八年级下数学课件《矩形》课件1第一课时_冀教版 13页

八年级数学·下 新课标[冀教] 第二十二章 四边形 学 习 新 知问题思考 1.什么叫做平行四边形?它具有哪些性质? 2.想一想,这里展示的物体都是一些什么形状的图形? 中国有句古话:不以规矩,不成方圆.“方”指的就是我们小学学习过 的长方形,包括正方形,“矩”就是古代画“方”的一种工具.到了初 中阶段,我们就把长方形称作矩形. 观察并思考: 1.在运动过程中四边形还是平行四边形吗? 2.在运动过程中四边形不变的是什么?改变的是什么? 3.角的大小改变过程中有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形? 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的定义 　矩形的性质 1.观察试验,发现问题 平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上, 作为它的对角线,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状, 观察并思考: （1）随着∠ABC的变化,两条对角线的长度是怎样变化的? (2)当∠ABC是直角时,平行四边形变成了矩形,此时其他内角有 什么变化?两条对角线的长度有什么关系? 矩形的性质定理1　矩形的四个内角都是直角. 矩形的性质定理2　矩形的两条对角线相等. 已知:如图所示,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相 交于点O.求证: (1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; (2)AC=BD. (1)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么? (2)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 概括矩形的性质: (1)从边来说,矩形的对边平行且相等; (2)从角来说,矩形的四个内角都是直角; (3)从对角线来说,矩形的两条对角线相等且互相平分; (4)从对称性来说,矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形. 如图所示,矩形ABCD中,两条对角线相交于点 O,∠AOD=120°,AB=4 cm,求矩形对角线的长. 分析:先根据矩形的对角线相等且互相平分这一性质得到线段之间的 关系,再利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”,证明 △AOB是等边三角形,然后再求解. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,AO=OC=BO=OD. ∵∠AOD=120°, ∴∠AOB=60°. ∴△AOB是等边三角形. ∴AO=BO=AB=4 cm. AC=AO+OC=AO+OB=8(cm), 即矩形ABCD的对角线的长度为8 cm. 检测反馈1.在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC 边于点E,则线段BE,EC的长度分别为 (　　) A.2和3 B.3和2 C.4和1 D.1和4 解析:∵AE平分∠BAD交BC边于点 E,∴∠BAE=∠EAD,∵四边形ABCD是矩 形,∴AD∥BC,AD=BC=5,∴∠DAE=∠AEB,∴∠BA E=∠AEB,∴AB=BE=3,∴EC=BC-BE=5-3=2.故选B. B 2.下列说法中:①有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有一个角是 直角的四边形是矩形;③有三个角是直角的四边形是矩形;④必须有 四个角是直角的四边形才能是矩形,正确的有 (　　) A.①②③④ B.①③ C.①②③ D.①③④ 解析:②中混淆了四边形与平行四边形的区别;④中混淆了矩形 的性质与判定的区别.只有①③正确.故选B. B 3.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错 误的是 (　　) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD 1 21 2 解析:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°,AC=BD,OA= AC, OB= BD,∴OA=OB,∴选项A,B,C正确,选项D错误.故选D. D 4.如图所示,O是矩形ABCD的对称中心,M是AD的中点.若 BC=8,OB=5,则OM的长为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 1 2 1 2 2 210 8 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,OA= AC,OB= BD,AC=BD,∴AC=BD=2OB=10,∴AB= =6,∴CD=6.∵O 是矩形ABCD的对称中心,M是AD的中点,∴OM是△ACD的中 位线,∴OM= CD=3.故选C. C 5.(2016·荆门中考)如图所示,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点, 且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是 (　　) A.△AFD≌ △DCE B.AF= AD C.AB=AF D.BE=AD-DF 1 2 解析:由四边形ABCD是矩形,AF⊥DE可得 ∠C=∠AFD=90°,AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC.又 ∵DE=AD,∴△AFD≌ △DCE(AAS),故A正确;∵∠ADF不一定等于30°,∴ 直角三角形ADF中,AF不一定等于AD的一半,故B错误;由△AFD≌ △DCE,得 AF=CD,由四边形ABCD是矩形,得AB=CD,∴AB=AF,故C正确;由 △AFD≌ △DCE,得CE=DF,由四边形ABCD是矩形,得BC=AD,又∵BE=BC- EC,∴BE=AD-DF,故D正确.故选B. B 6.如图所示,四边形ABCD是矩形,点E是AD的 中点,点F是BC的中点.求证△ABF≌ △CDE. 解析:由矩形的性质得出∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,由中点的定义从 而得出BF=DE,由“SAS”证明△ABF≌ △CDE即可. 1 2 1 2 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC. ∵点E是AD的中点,点F是BC的中点, ∴DE= AD,BF= BC, ∴BF=DE. 在△ABF和△CDE中, , , , AB CD B D BF DE      ∴△ABF≌ △CDE(SAS). 7.如图所示,在矩形ABCD中,AC与BD交 于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F. 求证BE=CF. 解析:要证BE=CF,可运用矩形的性质结合已知条件证BE,CF所在 的三角形全等,从而得出结论. 证明:∵四边形ABCD为矩形, ∴AC=BD,则BO=CO. ∵BE⊥AC,CF⊥BD, ∴∠BEO=∠CFO=90°. 又∵∠BOE=∠COF, ∴△BOE≌ △COF. ∴BE=CF. 8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,AF平分 ∠DAE,EF⊥AE于E,求CF的长. 解析:先证△AEF≌ △ADF,得AE=AD=5,EF=DF,在△ABE中,由勾股定 理求出BE=3,从而求出CE=2,设CF=x,则EF=DF=4-x,在Rt△CFE中,由 勾股定理,得(4-x)2=x2+22,求出x即可. 解:∵AF平分∠DAE,∴∠DAF=∠EAF. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠D=∠C=90°,AD=BC=5,AB=CD=4. ∵EF⊥AE,∴∠AEF=∠D=90°. 在△AEF和△ADF中, , , , D AEF DAF EAF AF AF         ∴△AEF≌ △ADF(AAS), ∴AE=AD=5,EF=DF. 在△ABE中,∠B=90°,AE=5,AB=4, 由勾股定理,得BE=3, ∴CE=5-3=2. 3 23 2 设CF=x,则EF=DF=4-x, 在Rt△CFE中,由勾股定理,得 EF2=CE2+CF2,即(4-x)2=x2+22,解得x= ,即CF= . 9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别 是AB,CD的中点,P是AD上的点,且∠PNB=3∠CBN. (1)求证∠PNM=2∠CBN; (2)求线段AP的长. 解析:(1)由已知得MN∥BC,可得∠CBN=∠MNB,由已知∠PNB=3∠CBN,根据 角的和差关系得出结论;(2)连接AN,根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN, 由(1)知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN,由AD∥MN,可知∠PAN=∠ANM,所以 ∠PAN=∠PNA,根据等角对等边得到AP=PN,再用勾股定理求出AP的长. 证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,M,N分别 是AB,CD的中点, ∴MN∥BC,∴∠CBN=∠MNB. ∵∠PNB=3∠CBN,∴∠PNM=2∠CBN. 解:(2)如图所示,连接AN,根据矩形的轴对称性 可知∠PAN=∠CBN. ∵MN∥AD,∴∠PAN=∠ANM, 由(1)知∠PNM=2∠CBN, ∴∠PAN=∠PNA,∴AP=PN. ∵AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点, ∴DN=2. 10 3 10 3 设AP=x,则PD=6-x. 在Rt△PDN 中,PD2+DN2=PN2, ∴(6-x)2+22=x2,解得 x= . ∴AP= .