七年级下数学课件《角平分线 2 》新授课课件_鲁教版 21页

高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 10.5 角平分线 第2课时 A B C P MN D E F 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 Contents目 录 01 02 03 04 旧知回顾 学习目标 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 旧知回顾 1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图, ∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E (已知) ∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距 离相等) C B 1 A 2 P D E O 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 2.角平分线的判定定理 定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个 角的平分线上. 如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一. C B 1 A 2 P D E O 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 学习目标 1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一 点到三条边的距离相等； 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.. 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 新知探究 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论: 三角形三个角的平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 利用尺规作出三角形三个角的角平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论: 三角形三个角的角平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 思 考 分 析 命题: 三角形三个角的平分线相交于一点. 基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点. 要想证明三 条直线相交于一点, 只要能证明两条直线的交点在第三条直线 上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 如何证三条直线交于一点？ 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC, AB的垂线,垂足分别E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距 离相等). 同理, PE=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部,且到角两边距离相等 的点,在这个角的平分线上)，并且PD=PE=PF. ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P，并且P点到三条边的距离相等. A B C P MN D E F 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距 离相等. 如图, 在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做 三角形的内心. ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF (三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). D E F A B C P MN H 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是 △ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E. (2)求证:AB=AC+CD. E D A BC (1)如果CD= , 求AC的长;2 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 2 2.AC BC CD BD     22 2BD DE  E D A BC 例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是 △ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E. (1)如果CD= , 求AC的长;2 解（1）∵ AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴DE=CD= ∵AC=BC∴ ∠B=∠BAC(等边对等角) ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45° ∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°∴BE=DE 在等腰直角三角形BDE中 2 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 E D A BC 解（2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD≌ Rt△AED(HL) ∴ AC=AE. ∵ BE=DE=CD, ∴ AB=AE+BE=AC+CD 例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是 △ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E. (2)求证:AB=AC+CD. 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 随堂练习 1. 如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要 建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选 择的地址有几处？ 满足条件共4个 l3 l 2 1 l C B A 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 2. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是Rt△ABC的角平分线. 求证: BD=2CD. A B CD 证明： ∵ ∠C=90°， ∠B= 30° ∴Rt△ABC中，AB=2BC, ∠BAC= 60° ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°, AD=BD ∴ Rt△ACD中，AD=2CD ∴ BD=2CD 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 3. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相 交于点F. 求证: 点F在∠DAE的平分线上. A B C FD E 证明： ∵ BF是∠CBD的角平分线 ∴ F到BC,AD的距离相等 ∵ BF是∠CBD的角平分线 ∴ F到BC,AE的距离相等 ∴ F到AD,AE的距离相等 从而点F在∠DAE的平分线上. 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 证明：(1) ∵P是∠AOB平分线上的一个点， PC⊥OA, PD⊥OB ∴PC=PD 在 Rt△POC和 Rt△POD，OP=OP ∴ Rt△POC ≌ Rt△POD ∴OC=OD 4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是C, D. 求证: (1)OC=OD; B A P D C O 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是C, D. 求证: (2)OP是CD的垂直平分线. B A P D C O 证明： (2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分线上 由OC=OD得O在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线. 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 课堂小结 定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距 离相等. 如图, 在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做 三角形的内心. D E F ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF (三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). A B C P MN H 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离 相等 到三角形三边的距离 相等 随堂练习 第2题.作 业 高 效 上 好 每 节 课 · 快 乐 上 好 每 天 学