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- 2021-10-26 发布
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18.2.2 菱 形
第十八章 平行四边形
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
第1课时 菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.(重点)
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.(难点)
导入新课
情景引入
欣赏下面图片,图片中框出的图形是你熟悉的吗?
平行
四边形
矩形
前面我们学习了平行四边形和矩形,知道了矩
形是由平行四边形角的变化得到,如果平行四边
形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
讲授新课
菱形的性质一
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大
小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这
个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
定义:有一组邻边相等的平行四边形.
菱形邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
归纳总结
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中
的图形(如图),并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
是,两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程,猜想菱形的四边在数量上
有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对
角线平分一组对角.
菱形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的
所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性:是轴对称图形.
边:四条边都相等.
对角线:互相垂直,且每
条对角线平分一组对角.
角:对角相等.
边:对边平行且相等.
对角线:相互平分.
菱形的特殊性质 平行四边形的性质
归纳总结
1.如图,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=
5,则△ABD的周长是 ( )
A.10 B.12 C.15 D.20
C
练一练
2.如图,菱形ABCD的周长为48cm,对角线AC、
BD相交于O点,E是AD的中点,连接OE,则线段
OE的长为_______.
第1题图 第2题图
6cm
例1 如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交
于点O,BD=12cm,AC=6cm,求菱形的周长.
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
AO= AC,BO= BD.
∵AC=6cm,BD=12cm,
∴AO=3cm,BO=6cm.
在Rt△ABO中,由勾股定理得
∴菱形的周长=4AB=4×3 =12 (cm).
1
2
1
2
2 2 2 23 6 3 5 cm .AB AO BO
5 5
典例精析
菱形的面积二
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平
行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,
那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
问题2 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD
交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
1
2
1
2
1
2
1
2
你有什么发现?
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两
对边的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形
的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两
条对角线长度乘积的一半.
归纳
例5 如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=
60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,
求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到
0.01m和0.1m2 ). A
B
C
D O
解:∵花坛ABCD是菱形,
1 30 .
2
AC BD ABO ABC ,
1Rt 10m
2
OAB AO AB 在 中, ,
2 2 2 220 10 10 3 mBO AB AO ,
2 20m 2 20 3 34.64 m .AC AO BD BO ,
214 200 3 346.4 m .
2OABABCDS S AC BD 菱形∴
练一练
如图,已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm,
则这个菱形的高DE为( )
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
2.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则
△ABD的周长等于 ( )
A.18 B.16 C.15 D.14
当堂练习
B
3.根据下图填一填:
(1)已知菱形ABCD的周长是12cm,那么它的边长
是 ______.
(2)在菱形ABCD中,∠ABC=120 °,则∠BAC=
_______.
(3)菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm,
则菱形的边长是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角
线长为11cm,菱形的周长为______.44cm
(5)菱形的面积为64cm2,两条对角线的比为
1∶ 2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_______.8cm2
A
B
C
O
D
课堂小结
菱形的
性质
菱
形
的
性
质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条
对角线乘积的一半
角
对
角
线
1.两组对边平行且相等;
2.四条边相等
两组对角分别相等,邻
角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分;
2.每一条对角线平分一组对角
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