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- 2021-10-26 发布
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第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
第3课时
1.理解并掌握积的乘方法则及其应用.(重点)
2.会运用积的乘方的运算法则进行计算.(难点)
学习目标
我们居住的地球
情境引入
大约
6.4×103km
你知道地球的体积
大约是多少吗?
球的体积计算公式:
34
3
V r
地球的体积约为
× km3 3 34 (6.4 10
3
)
导入新课
问题引入
1.计算:
(1) 10×102× 103 =______ ;
(2) (x5 )2=_________.x10
106
2.(1)同底数幂的乘法 :am·an= ( m,n都是
正整数).
am+n
(2)幂的乘方:(am)n= (m,n都是正整数).amn
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中m , n
都是正整
数
(am)n=amn
am·an=am+n
想一想:同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么
相同点和不同点?
讲授新课
问题1 下列两题有什么特点?
2( ) ;ab 3( ) .ab(1) (2)
底数为两个因式相乘,积的形式.
这种形式为
积的乘方
我们学过的幂的
乘方的运算性质
适用吗?
互动探究
积的乘方
2( )ab ( ) ( )ab ab
( ) ( )aa bb
2 2a b
同理:
(乘方的意义)
(乘法交换律、结合律)
(同底数幂相乘的法则)
3( )ab ( ) ( ) ( )ab ab ab
( ) ( )aaa bbb
3 3a b
问题2 根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算:
(ab)n =?
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n个a n个b
=anbn.
证明:
思考问题:积的乘方(ab)n =?
猜想结论:
因此可得:(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
推理验证
积的乘方,等于把积的每一个因式分别_____,
再把所得的幂________.
想一想:三个或三个以上的积的乘方等于什么?
知识要点
积的乘方法则
乘方
相乘
例1 计算:
(1) (2a)3 ; (2) (-5b)3 ;
(3) (xy2)2 ; (4) (-2x3)4.
解:(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 8a3;
=-125b3;
=x2y4;
=16x12.
(2)3a3
(-5)3b3
x2(y2)2
(-2)4(x3)4
典例精析
方法总结:运用积的
乘方法则进行计算时,
注意每个因式都要乘
方,尤其是字母的系
数不要漏乘方.
计算:(1)(-5ab)3; (2)-(3x2y)2;
(3)(-3ab2c3)3; (4)(-xmy3m)2.
针对训练
(4)(-xmy3m)2=(-1)2x2my6m=x2my6m.
解:(1)(-5ab)3=(-5)3a3b3=-125a3b3;
(2)-(3x2y)2=-32x4y2=-9x4y2;
(3)(-3ab2c3)3=(-3)3a3b6c9=-27a3b6c9;
×
√
×
(1)(3cd)3=9c3d3;
(2)(-3a3)2= -9a6;
(3)(-2x3y)3= -8x6y3; ×
3327 dc
69
398 yx
(4)(-ab2)2= a2b4.
练一练
例2 计算:
(1) -4xy2·(xy2)2·(-2x2)3;
(2) (-a3b6)2+(-a2b4)3.
解:(1)原式=-4xy2·x2y4·(-8x6)
=32x9y6;
(2)原式=a6b12+(-a6b12)
=0;
方法总结:涉及积的乘方的混合运算,一般
先算积的乘方,再算乘法,最后算加减,然
后合并同类项.
如何简便计算(0.04)2004×[(-5)2004]2?
议一议
=(0.22)2004 × 54008
=(0.2)4008 × 54008
=(0.2 ×5)4008
=14008
(0.04)2004×[(-5)2004]2
=1.
解法一:
=(0.04)2004 × [(-5)2]2004
=(0.04×25)2004
=12004
=1.
= (0.04)2004 ×(25)2004
(0.04)2004×[(-5)2004]2
解法二:
方法总结:逆用积的乘方公式an·bn=(ab)n,要灵活
运用,对于不符合公式的形式,要通过恒等变形,
转化为公式的形式,再运用此公式可进行简便运
算.
.
4
101 2
4
42
101 2
2
解:原式
8
101 2
2
8
8 21 2 2
2
8
21 2 2
2
.4
练一练 计算:
当堂练习
2.下列运算正确的是( )
A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2
C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
C
1.计算 (-x2y)2的结果是( )
A.x4y2 B.-x4y2
C.x2y2 D.-x2y2
A
3. 计算:(1) 82016×0.1252015= ________;
(2) ________;
(3) (0.04)2013×[(-5)2013]2=________.
2016
2017 1( 3)
3
8
-3
1
(1)(ab2)3=ab6 ( ) ×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×(3) (-2a2)2=-4a4 ( )
(4) -(-ab2)2=a2b4 ( )
4.判断:
(1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (-xy)5;
(4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (-3×103)3.
5.计算:
解:(1)原式=a8b8;
(2)原式= 23 ·m3=8m3;
(3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5;
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6;
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104;
(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010.
(1) 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;
(2)(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) ;
(3)(-2x3)3·(x2)2.
解:原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
= 2x9-27x9+25x9 = 0;
解:原式=9x2y4 +4x2y4
=13x2y4;
解:原式= -8x9·x4 =-8x13.
6.计算:
拓展提升:
7.如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值.
(an)3•(bm)3•b3=a9b15,
a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,
a 3n •b 3m+3=a9b15,
3n=9 ,3m+3=15.
n=3,m=4.
解:∵(an•bm•b)3=a9b15,
课堂小结
幂的运
算性质
性 质
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
反 向
运 用
am · an =am+n
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注 意
运用积的乘方法则时要注意:
公式中的a、b代表任何代数式;
每一个因式都要“乘方”;注意
结果的符号、幂指数及其逆向运
用(混合运算要注意运算顺序)
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