列问题，设未知数并列出方程． （1）用一根长 24cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ 分析：设正方形的边长为 x（cm），那么周长为 4x（cm），依题意，得 4x=24． （2）一台计算机已使用 1700 小时，预计每月再使用 150 小时，经过多少月这台计算机的使用时间达 到规定的检修时间 2450 小时？ 分析：设再经过 x 月这台计算机的使用时间达到规定的检测时间，根据每月再使用 150 小时，那么 x 月共使用 150x 小时． 相等关系是：已使用的时间 1700 小时＋还可以使用的时间 150x 小时＝规定的检测时间 2450 小时． 从而列出方程：1700+150x=2450． （3）某校女生占．．．全体学生的 52%，比．男生多．80 人，这个学校有多少学生？ 分析：女生占全体学生数的 52%，那么男生占全体学生数的（1-52%），如果设这个学校有 x 个学生， 那么用含 x 的式子表示女生有 52%x 人，男生有（1-52%）x 人； 问题中的相等关系是（女生比男生多 80 人）即女生人数-男生人数=80 或女生人数=男生人数+80． 列方程：0.52x-（1-0.52）x=80 或 0.52x=（1-0.52）x+80． 2．一元一次方程的概念． 观察以上所列出的各方程，有什么特点？每个方程有几个未知数，未知数的指数是多少？ 只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫做一元一次方程． 例如方程 2x-3=3x+1，5y-3=2y 等都是一元一次方程，而 x+y=5，x2+3x=2 都不是一元一次方程． 跟踪练习： （1）.已知下列方程：①x-2= 1 x ；②0.2x=1；③ 3 x =x-3；④x2-4-3x；⑤x=0；⑥x-y=6．其中一元一次方程 有 . 答案：②③⑤ 解析：根据一元一次方程的概念可得：①x-2= 1 x 不是整式方程；④x2-4-3x 不是 方程；⑥x-y=6 含有两个未知数．都不是一元一次方程．②0.2x=1；③ 3 x =x-3； ⑤x=0 均符合一元一次方程的条件． （2）如果方程 2x2k-1-3=1 是关于 x 的一元一次方程，求 k 的值. 解： 因为方程 2x2k-1-3=1 是关于 x 的一元一次方程，所以 2k-1=1，解得 k=1． 3.估算方程的解 列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程可以解出未知数． 观察方程 4x=24，不难发现，当 x=6 时，4x 的值是 24，这时方程等号左右两边相等，x=6 叫做方程 4x=24 的解，这就是说，方程 4x=24 中未知数 x 的值应是 6． 使方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解． 从方程 1700+150x=2450，你能估算出 x 的值吗？ 这里 x 是正整数，如果 x=1，那么方程左边=1700+150×1=1850≠右边 所以 x≠1． 如果 x=2，则方程左边=1700+150×2=2000≠右边， 所以 x≠2． 类似地，我们可以列出下面的表． x 的值 1 2 3 4 5 6 … 1700+150x 1850 2000 2150 2300 2450 2600 … 从表中可以发现，当 x=5 时，1700+150x 的值是 2450． 这时方程 1700+150x=2450 等号左右两边相等，x=5 叫做方程 1700+150x=2450 的解，这就是说，方程 1700+150x=2450 中未知数 x 的值应是 5． 解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值的过程，这个值就是方程的解． 你能从表中发现方程 1700+150x=2600 的解吗？ 当 x=6 时，1700+150x 的值为 2600，即 x=6 时方程等号两边的值相等，所以这个方程的解是 x=6． 练习：检验下列各数是不是方程 4x-3=2x+3 的解. 三、巩固练习 课本第 82 页练习． 1．设沿跑道跑 x 周，可以跑 3000m，根据相等关系──x 周共长 3000m． 所以列方程：400x=3000，如果 x=7，则 400x=2800<3000，如果 x=8，则 400x=3200>3000，如果 x=7.5， 则 400x=4007.5=3000，所以沿跑道跑 7 周半，可以跑 3000m． 2．如果设买甲种铅笔 x 枝，那么买乙种铅笔（20-x）枝，买甲种铅笔用去 0.3x 元，乙种铅笔用去 0.6 （20-x）元，相等关系是： 两种铅笔共用了 9 元钱，由此可列方程． 0.3x+0.6（20-x）=9 3．设上底长为 xcm，那么下底长为（x+2）cm， 根据梯形面积公式，可列方程： 5[ ( 2)] 2 x x  =40 四、课堂小结 这节课你有什么收获？ 1.今天还学习了一元一次方程的定义，“一元”是指方程中只有一个未知数，“一次”是指方程中未知数的 指数是一，这样的方程才是一元一次方程． 2.用估算求方程的解，实际上是检验一个数是否为方程的解，方法是：把这个数分别代入方程的左、右 两边，看是否相等，若方程只有一边含有未知数，而另一边只有一个数，则只需代入只有未知数的一边， 计算出结果，看其是否和另一边相等． 3.列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤： 设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系． 找出相等关系──列出一元一次方程． 其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是 题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用． 五、作业布置 课本第 84 页至第 85 页习题 3．1 第 1、2、5、6、9 题．