八年级上数学课件八年级上册数学课件《乘法公式》 人教新课标 (1)_人教新课标 13页

人教新课标 14.3乘法公式 请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他 们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？ (1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2) 在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何 进行这样的运算呢？ 我们知道a2=a•a，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样 就转化成多项式与多项式的乘积了． 能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？ 像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运 算结果有什么规律． 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______； （2）(m+2)2=_______； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________； （4）(m-2)2=________； （5）(a+b)2=________； （6）(a-b)2=________． (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m•2+2×2=m2+4m+4 （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p•(-1)+(-1)•p+(-1)×(-1) =p2-2p+1 （4）(m-2)2=(m-2)(m-2) =m2+m•(-2)+(-2)•m+(-2)×(-2)=m2-4m+4 （5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？ 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？ (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式． 你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？ 先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b．还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个矩形组成， 所以大正方形 的面积等于这四个图形的面积 之和．阴影部分的正方形边长 是a，所以它的面积是a2； 另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的 面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正 好符合完全平方公式． 如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a2；矩形 DCGE与矩形BCHF是全等图形， 长都是a，宽都是b，所以它们 的面积都是a•b；正方形HCGM 的边长是b，其面积就是b2； 正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(a- b)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再 加上正方形HCGM的面积． 也就是：(a-b)2=a2- 2ab+b2．这也正好符合完全平方公式． 数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一 步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以 轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了． (a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab． 于是得孩 子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果 总数多2ab块． 例3 运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2; (2) (y- )2.1 2 解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2 = 16m2+8mn +n2; (2) (y - )2 = y2 - 2•y• + ( )2 = y2-y + 1 2 1 2 1 2 1 4 例4 运用完全平方公式计算: (1) 1022 ; (2) 992 . 解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2Χ100Χ1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801. 1、完全平方公式的内容是什么？ 2、请同学们总结完全平方公式的结构特征。 公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是 三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平 方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 3、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它 可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公 式的结构特征，就可以运用这一公式