七年级数学下册第9章多边形9-1三角形2三角形的内角和与外角和教学课件华东师大版 34页

2 三角形的内角和与外角和 1. 了解三角形的内角和，会按角进行三角形的分类 . 2. 了解三角形外角的性质的推理过程 . 3. 能综合利用三角形的内外角和定理及外角的性质解 决问题 . 三角形的三个内角有什么关系 ? 三角形的内角和等于 180°. 小学里，是用什么方法得到三角形内角和为 180° 的结 论的？ 想一想 A B C 只撕下三角形的一个角，能得到上面的结论吗？ A B C 已知：△ ABC. 求证：∠ A +∠B +∠C=180°. A B C 已知：△ ABC. 求证：∠ A +∠B +∠C=180°. A B C 已知：△ ABC. 求证：∠ A +∠B +∠C=180°. A B C 已知：△ ABC. 求证：∠ A +∠B +∠C=180°. A B C 已知：△ ABC. 求证：∠ A +∠B +∠C=180°. A B C 已知：△ ABC. 求证：∠ A +∠B +∠C=180°. A B C 已知：△ ABC. 求证：∠ A +∠B +∠C=180°. E D A B C 证明： 在△ ABC 的外部以 CA 为边作∠ ACE =∠A. 延长 BC 至 D. 已知：△ ABC. 求证：∠ A +∠B +∠C=180°. 因为 ∠ ACE =∠A, 所以 CE∥AB, 所以∠ DCE =∠B. 又因为 ∠ ACE+∠DCE + ∠ ACB =180°, 所以 ∠ A+∠B+∠C=180°. 由此得到三角形的内角和为 180°. 可推得：直角三角形的两 锐角互余 . A B C D E 若∠ BAC ＝ 55° ，∠ B=60° ， 试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE 的度数．并说出你的理由． 下图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？ 探究 　 通过上题的计算，你发现∠ ACD ， ∠ CAE 与三角形 的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语 言说一说．你能简述一下推导过程吗？ ∠ACD= ∠BAC+∠B; ∠ACD+ ∠ACB=180°. ∠CAE= ∠ACB+∠B; ∠CAE+ ∠BAC=180°. A B C D E 想一想 3. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 . 2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 1. 三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 三角形的外角与内角的关系： 归 纳 1. 求下列各图中∠ 1 的度数 . 30 ° 60 ° 1 35 ° 120 ° 1 45 ° 50 ° 1 90° 95° 85° 试一试 2. 把下图中∠ 1 ，∠ 2 ，∠ 3 按由大到小的顺序排列 . 3 2 1 A B C D E ∠1 ＞∠ 2 ＞∠ 3 3. 如图， D 是△ ABC 的边 BC 上一点， ∠ B ＝∠ BAD ，∠ ADC ＝ 80°, ∠BAC=70°. 求：（ 1 ）∠ B 的度数； （ 2 ）∠ C 的度数 . A B C D 80° 70° 【 解析 】 （ 1 ）因为∠ ADC=∠B+∠BAD ，又因为 ∠ B=∠BAD ，∠ ADC=80° ，所以∠ B= ∠ ADC=40°. （ 2 ）因为三角形的内角和为 180° ，所以 ∠ C=180°-∠B-∠BAC=70°. A B C 1 2 3 三角形的外角和等于 360° ∠1 ＋∠ 2 ＋∠ 3 ＝ ? 从哪些途径探究这个结果？ 问题探究 A B C 1 2 3 ∠ 2 ＋ ∠ ABC=180° ， ∠ 3 ＋ ∠ ACB=180°. 三个式子相加得到 ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＋ ∠ BAC ＋ ∠ ABC ＋ ∠ ACB=540° ， 而 ∠ BAC ＋ ∠ ABC ＋ ∠ ACB=180° ， ∴ ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ 360°. ∠ 1 ＋ ∠ BAC=180° ， 解： 方法一： 解： 过 A 作 AD 平行于 BC. ∠ 3 ＝ ∠ 4 ， B C 1 2 3 4 A ∠ 2 ＝ ∠ BAD ， 所以， ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ 1 ＋ ∠ BAD ＋ ∠ 4=360°. 两直线平行，同位角相等 D ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ BAD ＋ ∠ 4. 方法二： 判断题： 1. 三角形的外角和是指三角形所有外角的和 . （ ） 2. 三角形的外角和等于它内角和的 2 倍 . （ ） 3. 三角形的一个外角等于两个内角的和 . （ ） 4. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 . （ ） 5. 三角形的一个外角大于任何一个内角 . （ ） 6. 三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角 . （ ） 练一练 A B C D E F H 【 例 】 已知 : 国旗上的正五角星形如图所示 . 求 :∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数 . 【 例题 】 【 分析 】 设法利用外角把这五个角 “ 凑 ” 到一个三角形中 , 运用三角形内角和定理来求解 . ∴ ∠1= ∠B+∠D( 三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和 ). ∴ ∠2= ∠C+∠E( 三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和 ). 又∵ ∠ A+∠1+∠2 =1 80° ( 三角形的内角和等于 180°), 又∵ ∠ 2 是△ EHC 的一个外角 ( 外角的意义 ), ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =1 80° ( 等式的性质 ). 【 解析 】 ∵∠1 是△ BDF 的一个外角 ( 外角的意义 ), A B C D E F 1 H 2 ∠A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＝ . 1 2 3 360° A B C D E F 【 跟踪训练 】 1 ．已知△ ABC 的三个内角∠ A,∠B,∠C 满足关系式 ∠ B ＋∠ C ＝ 3∠A ．则此三角形 ( 　　 ) A. 一定有一个内角为 45° B. 一定有一个内角为 60° C. 一定是直角三角形 D. 一定是钝角三角形 【 解析 】 选 A. 因为∠ B ＋∠ C+∠A=180° ，∠ B ＋∠ C ＝ 3∠A ，所以 4∠A=180° ，∠ A=45°. 2. （苏州 · 中考）△ ABC 的内角和为（ ） A.180° B.360° C.540° D.720° 【 解析 】 选 A. 根据三角形的内角和为 180° ，得△ ABC 的内 角和为 180°. 故 A 正确 . 3. 已知△ ABC 的一个外角为 50° ，则△ ABC 一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形或锐角三角形 【 解析 】 选 B. △ABC 的一个外角为 50° ，则与这个外角 相邻的内角是 130° ，所以△ ABC 一定是钝角三角形 . 4. （ 昆明 · 中考）如图，在△ ABC 中， CD 是∠ ACB 的角平分线，∠ A = 80° ， ∠ ACB=60° ，那么∠ BDC= （　　）　 A.80° B.90° C.100° D.110° D A B C 【 解析 】 选 D. 因为 CD 是∠ ACB 的平分线， 所以∠ ACD= ×60°=30° ，所以 ∠ BDC=∠A+∠ACD=80°+30°=110°. A B C D E 5. （铜仁 · 中考）一副三角板，如图叠放 在一起，∠ 1 的度数是 _______ 度． 【 解析 】 ∠ 1=∠CBE+∠ADB =45°+30°=75°. 答案： 75 6. （潼南 · 中考）如图，在△ ABC 中，∠ A=80°, 点 D 是 BC 延长线上一点，∠ ACD=150° ，则∠ B= . 【 解析 】 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和，所以∠ B=150° － 80°=70°   . 答案： 70° 7. 已知图中∠ A ，∠ B ，∠ C 分别为 80° ， 20° ， 30° ，求 ∠ 1 的度数 . B 2 1 A C D E 【 解析 】 根据三角形的外角定理可得： ∠ 1= ∠2+ ∠B ，∠ 2=∠A+∠C ，所以∠ 1= ∠A+ ∠C+ ∠B = 80°+ 30°+ 20°= 130°. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 1. 三角形的外角的两个性质 . ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 . ② 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 . 2. 三角形的外角和是 360°. 第一个青春是上帝给的；第二个青春是靠自己努力的 .