七年级下数学课件《用平方差公式分解因式》课件_冀教版 35页

11.3 公式法 第1课时 用平方差公式 分解因式 第十一章 因式分解 1 u直接用平方差公式分解因式 u先提取公因式再用平方差公式分解 因式 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 知识回顾 1. 什么叫把多项式分解因式？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项 式的分解因式. 2. 已学过哪一种分解因式的方法？ 提公因式法 导入新知 如何分解a2－b2呢？ 1 直接用平方差公式分解因式 知1－导 实际上，把平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2 反过来，就得到b2＝(a＋b)(a－b). 这样就成为分解因式的一个公式了. 试着将下面的多项式分解因式： (1) p2－16=________；(2) y2－4 =________ ； (3) x2－ =________；(4) 4a2－b2 =________. 1 9 平方差公式法：两个数的平方差等于这两个数的 和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 这样就成为分解因式的一个公式了． (1)上面公式特点：公式的左边是一个两项式，都能写 成平方形式且符号相反；公式的右边是两个二项式 的积，其中一个二项式是两个底数的和，另一个二 项式是两个底数的差． 知1－导 (2)它是乘法公式中的平方差公式逆用的形式． (3)乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的 积条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方 差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分 解，在今后的学习中要加以区分，不能混淆． 即   2 2a b a b a b 因式分解 整式乘法－ ＋ － 知1－导 知1－讲 把下列各式分解因式： (1)4x2－9y2 ； (2)(3m－1)2－9. 例1 （来自教材） (1) 4x2－9y2 ＝(2x)2－(3y)2 ＝(2x＋3y)(2x－3y). 解： (2)(3m－1)2－9 ＝(3m－1)2－32 ＝(3m－1＋3)(3m－1－3) ＝(3m＋2)(3m－4). 解题的关键是熟练掌握平方差公式的特点： ① 可以看作是二项式； ② 这两项都必须是完全平方式； ③ 这两项的符号相反． 知1－讲 知1－练 （来自教材） 下面分解因式的结果是否正确？如果不正确，指 出错在哪里，并改正过来. (1)4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)； (2)ab2－9a3 ＝(b＋3a)(b－3a). 1 (1)不正确，4x2＝(2x)2，正确结果应为4x2－y2＝ (2x)2－y2＝(2x＋y)(2x－y)． (2)不正确，应先提出公因式a，再利用平方差公式 因式分解，正确的应为ab2－9a3＝a(b2－9a2)＝ a(b＋3a)(b－3a)． 解： 知1－练 （来自教材） 运用公式法分解因式： (1)25a2－16b2； (2)a2b2－ c2； (3)(a＋2b)2－4；(4)x4－25x2． 2 (1)25a2－16b2＝(5a)2－(4b)2＝(5a＋4b)(5a－4b)． (2)a2b2－ c2＝(ab)2－ . (3)(a＋2b)2－4＝(a＋2b)2－22＝(a＋2b＋2)(a＋2b－2). (4)x4－25x2＝(x2)2－(5x)2＝(x2＋5x)(x2－5x) ＝x2(x＋5)(x－5)或x4－25x2＝x2(x2－25) ＝x2(x2－52)＝x2(x＋5)(x－5)． 解： 1 9 1 9 1 1 1 3 3 3 c ab c ab c               知1－练 （来自教材） 把下列各式分解因式. (1)256－x2； (2)9x2－64； (3) x2－m2n2. 3 (1)256－x2＝162－x2＝(16＋x)(16－x)． (2)9x2－64＝(3x)2－82＝(3x＋8)(3x－8)． (3) x2－m2n2＝ －(mn)2 解： 1 16 1 16 21 4 x     1 1 .4 4 x mn x mn         知1－练 （来自教材） 下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可 以，请分解；如果不可以，请说明理由. (1)x2＋y2；(2)－x2＋y2；(3)－x2－y2；(4) x2－81. 4 (1)不可以，不符合平方差公式的结构特点． (2)可以，－x2＋y2＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)． (3)不可以，因为－x2－y2＝－(x2＋y2)，不符合平方 差公式的结构特点． (4)可以，x2－81＝x2－92＝(x＋9)(x－9)． 解： 知1－练 下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　) A．－x2＋y2 B．x2－(－y)2 C．－m2－n2 D．4m2－ n2 下列各式中，可用平方差公式分解因式的有(　　) ①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2； ④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2. A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5 C B6 1 9 知1－练 【中考·百色】分解因式：16－x2＝(　　) A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4) C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2 【中考·北海】下列因式分解正确的是(　　) A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2) 7 A D8 知1－练 【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确 的是(　　) A．a(a－1) B．a(a－2) C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1) 下列分解因式错误的是(　　) A．a2－1＝(a＋1)(a－1) B．1－4b2＝(1＋2b)(1－2b) C．81a2－64b2＝(9a＋8b)(9a－8b) D．(－2b)2－a2＝(－2b＋a)(2b＋a) 9 B 10 D 知1－练 【中考·衢州】如图，从边长为(a＋3)的正方形 纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿 虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则 拼成的长方形的长是________． 11 a＋6 知1－练 已知|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，则x2－y2的值为 ________． 【中考·益阳】若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝ ________． 【中考·金华】已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子 a2－b2的值是________． 12 －4 14 13 3 15 2知识点 知2－导 先提取公因式再用平方差公式分解因式 （来自《点拨》 ） 用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要 先提取公因式，再用平方差公式分解因式． 知2－讲 （来自《点拨》 ） 例2 把下列各式分解因式： (1)a3－16a； (2)2ab3－2ab． (1) a3－16a ＝a(a2－16) ＝a(a＋4)(a－4). 解： (2) 2ab3－2ab ＝2ab(b2－1) ＝(b－1)(b＋1). 知2－讲 (1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的 多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因 式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分 解为止． (2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了 要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简. （来自《点拨》 ） （来自教材） 分解因式：9a4－a2.1 9a4－a2 ＝a2(9a2－1) ＝a2[(3a)2－12] ＝a2(3a＋1)(3a－1)． 解： 知2－练 （来自教材） 把下列各式分解因式： (1)4x2－100； (2)12y4－3y2； (3)x3－64x； (4)2a4－50a2 2 知2－练 (1)4x2－100＝4(x2－25)＝4(x2－52)＝4(x＋5)(x－5). (2)12y4－3y2＝3y2(4y2－1)＝3y2[(2y)2－12] ＝3y2(2y＋1)(2y－1)． (3)x3－64x＝x(x2－64)＝x(x2－82)＝x(x＋8)(x－8). (4)2a4－50a2＝2a2(a2－25)＝2a2(a＋5)(a－5)． 解： （来自教材） 把下列各式分解因式： (1)(x＋1)2－a2； (2)(2x＋3)2－4m2； (3)(2x＋3)2－(3x－4)2； (4)4(3x＋y)2－(2x－y)2． 3 (1)(x＋1)2－a2＝(x＋1＋a)(x＋1－a)． (2)(2x＋3)2－4m2＝(2x＋3)2－(2m)2＝(2x＋3＋2m) (2x＋3－2m)． 解： 知2－练 （来自教材） 知2－练 (3)(2x＋3)2－(3x－4)2＝[(2x＋3)＋(3x－4)][(2x＋3) －(3x－4)]＝(5x－1)(7－x)． (4)4(3x＋y)2－(2x－y)2＝[2(3x＋y)]2－(2x－y)2＝ [2(3x＋y)＋(2x－y)][2(3x＋y)－(2x－y)]＝(8x＋ y)(4x＋3y)． （来自教材） 如图，在半径为R的圆形钢板上冲去半径为r的四 个小圆孔.若R=8.6 cm，r=0.7 cm，请你利用因式 分解的方法计算出剩余钢板的面积.(π取3.14) 4 知2－练 （来自教材） 根据题意得，大圆的面积SR＝πR2＝π×8.62(cm2)， 四个小圆孔的面积Sr总＝4πr2＝4π×0.72(cm2)． 所以剩余钢板的面积S剩＝SR－Sr总＝π×8.62－ 4π×0.72＝π(8.62－4×0.72)＝π[8.62－(2×0.7)2]＝ π(8.62－1.42)＝π(8.6＋1.4)×(8.6－1.4) ≈3.14×10 ×7.2＝226.08(cm2)． 所以剩余钢板的面积为226.08 cm2. 解： 知2－练 （来自教材） 分解因式：x4－1.5 x4－1 ＝(x2＋1)(x2－1) ＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)． 解： 知2－练 知2－练 【中考·广东】把x3－9x分解因式，结果正确的 是(　　) A．x(x2－9) B．x(x－3)2 C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3) 6 D 知2－练 一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解 题，你认为她做得不够完整的是(　　) A．x3－x＝x(x2－1) B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y) C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m) D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q) 7 A 知2－练 【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的 密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y， a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、 我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分 解，结果呈现的密码信息可能是(　　) A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌 8 C 知2－练 【中考·贺州】n是整数，式子 ×[1－(－1)n](n2－1) 的计算结果(　　) A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数 9 C 1 8 1. 平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 2. 运用平方差公式因式分解需注意： (1)多项式的特征：有两个平方项；两个平方项异号. (2)当多项式有公因式时，先提公因式，再用平方差公 式进行因式分解； (3)分解因式一定要分解到不能再分解为止. 1 2 易错小结 1. 分解因式：(a＋b)2－4a2. 解：(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a) ＝(3a＋b)(b－a)． 易错点：忽视系数变平方的形式导致出错 本题易将4a2写成(4a)2导致出错． 2. 分解因式：a4－1. 解：a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)． 易错点：分解不彻底导致出错 本题易犯的错误是分解不彻底，要注意到a2－1还 可以继续分解，应分解到不能再分解为止． 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！