八年级数学上册第一章勾股定理1-3勾股定理的应用教学课件新版北师大版 27页

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 情境引入 学习目标 1. 学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点） 2. 能够运用勾股定理解决实际生活中的问题 . ( 重点 , 难点 ) 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ C B A AC + CB >A B （两点之间线段最短） 导入新课 情境引入 思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 讲授新课 立体图形中两点之间的最短距离 一 B A 问题： 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ B A d A B A' A B B A O 想一想： 蚂蚁走哪一条路线最近？ A' 蚂蚁 A→B 的路线 若已知圆柱体高为 12 cm ，底面半径为 3 cm ， π 取 3 ，则 : B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B 【方法归纳】 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线 . A' A' 例 1 有一个圆柱形油罐，要以 A 点 环绕油罐 建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 ?( 已知油罐的底面半径是 2 m ，高 AB 是 5 m ， π 取 3 ） A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB ' 为梯子的最短距离 . ∵AA ' =2 × 3 × 2=12, A ' B ' =5, ∴AB ' =13. 即梯子最短需 13 米 . 典例精析 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 变式 1 ： 当小蚂蚁爬到距离上底 3cm 的点 E 时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底 3cm 的点 F 处，小蚂蚁到达点 F 处的最短路程是多少？（ π 取 3 ） E F E F E F E F 解： 如图，可知 △ECF 为直角三角形， 由勾股定理 , 得 EF 2 =EC 2 +CF 2 =8 2 +(12-3-3) 2 =100 ， ∴EF=10(cm). B 牛奶盒 A 变式 2 ： 看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 6cm 8cm 10cm B B 1 8 A B 2 6 10 B 3 AB 1 2 =10 2 + （ 6+8 ） 2 =296 AB 2 2 = 8 2 + （ 10+6 ） 2 =320 AB 3 2 = 6 2 + （ 10+8 ） 2 =360 勾股定理的实际应用 二 问题： 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB ，但他随身只带了卷尺 . （ 1 ）你能替他想办法完成任务吗？ 解 : 连接对角线 AC ，只要分别量出 AB 、 BC 、 AC 的长度即可 . AB 2 +BC 2 =AC 2 △ABC 为直角三角形 （ 2 ）量得 AD 长是 30 cm ， AB 长是 40 cm ， BD 长是 50 cm. AD 边垂直于 AB 边吗？ 解 : AD 2 +AB 2 =30 2 +40 2 =50 2 =BD 2 ， 得∠ DAB=90° ， AD 边垂直于 AB 边 . （ 3 ）若随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？ 解 : 在 AD 上取点 M, 使 AM=9, 在 AB 上取点 N 使 AN=12, 测量 MN 是否是 15 ，是，就是垂直；不是，就是不垂直 . 例 2 如 图是一个滑梯示意图，若将滑道 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长 . 已知滑梯的高度 CE=3m ， CD=1m ，试求滑道 AC 的长 . 故滑道 AC 的长度为 5 m. 解：设滑道 AC 的长度为 x m ，则 AB 的长也为 x m ， AE 的长度为（ x -1 ） m. 在 Rt △ ACE 中，∠ AEC=90 °， 由勾股定理得 AE 2 +CE 2 =AC 2 ， 即（ x -1 ） 2 +3 2 = x 2 ， 解得 x =5. 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 例 3 如图，在一次夏令营中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400m 到达点 B ，然后再沿北偏西 37 °方向走了 300m 到达目的地 C. 求 A 、 C 两点之间的距离． 解：如图，过点 B 作 BE∥AD. ∴∠ DAB ＝∠ ABE ＝ 53°. ∵ 37° ＋∠ CBA ＋∠ ABE ＝ 180° ， ∴∠ CBA ＝ 90° ， ∴ AC 2 ＝ BC 2 ＋ AB 2 ＝ 300 2 ＋ 400 2 ＝ 500 2 ， ∴AC ＝ 500m ， 即 A 、 C 两点间的距离为 500m. E 方法总结 此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题． 当堂练习 1 ．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm ， BC ＝ 8 cm ，将△ ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE ，则 BE 的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm B 2 ．有一个高为 1.5 m ，半径是 1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m ，问这根铁棒有多长？ 解 : 设伸入油桶中的长度为 x m, 则最长时 : 最短时 , x =1.5 所以最长是 2.5+0.5=3(m). 答 : 这根铁棒的长应在 2 ～ 3 m 之间 . 所以最短是 1.5+0.5=2(m). 解得： x =2.5 梯子的顶端沿墙下滑 4 m, 梯子底端外移 8 m . 解：在 Rt△AOB 中， 在 Rt△COD 中， 3 .一个 25m 长的梯子 AB, 斜靠在一竖直的墙 AO 上,这时 AO 的距离为 24m, 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4m, 那么梯子底 端 B 也外移 4m 吗? 4. 我国古代数学著作 《 九章算术 》 中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 解：设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD=AB= （ x +1 ）尺， 在直角三角形 ABC 中， BC=5 尺 由勾股定理得， BC 2 +AC 2 =AB 2 即 5 2 + x 2 = ( x +1) 2 25+ x 2 = x 2 +2 x +1 ， 2 x =24 ， ∴ x =12 ， x +1=13. 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺 . 5. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图 ①. 已知圆筒的高为 108cm ，其横截面周长为 36cm ，如果在表面均匀缠绕油纸 4 圈，应裁剪多长的油纸？ 解：如图 ② ，在 Rt△ABC 中， 因为 AC ＝ 36cm ， BC ＝ 108÷4 ＝ 27(cm) ． 由勾股定理，得 AB 2 ＝ AC 2 ＋ BC 2 ＝ 36 2 ＋ 27 2 ＝ 2025 ＝ 45 2 ， 所以 AB ＝ 45cm ， 所以整个油纸的长为 45×4 ＝ 180(cm) ． 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短距离 课堂小结 勾股定理的实际应用