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- 2021-10-26 发布
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12.2
三角形
全等
的判定
第十二章 全等三角形
第
1
课时 “边边边”
情境引入
学习目标
1.
探索
三角形全等条件
.
(重点)
2.
“
边边边
”
判定方法和应用
.
(难点)
3.
会用尺规作一个角等于已知角,了解图形的作法.
导入新课
为了庆祝国庆节,老师要求同学们回家制作三角形彩旗
(如图),那么,老师应提供多少个数据了,能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢?一定要知道所有的边长和所有的角度吗?
情境引入
A
B
C
D
E
F
1.
什么叫全等三角形?
能够重合的两个三角形叫 全等三角形
.
3.
已知
△
ABC
≌
△
DEF
,找出其中相等的边与角
.
①
AB=DE
③
CA
=
FD
②
BC
=
EF
④ ∠
A
= ∠
D
⑤
∠
B
=∠
E
⑥ ∠
C
= ∠
F
2.
全等三角形有什么性质?
全等三角形的对应边相等,对应角相等
.
知识回顾
如果只满足这些条件中的一部分
,
那么能保证
△
ABC
≌
△
DEF
吗
?
想一想:
即:
三条边
分别相等,
三个角
分别相等的两个三角形全等.
探究活动
1
:一个条件可以吗?
(
1
)有一条边相等的两个三角形
不一定全等
(
2
)
有
一个角
相等的两个三角形
不一定全等
结论:
有一个条件相等不能保证两个三角形全等
.
三角形全等的
判定(
“
边边边
”
定理)
一
有两个条件对应相等不能保证三角形全等
.
60
o
30
0
不一定全等
探究活动
2
:两个条件可以吗?
不一定全等
30
0
60
o
3cm
4cm
不一定全等
结论:
(
1
)有两个角对应相等的两个三角形
(
2
)有两条边对应相等的两个三角形
(
3
)有一个角和一条边对应相等的两个三角形
3cm
4cm
30
0
3cm
30
0
3cm
结论
:
三个内角对应相等的三角形
不一定全等
.
(
1
)有
三个角
对应相等的两个三角形
60
o
30
0
30
0
60
o
90
o
90
o
探究活动
3
:三个条件可以吗?
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
(
2
)
三边对应相等
的两个三角形会全等吗?
先任意画出一个
△
ABC
,再画出一个
△
A
′
B
′
C
′
,
使
A
′
B
′
=
AB
,
B
′
C
′
=
BC
,
A
′
C
′
=
AC
.
把画好的
△
A
′
B
′
C
′
剪下,放到
△
ABC
上,他们全等吗?
A
B
C
A
′
B
′
C
′
想一想:
作图的结果反映了什么规律?你能用文字语言和符号语言概括吗?
作法:
(
1
)画
B
′
C
′
=BC
;
(
2
)分别以
B
',
C
'
为圆心,线段
AB
,
AC
长为半径画圆,两弧相交于点
A
'
;
(
3
)连接线段
A
'
B
',
A
'
C
'.
动手试一试
文字语言:
三边对应相等的两个三角形全等
.
(简写为
“边边边”或“
SSS
”
)
知识要点
“边边边”判定方法
A
B
C
D
E
F
在△
ABC
和△
DEF
中,
∴ △
ABC
≌
△
DEF
(
SSS
)
.
AB
=
DE
,
BC
=
EF
,
CA
=
FD
,
几何语言:
例
1
如图,有一个三角形钢架,
AB
=
AC
,
AD
是连接点
A
与
BC
中点
D
的支架.求证:
(
1
)
△
ABD
≌
△
ACD
.
C
B
D
A
典例精析
解题思路:
先找隐含条件
公共边
AD
再找现有条件
AB
=
AC
最后找准备条件
BD
=
CD
D
是
BC
的中点
证明:∵
D
是
BC
中点,
∴
BD
=
DC
.
在
△
ABD
与
△
ACD
中,
∴
△
ABD
≌
△
ACD
(
SSS
).
C
B
D
A
AB
=
AC
(
已知)
BD
=
CD
(已证)
AD
=
AD
(公共边)
准备条件
指明范围
摆齐根据
写出结论
(2)∠
BAD
= ∠
CAD
.
由(
1
)得△
ABD
≌
△ACD
,
∴ ∠
BAD= ∠CAD.
(全等三角形对应角相等)
①
准备条件:
证全等时要用的条件要先证好;
②指明范围:
写出在哪两个三角形中;
③摆齐根据:
摆出三个条件用大括号括起来;
④写出结论:
写出全等结论
.
证明的书写步骤:
如图
,
C
是
BF
的中点,
AB
=
DC
,
AC
=
DF
.
求证
:△
ABC
≌ △
DCF
.
在△
ABC
和△
DCF
中,
AB
=
DC
,
∴ △
ABC
≌ △
DCF
(
已知
)
(
已证
)
AC
=
DF
,
BC
=
CF
,
证明:
∵
C
是
BF
中点,
∴
BC
=
CF.
(
已知
)
(SSS).
针对训练
已知
:
如图
,
点
B
、
E
、
C
、
F
在同一直线上
, AB = DE ,
AC = DF ,BE = CF .
求证
:
(
1
)△
ABC
≌
△DEF
;
(
2
)∠
A
=
∠
D
.
证明
:
∴ △ABC
≌
△DEF
( SSS ).
在△
ABC
和△
DEF
中,
AB = DE
,
AC = DF
,
BC = EF
,
(
已知
)
(
已知
)
(
已证
)
∵ BE = CF
,
∴ BC = EF.
∴ BE+EC = CF+CE
,
(
1
)
(
2
)∵ △
ABC
≌
△DEF
(已证),
∴ ∠
A
=
∠
D
(全等三角形对应角相等)
.
E
变式题
已知:
∠
AOB
.
求作:
∠
A
′
O
′
B
′
=∠AOB
.
例
2
用尺规作一个角等于已知角.
O
D
B
C
A
O
′
C
′
A
′
B
′
D
′
用尺规作一个角等于已知角
二
作图总结
作法:
(
1
)
以点
O
为圆心,任意长为半径画弧,分别交
OA
,
OB
于点
C
、
D
;
(
2
)
画一条射线
O
′
A
′
,
以点
O
′
为圆心,
OC
长为半
径画弧,交
O
′
A
′
于点
C
′
;
(
3
)
以点
C
′
为圆心,
CD
长为半径画弧,与第
2
步中
所画的弧交于点
D
′
;
(
4
)
过点
D
′
画射线
O
′
B
′
,则
∠
A
′
O
′
B
′
=∠AOB
.
已知:
∠
AOB
.
求作:
∠
A
′
O
′
B
′
=∠
AOB
.
用尺规作一个角等于已知角
依据是什么?
1.
如图,
D
、
F
是线段
BC
上的两点,
AB
=
CE
,
AF
=
DE
,
要使
△
ABF
≌
△
ECD
,还需要条件
___
(
填一个条件即可)
.
BF=CD
A
E
=
=
×
×
B
D
F
C
当堂练习
2.
如图,
AB
=
CD
,
AD
=
BC
,
则下列结论:
①△
ABC
≌
△
CDB
;②△
ABC
≌
△
CDA
;③△
ABD
≌
△
CDB
;④
BA
∥
DC
.
正确的个数是
( )
A . 1
个
B. 2
个
C. 3
个
D. 4
个
O
A
B
C
D
C
=
=
×
×
3.
已知:如图
,
AB=AE
,
AC
=
AD,BD
=
CE
,
求证:△
ABC
≌
△
AED.
证明:
∵BD=CE,
∴BD
-
CD=CE
-C
D .
∴BC=ED .
×
×
=
=
在
△ABC
和
△ADE
中,
AC=AD
(已知),
AB=AE
(已知),
BC=ED
(
已证),
∴△
ABC
≌
△
AED
(
SSS
)
.
4.
已知:如图
,
AC=FE
,
AD=FB,BC=DE.
求证:
(1)
△
ABC
≌
△
FDE
; (2) ∠
C
= ∠
E
.
证明:
(1)
∵
AD
=
FB
,
∴
AB
=
FD
(等式性质)
在
△
ABC
和
△
FDE
中,
AC=FE
(已知),
BC=DE
(已知),
AB=FD
(
已证),
∴△
ABC
≌
△
FDE
(
SSS
);
A
C
E
D
B
F
=
=
?
?
。
。
(
2
)∵ △
ABC
≌
△
FDE
(已证)
.
∴
∠C=∠E
(全等三角形的对应角相等)
.
5.
如图
,AD
=
BC,AC
=
BD.
求证
:∠C
=
∠D .(
提示
:
连结
AB)
证明:连结
AB
两点
,
∴△ABD
≌
△BAC(SSS)
AD=BC
,
BD=AC
,
AB=
BA
,
在
△ABD
和
△BAC
中,
∴∠D=∠C.
思维拓展
6.
如图,
AB
=
AC
,
BD
=
CD
,
BH
=
CH
,图中有几组全等的三角形?它们全等的条件是什么?
H
D
C
B
A
△
ABD
≌
△
ACD
(SSS)
AB=AC
,
BD
=
CD
,
AD=
AD
,
△
ABH
≌
△
ACH
(SSS)
AB=AC
,
BH
=
CH
,
AH=
AH
,
△
BDH
≌
△
CDH
(SSS)
BH=CH
,
BD
=
CD
,
DH=
DH
,
课堂小结
边边边
内容
有三边对应相等的两个三角形全等(简写成
“
SSS
”)
应用
思路分析
书写步骤
结合图形找隐含条件和现有条件,证准备条件
注意
四步骤
1.
说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写
.
2.
结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中
.
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