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- 2021-10-26 发布
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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理(二)
课前预习
A. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整
数,称为勾股数,如常用的勾股数有:①3,4,
______________; ②6,______________,10;
③______________,12,13;④7,24,25.它
们有着广泛的应用.
5 8
5
1. 下列各组数据是勾股数的有
______________组. (填写数量即可)
(1)6,8,10 (2)1.5,2,2.5
(3)32,42,52(4)7,24,25
(5)
3
B. 勾股定理的逆定理的应用,在实际问题中,
可先将其转化为______________(即建模),
再利用三角形的三边长来判断三角形的形状,
并通过它解决相关的问题.
数学问题
2. 一根电线杆高12 m,为了安全起见,在电线杆顶部
到与电线杆底部水平距离5 m处加一拉线. 拉线工人发
现所用线长为13.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与
地面__________.(填“垂直”或“不垂直”) 不垂直
课堂讲练
【例1】阅读理解并解答问题:如果a,b,c为正整数,
且满足a2+b2=c2,那么,a,b,c叫做一组勾股数.
(1)请你根据勾股数的定义,说明3,4,5是一组勾股
数;
(2)写出一组不同于3,4,5的勾股数;
(3)如果m表示大于1的整数,并且a=2m,b=m2-1,
c=m2+1,请你根据勾股数的定义,说明a,b,c为一组
勾股数.
知识点1 勾股数
解:(1)∵3,4,5是正整数,且32+42=52,
∴3,4,5是一组勾股数.
(2)∵122+162=202,且12,16,20都是正整数,
∴一组勾股数可以是12,16,20.(答案不唯一)
(3)∵m表示大于1的整数,
∴a,b,c均为正整数.
又∵a2+b2=(2m)2+(m2-1)2=4m2+m4-
2m2+1=m4+2m2+1,
c2=(m2+1)2=m4+2m2+1,
∴a2+b2=c2.∴a,b,c为一组勾股数.
1. 我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、
弦五”.
观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,
41;…;发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就
没有间断过.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:
_________________;
(2)若第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,
那么后两个数用含n的代数式分别表示为__________
和__________,并请用所学知识说明它们是一组勾
股数.
11,60,61
【例2】在一次搜救过程中,两艘搜救舰艇接到消息,
在海面上有疑似漂浮目标A,B. 接到消息后,一艘舰
艇以16海里/时的速度离开港口O(如图17-2-8)向北
偏东40°方向航行,另一艘舰艇同时以12海里/时的
速度向北偏西一定角度的航向行驶,已知它们离开港
口一个半小时后相距30海里,问另一艘舰艇的航行方
向是北偏西多少度?
知识点2 勾股定理的逆定理的应用
解:由题意,得OB=12×1.5=18 (海里),
OA=16×1.5=24 (海里).
又∵AB=30海里,182+242=302,
∴OB2+OA2=AB2.
∴∠AOB=90°.
∵∠DOA=40°,
∴∠BOD=50°.
∴另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.
2. 如图17-2-9所示的一块地,∠ADC=90°,
AD=12 m,CD=9 m,AB=39 m,BC=36 m,求这块地
的面积.
解:如答图17-2-5,
连接AC.
在Rt△ACD中,
AC= =15.
在△ACB中,
∵362+152=392,
即BC2+AC2=AB2,
∴△ACB是直角三角形.
∴这块地的面积= AC·BC- DC·AD=270-
54=216(m2).
分层训练
【A组】
1. 下列四组数中,为勾股数的是( )
A. 2,3,5 B. 5,12,13
C. 4,5,6 D. 32,42,52
B
2. 下列各组数中,不是勾股数的是( )
A. 3,4,5 B. 5,12,13
C. 6,8,10 D. 7,13,18
D
3. 下列命题:①如果a,b,c为一组勾股数,那么
0.5a,0.5b,0.5c仍是勾股数;②如果直角三角形
的两边长是3,4,那么另一边长必是5;③如果一
个三角形的三边长是5,13,14,那么此三角形必是
直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是
a,b,c,(a>b=c),那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①③
C.①② D.④
D
4. 如图17-2-10,AD为△ABC的中线,且AB=13,
BC=10,AD=12,则AC等于( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
D
5. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的
航向从港口O出发,如图17-2-11,轮船
从港口O沿北偏西20°的方向航行60海
里到达点M处,同一时刻渔船已航行到
与港口O相距80海里的点N处,若M,N两
点相距100海里,则∠NOF的度数为
( )
A. 50° B. 60° C. 70°
D. 80°
C
6. 木工师傅做一个长方形桌面,量得它的长为
80 dm,宽为60 dm,对角线长为100 dm,则这个
桌面__________.(填“合格”或“不合格”)合格
7. 现有两根长6 dm和3 dm的木条,小华想再找
一根木条为老师制作一个直角三角形教具,则
第三根木条的长度应该为_____________dm.
8. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,
c,判断下列三角形是否是直角三角形,并指出哪
一个角是直角.
(1)a= ,b=2 ,c= ;
(2)a=5,b=7,c=9;
(3)a=2,b= ,c= ;
(4)a=5,b=2 ,c=1.
解:(1)是,∠B是直角.(2)不是.
(3)是,∠C是直角.(4)是,∠A是直角.
【B组】
9. 如图17-2-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=
5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以
2 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s,当
t=___________时,△ABP为直角三角形.
10. 为了积极响应国家新农村建设,长沙市某
镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.
如图17-2-13,笔直公路MN的一侧点A处有一村
庄,村庄A到公路MN的距离为800 m,假使宣讲
车P周围1 000 m以内能听到广播宣传,宣讲车P
在公路MN上沿PN方向行驶时:
(1)请问村庄能否听到宣传,请说明理由;
(2)如果能听到,已知宣讲车的速度是
300 m/min,那么村庄总共能听到多长时间的宣
传?
解:(1)村庄能听到宣传.
理由:∵村庄A到公路MN的距离为800 m<1 000 m,
∴村庄能听到宣传.
(2)如答图17-2-6,假设当宣讲车行驶到P点开始影
响村庄,行驶到Q点结束对村庄的影响,
则AP=AQ=1 000 m,AB=800 m,
∴BP=BQ= =600(m).
∴PQ=1 200 m.
∴影响村庄的时间为1 200÷300=4(min).
∴村庄总共能听到4 min的宣传.
11. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,
测得两直角边长为6 m,8 m.现要将其扩建成等腰三
角形,且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形.
求扩建后的等腰三角形花圃的周长.
解:如答图17-2-7,
在Rt△ABC中,
AB= =10.
(1)如答图17-2-7①,
当AB=AD时,CD=6 m,
∴△ABD的周长为
10+10+12=32(m).
(2)如答图17-2-7②,当AB=BD时,CD=4 m,
∴△ABD的周长为10+10+4 =(20+4 )m.
(3)如答图17-2-7③,当DB=AD时,设AD=x m,则
CD=(x-6)m.∴x2=82+(x-6)2.解得x= .
∴△ABD的周长为10+ + = (m).
∴扩建后花圃的周长为32 m或(20+4 )m或 m.
【C组】
12. 若正整数a,b,c(a<b<c)满足
a2+b2=c2,则称(a,b,c)为一组“勾股
数”.
观察下列两类“勾股数”:
第一类(a是奇数):(3,4,5);
(5,12,13);(7,24,25);…
第二类(a是偶数):(6,8,10);
(8,15,17);(10,24,26);…
(1)请再写出两组勾股数,每类各写一组;
(2)分别就a为奇数、偶数两种情形,用a表
示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)
是“勾股数”.
解:(1)第一组(a是奇数):9,40,41
(答案不唯一);
第二组(a是偶数):12,35,37(答案不唯
一).
(2)当a为奇数时,b= ,c= ;
当a为偶数时,b= -1,c= +1.
证明:当a为奇数时,a2+b2=a2+ =
=c2,
∴(a,b,c)是“勾股数”.
当a为偶数时,a2+b2=a2+
=c2,
∴(a,b,c)是“勾股数”.
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