- 1.10 MB
- 2021-10-27 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
7.4
平行线的性质
第七章 平行线的证明
学习目标
1.
理解并掌握平行线的性质公理和定理.(重点)
2.
能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明.(难点)
两直线平行
1
.
同位角相等
2
.
内错角相等
3
.
同旁内角互补
问题
平行线的判定方法是什么?
思考
反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
导入新课
回顾与思考
讲授新课
平行线的性质
合作探究
问题
1
:
根据“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”
.
你能作出相关的图形吗?
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题
2
:
你能根据所作的图形写出已知、求证吗?
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等
.
已知,如图,直线
AB
∥
CD,∠1
和
∠2
是直线
AB
、
CD
被直线
EF
截出的同位角
.
求证:
∠1=∠2.
文字语言
符号语言
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题
3
:
你能说说证明的思路吗?
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
1
2
证明:假设
∠1 ≠ ∠2
,那么我们可以过点
M
作直线
GH
,使
∠EMH= ∠2
,如图所示
.
根据“同位角相等,两直线平行”,可知
GH ∥ CD.
又因为
AB ∥ CD
,这样经过点
M
存在两条直线
AB
和
GH
都与直线
CD
平行
.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾
.
这说明
∠1 ≠ ∠2
的假设不成立,所以
∠1 =∠2.
如果∠1 ≠ ∠2,
AB
与
CD
的位置关系会怎样呢?
一般地,平行线具有如下性质:
定理
1
:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等
.
简单说成:
两直线平行,同位角相等
.
b
1
2
a
c
∴
∠1=∠2
(两直线平行,同位角相等)
∵
a∥b
(已知)
应用格式
:
总结归纳
议一议
利用上述定理,你能证明哪些熟悉的结论?
两直线平行,内错角相等
.
两直线平行,同旁内角互补
.
尝试来证明一下
定理
2
:
两条直线被第三条直线所截,内错角相等
.
1
2
b
c
3
a
已知:直线
a∥b
,∠
1
和∠
2
是
直线
a
,
b
被直线
c
截出的内错角
.
求证: ∠
1=∠2.
证明:∵
a∥b
(
已知
)
,
∴∠2
=∠
3(
两条直线平行,同位角相等
)
∵∠1
=∠
3(
对顶角相等
)
,
∴∠1=∠2(
等量代换
)
定理
3
:
两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
1
2
b
c
3
a
已知:直线
a∥b
,∠
1
和∠
2
是直
线
a
,
b
被直线
c
截出的同旁内角
.
求证: ∠
1+∠2=180°.
证明:∵
a∥b
(
已知
)
∴∠2
=∠
3 (
两条直线平行,同位角相等
)
∵∠1+∠3 =180° (
平角等于
180°)
∴∠1+∠2=180 ° (
等量代换
)
.
证明:∵
a
∥
b
,∴∠
1=
∠
2
,
同理∠
2=
∠
3
,∴∠
1=
∠
3
,∴
a∥c
.
定理:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
.
已知:如图,直线
a,b,c
被直线
d
所截,且
a∥b,c∥b
.
求证:
a∥c
.
平行线的性质
公理
:
两直线平行
,
同位角相等
.
∵
a∥b
, ∴∠1=∠2.
性质定理
1:
两直线平行
,
内错角相等
.
∵
a∥b
, ∴∠1=∠2.
性质定理
2:
两直线平行
,
同旁内角互补
.
∵
a∥b
, ∴ ∠1+∠2=180
0
.
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
这里的结论
,
以后可以直接运用
.
总结归纳
归纳总结
证明一个命题的一般步骤:
(1)
弄清题设和结论;
(2)
根据题意画出相应的图形;
(3)
根据题设和结论写出已知
,
求证;
(4)
分析证明思路
,
写出证明过程
.
典例精析
A
D
C
B
例
1
:
如图所示,已知四边形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,
AD
∥
BC,
试问∠
A
与∠
C
,∠
B
与∠
D
的大小关系如何?
解:∠
A=
∠
C, ∠B=∠D
理由:∵
AB
∥
CD
(已知 )
∴∠
B+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补 )
又 ∵
AD
∥
BC
(已知)
∴∠
C+∠D=180°
( 两直线平行,同旁内角互补 )
∴∠
B=∠D
( 同角的补角相等 )
同理 ∠
A=∠C
A
D
C
B
例
2
:
已知,如图,
AB∥CD
,
∠B=∠D
,求证:
AD
∥
BC.
证法一:
∵AB
∥
DC
(已知)
∴∠B+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠B=∠D
(已知)
∴∠D+∠C=180°
(等量代换)
∴AD
∥
BC
(同旁内角互补,两直线平行)
A
D
C
B
例
2
:
已知,如图,
AB∥CD
,
∠B=∠D
,求证:
AD
∥
BC.
证法二:
如图,延长
BA
(构造一组同位角)
∵AB
∥
CD
(已知)
∴∠1=∠D
(两直线平行,内错角相等)
∵∠B=∠D
(已知)
∴∠1=∠B
(等量代换)
∴AD
∥
BC
(同位角相等,两直线平行)
1
A
D
C
B
例
2
:
已知,如图,
AB∥CD
,
∠B=∠D
,求证:
AD
∥
BC.
证法三:
如图,连接
BD
(构造一组内错角)
∵AB
∥
CD
(已知)
∴∠1=∠4
(两直线平行,内错角相等)
∵∠B=∠D
(已知)
∴∠B
-
∠1=∠D
-
∠4
(等式的性质)
∴∠2=∠3
∴AD
∥
BC
(内错角相等,两直线平行)
1
2
3
4
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论:
平行线三个性质的条件是什么?结论是什么?它与判定有什么区别?(分组讨论)
平行线的判定与性质
总结归纳
当堂练习
1.
下列图形中,由
AB
∥
CD
,能得到∠
1=∠2
的是
( )
B
【
解析
】
选项
A
中∠
1
与∠
2
是同旁内角,∠
1+∠2=180°
,错误
;
选项
B
中,∠
1
与∠
2
是相等的,正确
;
选项
C
中,∠
1
与∠
2
是
AC
与
BD
被
AD
所截而得的内错角,错误
;
选项
D
中,∠
1
与∠
2
是
AC
与
BD
被
CD
所截而得的同旁内角,错误
.
2.
如图所示
,
下列推理不正确的是
( )
A.∵AB
∥
CD
,∴∠
ABC+∠C=180°
B.∵∠1=∠2
,∴
AD
∥
BC
C.∵AD
∥
BC
,∴∠
3=∠4
D.∵∠A+∠ADC=180°
,∴
AB
∥
CD
C
【
解析
】A
选项的根据是两直线平行,同旁内角互补;
B
选项的根据是内错角相等,两直线平行;
D
选项的根据是同旁内角互补,两直线平行;
C
选项中,
AD
∥
BC
,而∠
3
与∠
4
是
AB
与
CD
被
BD
所截的内错角
.
解
: ∠
A
=∠
D
.
理由:
∵
AB∥DE
(
)
∴∠
A
=_______
(
)
∵
AC∥DF
( )
∴∠
D
=______ ( )
∴∠
A
=∠
D
( )
4.
如图1
,
若
AB∥DE
,
AC∥DF
,请说出∠
A
和∠
D
之
间的数量关系,并说明理由
.
P
F
C
E
B
A
D
图1
已知
∠
CPE
两直线平行
,
同位角相等
已知
∠
CPE
两直线平行
,
同位角相等
等量代换
解
: ∠
A
+∠
D
=180
o
.
理由:
∵
AB∥DE
(
)
∴∠
A
= ______ ( )
∵
AC∥DF
( )
∴∠
D
+ _______=180
o
( )
∴∠
A
+∠
D
=180
o
( )
如图
2,
若
AB∥DE
,
AC∥DF
,请说出∠
A
和∠
D
之间的数量关系,并说明理由
.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠
CPD
两直线平行
,
同位角相等
已知
∠
CPD
两直线平行
,
同旁内角互补
等量代换
5.
如图,是一块梯形铁片的残余部分,量得
∠
A
=100°
,
∠
B
=115°
,梯形的另外两个角分别是多少度?
A
B
C
D
解:因为梯形上、下底互相平行,所以
∠
A
与
∠
D
互补,
∠
B
与
∠
C
互补
.
所以梯形的另外两个角分别是
80°
、
65°.
于是∠
D
=180 °
-
∠
A
=180°
-
100°=80°
∠
C
= 180 °
-
∠
B
=180°
-
115°=65°
6.
如图,在∆
ABC
中,
CE⊥AB
于点
E
,
DF⊥AB
于点
F
,
AC//ED
,
CE
是∠
ACB
的平分线,则∠
EDF=∠BDF
,请说明理由
.
解:因为
CE⊥AB
,
DF⊥AB
所以
DF//EC
所以∠
BDF=∠1
,
∠EDF=∠3
因为
ED//AC
,
所以∠
3=∠2
所以∠
EDF=∠2
又
CE
平分∠
ACB
所以∠
1=∠2
所以∠
BDF=∠EDF
.
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知
课堂小结