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  • 2021-11-01 发布

八年级下数学课件《多边形的内角和与外角和》课件_冀教版

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第二十二章 四边形 22.7 多边形的内角和 与外角和 1 u多边形 u多边形的内角和 u多边形的外角和 u多边形内角和与外角和的关系 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 小明有一个设想: 2018年世界杯在俄罗斯举行,要是能设计一个内 角和是2018°的多边形花坛该多有意义啊!小明的这 个想法能实现吗? 1 多边形 如图,观察这些图形,它们都是平而上由线段首 尾顺次相接所组成的. 知1-导 平面上,由不在同一条直线上的线段首尾顺次相 接组成的图形,叫做多边形 . 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的 对角线.多边形有几条边就叫做几边形.三边形就是我 们通常所说的三角形. 下图所示的五边形,我们把它记作五边形ABCDE. 用类似的方法可以记其他多边形. 多边形的边、顶点、内角、外角 的意义和三角形相同. 知1-导 知1-讲 例1 下列说法中,正确的有(  ) (1)三角形是边数最少的多边形; (2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形; (3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角; (4)多边形分为凹多边形和凸多边形. A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 B 知1-讲 (2)的说法不严密,应点明三点:其一,“不在同 一条直线上”的线段;其二,是“平面图形”; 其三,“线段首尾顺次相接”; (3)n边形有n个内角和2n个外角,即外角的个数是 内角个数的2倍. (1)(4)说法正确. 导引: (1)理解多边形的定义,要 从多边形的几个条件入手. (2)一个n边形,它的顶点数、内角的个数都是n个, 只有外 角有2n个. 知1-讲 知1-练 下列图形中,不是多边形的是(  ) 从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线, 它们将六边形分成n个三角形,则m、n的值分别 为(  )  A.4、3 B.3、3 C.3、4 D.4、4 1 C 2 C 知1-练 从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个 顶点和与它不相邻的各顶点,若把这个多边形分 割成6个三角形,则n的值是(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 3 C 2 多边形的内角和 知2-导 在纸上任意画一个四边形,剪下它的四个角, 把它们拼在起(四个角的顶点里合).你发现了什么? 其他同学与你的发现相同吗?你能把你的发现概括 成 一个命题吗?你能证明这个命题吗? 知2-导 四边形有以下的定理: 四边形的内角和等于360°. 已知:四边形ABCD. 求证: ∠A+∠B+∠C+∠D=360°. 证明 如图,连接BD. ∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°, ∠C+∠CBD+∠CDB=180°. ∴∠A+∠ABD+∠ADB+ ∠C+∠CBD+∠CDB =180°+180°=360°, 即∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°. 边数 图形 从某顶点出发 的对角线条数 划分成的三 角形个数 多边形的 内角和 3 0 1 1×180° 4 1 2 2×180° 5 6 … … … … … n 知2-导 对于n边形,从某一个顶点出发的(n-3)条对角线 把n边形划分成 (n-2)个三角形,所以n边形的内角和 就等于这(n-2)个三角形的所有内角之和.于是就有下 面的定理: n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3). 知2-导 例2 一个六边形如图1.已知AB∥DE,BC∥EF, CD∥AF.求∠A+∠C+∠E的值. 因为两条平行线被一条直线所 截.有许多等角关系,所以我们 不妨连结AD试试看,如图2.不 难发现,∠1=∠3,∠2=∠4.由 此可得本题解法. 分析: 图1 图2 知2-讲 如图2,连结AD. ∵AB∥DE,CD∥AF(已知), ∴∠1=∠3,∠2=∠4. ∴∠1+∠2=∠3+∠4.即∠FAB=∠CDE. 同理,∠B=∠E,∠C=∠F. ∵∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =(6-2)×180°=720°. ∴∠FAB+∠C+∠E= ×720°=360°. 解: 图2 知2-讲 知2-讲 把多边形的内角和的问题转化为四边形内角和、 三角形内角和问题是常用的解题思路. 1 在540°,720°,960°中,哪个角度不可能是多 边形的内角和? 2 在四边形ABCD中,如果∠A+∠C+∠D=280°, 那么∠B的度数是多少? 知2-练 (来自教材) 解: 960°不可能是多边形的内角和. 解: ∠B=360°-(∠A+∠C+∠D) =360°-280°=80°. 3 一个五边形有三个内角是直角,另两个内角都等 于n°.求n的值. 4 过某个多边形一个顶点的对角线有10条.求这个多 边形的内角和. 知2-练 (来自教材) 解:由题意可知90°×3+2n°=(5-2)×180°. 解得n=135. 解:设这个多边形的边数为n,则n-3=10, ∴n=13.∴内角和为(13-2)×180°=1 980°. 知2-练 (来自教材) 5 四边形的四个内角可以都是锐角吗,可以都是钝 角吗?为什么? 解:不可以.四边形的内角和是360°,如果四边 形的四个内角都是锐角,那么它的内角和小于 360°;如果都是钝角,那么它的内角和大于 360°. 知2-讲 例3 [中考·重庆]若一个多边形的内角和是900°,则 这个多边形是(  ) A.五边形   B.六边形 C.七边形 D.八边形 设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)× 180°=900°,解得:n=7. 导引: C 知2-讲 已知多边形的内角和求边数n的方法:根据多边 形内角和公式:(n-2)×180°=内角和列方程,解 方程求出n的值,即得多边形的边数. 1 一个多边形的内角和等于1 080°,这个多边形的 边数是多少? 知2-练 (来自教材) 解:设这个多边形的边数为n. 则(n-2)×180°=1 080°. 解得n=8. ∴这个多边形的边数为8. 解: ∠D= ×360°=144°. 2 在四边形ABCD中,已知∠A:∠B:∠C:∠D= 1:2:3:4.求∠D的度数. 4 1 2 3 4   知2-练 【中考·北京】内角和为540°的多边形是(  )3 C 知2-练 【中考·宜昌】如图,将一张四边形纸片沿直线 剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等, 下列四种剪法中,符合要求的是(  ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 4 B 知2-练 【中考·益阳】将一矩形纸片沿一条直线剪成两 个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不 可能是(  ) A.360° B.540° C.720° D.900° 5 D 知2-练 将一个n边形变成(n+1)边形,内角和将(  ) A.减少180° B.增加90° C.增加180° D.增加360° 一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1 510°,则这个多边形对角线的条数是(  ) A.27 B.35 C.44 D.54 6 C 7 C 知2-练 一个多边形截去一个角后,形成一个新多边形 的内角和是1 620°,则原来多边形的边数是(   ) A.10    B.11    C.12   D.以上都有可能 8 D 3 多边形的外角和 知3-导 由于每一个外角与和它相邻的内角互补,所以n 边形的外角和(每一个顶点只取一个外角)为 n×180°-(n-2)×180°= 360°. 任何多边形的外角和为360°. 知3-讲 定理:多边形的外角和等于360°. 要点精析 (1)多边形的外角和与多边形的边数无关,它始终 为360°; (2)若n边形的每个内角相等,则每一个外角的度数 为 (n≥3). 360 n  知3-讲 例4 已知一个多边形的每个外角都等于40°,则这个 多边形是(  ) A.五边形     B.九边形      C.七边形     D.八边形 根据多边形外角和等于360°,直接可求出多边 形的边数. 导引: B 知3-讲 用多边形外角和定理求多边形内(外)角的度数或 求多边形的边数的方法:一般可利用方程思想通过 列方程解决,本例根据边数× 多边形每个外角的度 数=360°,即可求出. 1 如图所示的模板,规定:AB,CD的延长线应相 交成80°的角.因交点不在板上,不便测量,工人 师傅测得∠BAE=122°,∠OCF=155°.此时AB, CD的延长线相交所成的角是否符合规定?为什么? 知3-练 (来自教材) 不符合规定.理由:因为五边形 AEFCG的内角和为(5-2)×180° =540°.所以∠AGC=540°-(∠E +∠F+∠BAE+∠DCF)=540° -457°=83°≠80°.所以不符合规定. 解: 知3-练 五边形的外角和等于(  ) A.180° B.360° C.540° D.720° 【中考·十堰】如图所示,小华从点A出发,沿 直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米, 又向左转24°……照这样走下去,他第一次回 到出发地点A时,一共走的路程是(  ) A.140米 B.150米 C.160米 D.240米 2 B 3 B 知3-练 【中考·宜昌】设四边形的内角和等于a,五边形 的外角和等于b,则a与b的关系是(  ) A.a>b B.a=b C.a<b D.b=a+180° 4 B 4 多边形内角和与外角和的关系 知4-讲 例5 [中考·资阳]一个多边形的内角和是外角和的3倍, 则这个多边形的边数是________. 设这个多边形的边数为n, ∵多边形的外角和为360°, ∴(n-2)×180°=3×360°. 解得:n=8. 导引: 8 知4-讲 因为多边形的外角和是定值,所以有些多边形 的问题经常转化为外角的问题来解决. 多边形的内角 和、外角和在应用时注意区分,不要混了. 1 内角和等于外角和的2倍的多边形是几边形? 2 一个n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7. 求n的值. 知4-练 (来自教材) 解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°= 2×360°.解得n=6.所以这个多边形是六边形. 解:由题意可知 , 所以n=9. 360 2= ( 2) 180 7n    3 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平 分∠ABC,DF平分∠ADC. BE与DF有怎样的位置 关系?为什么? 知4-练 (来自教材) 知4-练 (来自教材) 解:BE∥DF.理由:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ADC+∠ABC=360°-(∠A+∠C)=180°. ∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC, ∴∠ABE= ∠ABC,∠ADF= ∠ADC. ∴∠ABE+∠ADF= ∠ABC+ ∠ADC = ×180°=90°. 又易知∠ABE+∠AEB=90°, ∴∠AEB=∠ADF.∴BE∥DF. 1 2 1 2 1 2 1 21 2 知4-练 【中考·南通】已知一个多边形的内角和等于它 的外角和,则这个多边形的边数为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【中考·临沂】一个多边形的内角和是外角和的2 倍,这个多边形是(  ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 4 B 5 C 知4-练 【中考·莱芜】一个多边形的内角和比其外角 和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条 数是(  ) A.12 B.13 C.14 D.15 6 C 定义:平面上,由不在同一条直线上的线段首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形。 n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3). n边形一个顶点出发可引(n-3)条对角线. 则n个顶点的n边形共有 条对角线. 多边形的外角和等于360°. 1 ( 3) 2 n n- 已知多边形的一个外角与除该外角对应的内角外的其 余各内角的和为600°,求该外角的度数. 2 易错小结 解:设多边形的边数为n,这个外角的度数为x°, 则与这个外角相邻的内角为(180-x)°. 由题意,得(n-2)×180+x-(180-x)=600, 解得x=570-90n. ∵0