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- 2021-10-27 发布
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第二十二章 四边形
22.6 正方形
第2课时 正方形的判定
1 u正方形的对称性
u正方形的判定
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
相传,上古神话人物伏羲在黄河边行走,得到龙
马送来的“河图”(如下图所示),在洛水边又得到神
龟送来的“洛书”.“河图”、“洛书”是几千年前的
两幅图象,是正方形的图案,由点和线交织而成,充
满了巧妙的数字关系,说明中华祖先很早对于几何和
代数的研究. 充分显示了中华祖先的聪明才智.
1 正方形的对称性
知1-导
O
A
B C
D
(A)
(B)(C)
(D)
正方形的对称性:
正方形是中心对称图形,
对称中心为点O;
又是轴对称图形,有四
条对称轴.
知1-讲
例1 如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC
=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别
交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,
则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
2
3
1
4
5
9
4
9
D
作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,易得△EPM
≌ △EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形
PCQE的面积求解.
作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,
又∵∠EPM=∠EQN=90°,∴∠PEQ=90°,
∴∠PEM+∠MEQ=90°,
∵三角形FEG是直角三角形,∴∠NEF=∠NEQ+
∠MEQ=90°,∴∠PEM=∠NEQ,
∵CA是∠BCD的角平分线,∠EPC=∠EQC=90°,
∴EP=EQ,四边形PCQE是正方形,
知1-讲
导引:
在△EPM和△EQN中,
∴△EPM≌ △EQN(ASA),∴S△EQN=S△EPM,
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,
∵正方形ABCD的边长为a,∴AC= a,
∵EC=2AE,∴EC= a,∴EP=PC= a,
∴正方形PCQE的面积= a× a= a2,
∴四边形EMCN的面积= a2.
知1-讲
,
,
,
PEM NEQ
EP EQ
EPM EQN
2
2 2
3
2
3
2
3
2
3
4
9
4
9
知1-讲
本例解法在于巧用割补法,将分散的图形拼合在
一起,将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中,
再利用正方形及三角形的性质求出,解答过程体现了
割补法及转化思想.
知1-练
(来自教材)
已知:如图,正方形ABCD的两条对角线相交于
点O,点M,N分别在OA,OD上,且MN∥AD.
请探究线段DM和CN之间的数量关系, 写出结
论并给出证明.
1
知1-练
(来自教材)
DM=CN.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OD,AD=DC,∠DAM=∠CDN
=45°.
又∵MN∥AD,
∴OM=ON.∴AM=DN.
∴△AMD≌ △DNC.
∴DM=CN.
解:
知1-练
(来自教材)
已知:如图,正方形ABCD的两条对角线相交于
点O,E为OC上一点, AM⊥BE,垂足为M,
AM与DB相交于点F. 求证:OE=OF.
2
知1-练
(来自教材)
在正方形ABCD中,OA=OB,
∠BOC=∠AOF=90°.
∵在Rt△AME中,∠EAM+∠AEM=90°,
在Rt△AOF中,∠FAO+∠AFO=90°,
∴∠AEM=∠AFO.
∴△AOF≌ △BOE.
∴OE=OF.
证明:
知1-练
3 【中考·南京】如图,菱形ABCD的面积为120 cm2,
正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为
________.13cm
知1-练
4 【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证
了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了(
)
A.1次 B.2次
C.3次 D.4次
B
知1-练
5 将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式
摆放,点A,B,C,D分别是四个正方形的中
心,则图中四块阴影部分面积的和为( )
A.2 cm2
B.4 cm2
C.6 cm2
D.8 cm2
B
2 正方形的判定
思考
正方形有哪些性质?如何判定一个四边形是正方形?
把它们写出来, 并和同学交流一下,然后证明其中的
一些结论.
知2-导
知2-导
正方形
矩形 有一组邻边相等
菱形 有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角有一组邻边相等
知2-导
正方形的判定方法:要判定一个四边形是正方形,最
常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形),再证明这
个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等),
其实质就是根据正方形的定义来判定,当然也可以先
证四边形是平行四边形,再证有一组邻边相等且有一
个角是直角,或证这个平行四边形的对角线相等并且
互相垂直.
知2-讲
例2 [中考·铁岭]如图,△ABC中,AB=AC,AD是
△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并
延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方
形?并说明理由.
知2-讲
(1)利用平行四边形的判定方法首先得出四边形
AEBD是平行四边形,进而由等腰三角形的
性质得出∠ADB=90°,即可证得结论;
(2)利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=
CD,进而利用正方形的判定方法即可判定
矩形AEBD是正方形.
导引:
知2-讲
(1)证明:∵点O为AB的中点,OE=OD,
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.
∴平行四边形AEBD是矩形.
(2)解:当∠BAC=90°时,矩形AEBD是正方形.
理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是△ABC
的角平分线,∴AD=BD=CD.
∵由(1)得四边形AEBD是矩形,
∴矩形AEBD是正方形.
知2-讲
本题运用演绎推理解答,(1)中根据对角线互相平
分判定四边形AEBD是平行四边形,再由等腰三角形
三线合一的性质证直角,从而判定四边形AEBD是矩
形.(2)中添加条件后可证得矩形的一组邻边相等,即
可判定该矩形是正方形.
知2-讲
例3 如图,已知在▱ ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E
是BD的延长线上的点,且EA=EC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED,
求证:四边形ABCD是正方形.
要证▱ ABCD是正方形,有三种途径可走:即在平行四
边形、菱形、矩形的基础上,找各需补充的对角线的
条件进行证明;若要证明▱ ABCD是菱形,由于题中条
件与对角线相关,则需证AC⊥BD.
导引:
知2-讲
(1)首先根据平行四边形的性质可得AO=CO,再由EA
=EC可得△EAC是等腰三角形,然后根据等腰三角
形三线合一的性质可得EO⊥AC,根据对角线互相
垂直的平行四边形是菱形可证出结论;
(2)首先根据角的关系得出AO=DO,进而得到AC=
BD,再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结
论.
知2-讲
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,
∵EA=EC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵∠ADO=∠EAD+∠AED,
∠DAC=∠EAD+∠AED,
∴∠ADO=∠DAC,∴AO=DO,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC=2AO,BD=2DO,
∴AC=BD,∴四边形ABCD是正方形.
证明:
知2-讲
证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法:
(1)证:“四边形+对角线互相垂直、平分且相等”;
(2)证:“平行四边形+对角线互相垂直且相等”;
(3)证:“矩形+对角线互相垂直”;
(4)证:“菱形+对角线相等”.
1 如图,把一张矩形纸片折叠,把重叠部分剪下来,
展开后可以得到一个怎样的四边形?为什么?
知2-练
(来自教材)
正方形.因为有三个角是直角,
所以是矩形,由折叠可知一组邻
边相等,所以是正方形.
解:
知2-练
2 【中考·黑龙江】如图,在菱形ABCD中,对角
线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请
添加一个条件___________________________,
使四边形ABCD是正方形.
∠BAD=90°(答案不唯一)
知2-练
3 【中考·益阳】下列判断错误的是( )
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.两条对角线垂直且互相平分的四边形是正
方形
D
知2-练
4 【中考·河北】关于▱ ABCD的叙述,正确的是(
)
A.若AB⊥BC,则▱ ABCD是菱形
B.若AC⊥BD,则▱ ABCD是正方形
C.若AC=BD,则▱ ABCD是矩形
D.若AB=AD,则▱ ABCD是正方形
C
知2-练
5 【中考·日照】小明在学习了正方形之后,给同桌
小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC;
②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两
个作为补充条件,使▱ ABCD为正方形(如图),现
有下列四种选法,你认为其中错误的是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
B
知2-练
6 在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AB,CA上,
且DE∥CA,DF∥BA,连接EF,AD,则下列三
种说法:
①如果EF=AD,那么四边形AEDF是矩形;
②如果EF⊥AD,那么四边形AEDF是菱形;
③如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是
正方形,其中正确的有( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
B
1
1. 判定方法:
(1)从四边形出发:①有四条边相等,四个角都是直角
的四边形是正方形;②对角线互相平分、垂直且相
等的四边形是正方形;
(2)从平行四边形出发:①有一组邻边相等并且有一个
角是直角的平行四边形是正方形;②对角线互相垂
直且相等的平行四边形是正方形;
(3)从矩形出发:①有一组邻边相等的矩形是正方形;
②对角线互相垂直的矩形是正方形;
(4)从菱形出发:①有一个角是直角的菱形是正方形;
②对角线相等的菱形是正方形.
2. 四边形间的关系:
(1)平行四边形、矩形、菱形、
正方形间的包含关系如图.
(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转
化关系如图:
四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,假设有下
列条件:①AB=AD; ②∠DAB=90°;
③AO=CO,BO=DO; ④四边形ABCD为矩形;
⑤四边形ABCD为菱形; ⑥四边形ABCD为正方形.
则下列推理不成立的是( )
A.①④⇒⑥ B.①③⇒⑤
C.①②⇒⑥ D.②③⇒④
2 易错小结
易错点:将特殊四边形的判定相混淆导致出错
C
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题!
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