七年级下数学课件《三角形的角平分线 中线和高》课件_冀教版 42页

第九章 三角形 9.3 三角形的角平分线、 中线和高 1 u三角形的角平分线 u三角形的中线 u三角形的高 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 1. 角平分线的定义及画法： 一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线. 2. 线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段 的点. 3. 做“过一点作已知直线的垂线”： 知识回顾 有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形 发呆，小明有一点奇怪了，外号“坐不住”的弟弟怎么 能坐住了？原来是弟弟想作出三角形ABC的三条高，但 是他不会作边AB、BC上的高，小明不假思索的说：“ 我来帮你”，当他准备作时，也难住了，聪明的你，能 帮帮小明兄弟吗？ 1 三角形的角平分线 知1－导 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线. 角平分线的理解： ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC 1 2 想一想，一个三角形有几条角平分线？请同学们画出， 思考它们有什么特点？ ①三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条 射线. ②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内 部交于一点. 知1－导 知1－讲 例1 如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于点O，请问DO是 △DEF的角平分线吗？说明理由． 要知道DO是不是△DEF的角平 分线，只需要知道∠EDO与 ∠FDO是否相等．若相等，根 据三角形的角平分线的定义即 可判定． 导引： 知1－讲 DO是△DEF的角平分线．理由如下： 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠DAB＝∠DAC(角平分线定义)． 因为DE∥AC，DF∥AB， 所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF(两直线平 行，内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF(等量代换)， 所以DO是△DEF的角平分线． 解： 知1－讲 本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得 出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一 组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线， 它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法． 1 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误 的是(　　) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝ ∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 知1－练 1 2 D 2 一个三角形的三条角平分线的交点在(　　) A．三角形内　　　　　 B．三角形外 C．三角形的某边上 D．以上三种情形都有可能 知1－练 A 2知识点 三角形的中线 知2－导 定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点 的线段叫做这个三角形的中线. 三角形中线的理解： ∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=CD= BC 1 2 知2－导 想一想，一个三角形有几条中线？请同学们画出. 它们有什么特点？ ①三角形的中线是一条线段. ②任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部交 于一点. 知2－讲 例2 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了． 于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平 均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地 的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种 平分的方案． 根据等底同高的三角形的面积相 等，要等分三角形的面积，只需 要作出一条边上的中线即可. 导引： 知2－讲 解：根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶 点．画△ABC的中线AD(如图)，则AD就把△ABC的 面积平分成两份．这是因为AD是△ABC的中线，所 以BD＝DC.过点A作AE⊥BC于点E.在△ABD和 △ACD中，因为BD，CD边上的高都是AE，所以由三 角形的面积计算公式，知△ABD和△ACD的面积相等， 因此，要把△ABC平分成两个三角形，只需画中线 AD即可，这是一种平分方法．(本题答案不唯一，作 AB，AC边上的中线也可以) (1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相 等的两部分，即等底同高的三角形面积相等； (2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量， 如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等. 知2－讲 （来自教材） (1)如图，△ABC的面积等于10，AD是中线，分别 求出△ABD和△ACD的面积. (2)你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分 成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分 呢？ 1 知2－练 知2－练 (1)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝ BC， 所以S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC＝5. (2)①把一个三角形分成面积相等的两部分，如图所 示，其中BD＝DC＝ BC，S△ABD＝S△ADC＝ S△ABC. 解： （来自教材） 1 21 2 1 21 2 (题①图) 知2－练 ②把一个三角形分成面积相等的四部分，如图所示， 其中BD＝DE＝EF＝FC＝ BC，S△ABD＝S△ADE ＝S△AEF＝S△AFC＝ S△ABC. ③把一个三角形分成面积相等的三部分，如图所示， 其中BD＝DE＝EC＝ BC，S△ABD＝S△ADE＝ S△AEC＝ S△ABC. （来自教材） 1 41 4 1 31 3 (题②图) (题③图) 若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是(　　) A．AB＝BC 　 B．BD＝DC C．AD平分BC 　 D．BC＝2DC 已知D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么 下列说法中不正确的是(　　) A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD＝DC，BE＝EC D．AD＝EC，DC＝BE 知2－练 2 A 3 D 三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　) A．形状相同的三角形 　B．面积相等的三角形 C．直角三角形 　 D．周长相等的三角形 如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3， 则△ABD和△BCD的周长的差是(　　) A．2　　　B．3　　　 C．6　　　D．不能确定 知2－练 4 B 5 A 如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点， 且S△ABC＝4，则S阴影为(　　) A．2　　　　B．1　　　　 C.　　　　 D. 知2－练 6 B 1 2 1 4 已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论： ①这一点在三角形的内部； ②这一点有可能在三角形的外部； ③这一点是三角形的重心． 其中正确的结论有________．(填序号) 知2－练 7 ①③ 3知识点 三角形的高 知3－导 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂 线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三 角形的高. 对三角形高的理解： ∵AD是△ ABC的高 ∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB =90° 知3－导 想一想，一个三角形有几条高？请同学们用同样的方 法画出.它们有什么特点？ ①三角形的高是一条线段. ②一个三角形有三条高，三条高(或高的延长线)相交 于一点.可分为锐角三角形(内部)，直角三角形(直角 顶点)，钝角三角形(外部). 知3－讲 (动手操作题，易错题)画出图中△ABC的三条 高．(要标明字母，不写画法) 例3 导引：“作一边上的高”，即可看作“过一点(这边所对 角的顶点)作已知直线(这边所在的直线)的垂线．” 按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶 点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB， BC边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB 与CB. 解：如图所示. 知3－讲 (1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高 的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤： 一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二 找(移动三角尺使另一条直角 边通过要作高的顶点)、三画 线(画垂线段)，如图. (2)注意：高是线段，垂线是直线． 知3－讲 （来自教材） 如图.AD，AE，AF分别是 △ABC的中线、角平分线和高. 请你指出图中相等的角及相等 的线段. 1 相等的角有∠BAE＝∠EAC，∠AFB＝∠AFC；相 等的线段有BD＝DC. 解： 知3－练 （来自教材） 分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的 三条角平分线、三条中线和三条高. 2 (1)锐角三角形(如图所示)． (2)直角三角形(如图所示)． 解： 知3－练 （来自教材） (3)钝角三角形(如图所示)． 知3－练 （来自教材） 如图，在△ABC中，AD是角平分线， AE是高，∠BAC=40°，∠C=60°. 求∠DAE的度数. 3 因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝ ∠BAC＝20°.因为∠ADE是△ACD的一个外角，所 以∠ADE＝∠C＋∠CAD＝60°＋20°＝80°.又因 为AE是△ABC的高，所以∠AED＝90°，所以在 △AED中，∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝ 180°－90°－80°＝10°.　 解： 知3－练 1 2 （来自教材） 如图，在△ABC中，∠ABC=62°， BD是角平分线，CE是高，BD与CE交 于点O.求∠BOC的度数. 4 因为BD是△ABC的角平分线， 所以∠OBC＝ ∠ABC＝31°.因为CE是△ABC的 高，所以∠BEC＝90°，所以在△BEC中，∠ECB ＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－62°－90°＝ 28°，所以在△BOC中，∠BOC＝180°－∠OBC －∠OCB＝180°－31°－28°＝121°. 解： 知3－练 1 2 （来自教材） 如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD ，BE交于点F，∠C= 30°， ∠BFD=70°.求∠BAC的度数. 5 因为AD是△ABC的高， 所以∠ADB＝90°，所以在△BFD中，∠FBD＝ 180°－∠FDB－∠BFD＝180°－90°－70°＝ 20°.又因为BE是△ABC的角平分线，所以∠ABF ＝∠FBD＝20°，所以∠ABC＝40°，所以∠BAC ＝180°－∠ABC－∠C＝180°－40°－30°＝ 110°. 解： 知3－练 下列图形中，AD是△ABC的高的是(　　) 下列说法中正确的是(　　) A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边 6 B 知3－练 C7 【中考·娄底】如图，已知在直角三角形ABC中， ∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B， C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE＋ CF的值(　　) A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小 8 C 知3－练 能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段 是(　　) A．三角形的中线 B．三角形的高 C．三角形的角平分线 D．以上三种情况都正确 9 A 知3－练 1.三角形的中线 (1)定义：三角形的中线是一条线段. (2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三 角形的重心. 2.三角形的角平分线 (1)定义：三角形的角平分线是一条线段. (2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做 三角形的内心. 1 知识小结 3. 三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线 做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线， 简称三角形的高. 2 易错小结 如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形 有________个． 易错点：对三角形的高的定义不理解导致出错 6 图中所有三角形都可以以AD为高，即以AD为高 的三角形有6个，本题容易忽视△AEC也是以AD 为高的三角形． 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！