八年级上数学课件八年级上册数学课件《多边形及其内角和》 人教新课标 (3)_人教新课标 50页

11.3 多边形 三角形的定义： 探究1 多边形的定义 …… 五边形 六边形 七边形 3n 内角 对角线 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB A B C D E 外角 1 多 边 形 的 相 关 概 念 顶点 边 总结1 …….. 多边形的对角线 n边形 …… 三角形 四边形 五边形 六边形 探究 2 3)n(n  总结2 （1） （2） A B C D E F G H 你能说出这两幅图形的异同点吗？ 多边形的分类 正多边形 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 1、填空：如图，此多边形应记作 边形 ，AB 边的邻边是 、 ，顶点E处的内角为 ，过 顶点A画出这个多边形的对角线，共有 条，它们 把多边形分成 个三角形。 2、n边形有 个顶点， 条边，有 个角， 有 个不同顶点的外角． 3、四边形有 条对角线。五边形有 　　 条 对角线。 4、四边形的一条对角线将它分成 个三角形． 5、从六边形的一个顶点出发可以画 条对角线，它 们将六边形分成 个三角形． 6、正多边形的 相等, 相等． 7、多边形分为 和 两类． 五 ABCDE AE BC ∠AED 2 3 nnn n 2 5 2 ４ ３ 边 凸多边形 凹多边形 E A B C D 角 布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。 想一想 浙江金华兰溪诸葛八卦村 你能算出八卦图的内角和吗？ 你能算它的内角和吗？ 它们的内角和该怎么计算呢？ 其他多边形的内角和呢？ 想一想 你知道长方形和正方形的内角和是多少？ 其它四边形的内角和是多少？ 你还记得三角形内角和是多少度？ （三角形内角和 180°） （都是360°） A B C D 四边形内角和 那么如何求此五边形的内角和呢? 3× 180° =5400 说说你的 探索思路？ A B C D E 三角形 四边形 五边形 1800 2× 180° = 3600 3× 180° =5400 探索过程一掠: A CB A B C D 六边形 七边形 4× 180° =7200 5× 180° =9000 那么六边形、七边形的内角和呢？ 内角和三角形个数从一个顶点引出 对角线数 边数 5 6 2 3 3×180°=540 ° . . . . . . . . . . . . 3 4 4×180°=720° (n-2)×180° n n-3 n-2 7 5×180°=900° 4 5 综上所述，设多边形的边数为n， 则 n边形的内角和等于 （n一2）•180° P A B C D 图 1 如图1，在四边形内任取一点P, 连接PA、PB、PC、PD将四边 形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360° P A B DC 图 2 如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360° P A B C D 图 3 如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360° 百家争鸣 其他方法 其 他 方 案 我们也可以利用以上不同的方法分 割多边形，得到n边形的内角和公式 2A 3A 1A 4A 5AnA 1A 4A 3A2A 5AnA p 2A 1A 3A 4A 5AnA p 2A 1A 3A 4A 5AnA p 照猫画虎 n边形内角和等于 最终结论 （n－2）× 180° 2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？ 解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得： (n－2) ×180=108n 解得：n=5 答：这个多边形是五边形。 1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？ （8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440° 抢 答 那么正五边形、正六边形、正八边形、 正n边形的每个内角分别是多少度呢？ …… 正n边形 （5-2）×180° 5 =108° （6-2）×180° 6 =120° （8-2）×180° 8 =135° （n-2）×180° n Now I can …… A B C D 0180 CA 00 360180)24(  DCBA 因为： 00 180)(360:  CADB所以 典型例题 • （2）他每跑完一圈，身体转过的角 度之和是多少？ • （3）在上图中，你能求出1+  2+  3+  4+  5=吗？你是怎样得到的？ •（1）小明每从一条 街道转到下一条街 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？ 清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。 D' A' C' E' B' O β γ δ θ α A B C D E 1 2 3 4 5 结论： 1，  2，  3，  4，  5的和等于 360 1 多边形 内角的一边与另一边的反 向延长线所组成的角叫做这个多 边形的外角。 在每个顶点处取这个多边形的一 个外角，它们的和叫做这个多边 形的外角和。 多边形的外角和等于360 1 如果广场的形状是六边形、八 边形，那么还有类似的结论吗？ 多边形的外角和 A3 A8An A1 A2 A7 A5 A6 A4 各抒己见 多边形的外角和等于360 1 多边形 外角与内角有何关 系？还有其他方法可以推 导出多边形外角和？ 多边形的任何一个内角加上与它相邻的 内角都等于180°（平角），n个外角连同 它们的各自相邻的内角，共有n个180°， 总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的 和，剩下的就是多边形的外角和了！ 00 180)2(180  nn 01802 0360 例1. 已知一个多边形，它的内角和 等于外 角和的2倍，求这个多边形的边数。 解： 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 多边形外角和等于360º， ∴ (n-2)•180°=2× 360º。 解得: n=6 这个多边形的边数为6。 例2. 一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加 多少度？ 解： 设多边形的边数为n， ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 当边数增加1时，内角和为(n+1-2)•180°，  (n+1-2)•180°- (n-2)•180° =n•180°-180°-n•180°+360° = 180° 内角和增加180° 外角和呢？ 边数增加2或3呢？ • 解;设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x, 则第五个角度数是x+ 100 °. • X+2x+3x+4x+x+ 100 °= （5－2）×180° • 11X +100 °= 540° • 11X = 440° • X = 40° • 则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°. 例3. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比 最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为_____ 1.正五边形 的每一个外角等于___.每一个内角等于 _____, 72° 144° 2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个 多边 形的边 数是_____6 3.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多 边形的边数是_____12 随堂练习 今天的收获 3、n边形的内角和等于：（n－2）×180° 2、n边形从一个顶点所画对角线的条 数为：n－3 4、利用类比归纳、转化的学习方法，可 以把多边形问题转化为三角形问题来解决; 5、方程的数学思想在几何中有重要的作用。 1、 由n条不在同一直线上的线段首尾顺 次连结组成的平面图形称为n边形，又称为 多边形。 课后思考 1、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考 考他。将一个多边形截去一个角后(没有过 顶点）得到多边形的内角和将会（ ） A、不变 B、增加 180° C、减少 180° D、无法确定 1. 如果把多边形的边数增加1条，它的 内角和是2160°，那么这个多边形 的边数是 。 2. 一个多边形除了一个内角外，其余各角的 和为600°，那么除去的这个角的度数是 ， 这个多边形是 边形。 13 120° 六 1.已知四边形ABCD中,∠A与∠C互补.如果 ∠B=80°,则∠D的度数是 . 2.某四边形四个内角的度数之比为1:2:3:3,这 四个内角的度数分别是 . 3.在四边形ABCD中,已知∠A=85 ° ∠C =115 ° ∠B比∠D大20°,则∠B的度数是 ， ∠D的度数是 . 交一份满意的答卷！ 100° 40 °, 80 °, 120 °, 120 ° 90° 70 ° 练一练: 已知在四边形ABCD中, ∠A= 90° ∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD于点E,DF 平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF. A B C D E F 4.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数 与和它相邻的外角的度数比为3∶ 1，那么，这 个多边形的边数为________. 5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的 每个外角的度数为________，每个内角的度数 为________. 6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和， 则它 的边数是_________. 7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并 且它的内角和为2880°，那么它的内角为 _________. 练习 1、 若多边形的外角和与内角和之比为2∶ 9， 求这个多边形的边数及内角和。 2 、一个多边形中的各内角相等，且每个内角 与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边 数。 3、 已知多边形的一个内角的外角与其它 各内角的度数总和为600°，求边数． 4 、如果多边形的每个内角都比它相邻的 外角的4倍还多30°，求这个多边形的内 角和及对角线的总条数． 练习： 2. 已知一个多边形的每一个外角都 等于36， 这个 多边形是 几边形？它的每一个内角 是多少度？ 3. 六角螺母的一个面是六边形的，这个六 边形的六个内角相等。求每一个内角的 度数。 计算 　　1. 已知一个多边形内角和是外 角和的2倍，求边数． 　　2. 已知多边形每个内角都等于 150°，求内角和． 　　3. 一个多边形除了一个内角为 130°外，其余各内角的和为 2030°，求多边形的边数． 　　4. 已知五边形五个内角的比为 1∶ 1.5∶ 2∶ 2.5∶ 3，求这个五边形 的五个外角． 　 8.已知多边形的内角和与某一个外角 的度数总和为1350°，求多边形的边 数. 求下列图形中x的值： 0140 0x 0x ∟ (1) 0x 0150 0120 02x ∟ (2) 0x 0120 080 075 (3) C 0x 0135 A B D E 0150 060 (4) AB∥CD 随堂练习 思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？ 思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？ 思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？ 一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？ 3