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- 2021-11-01 发布
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第二十二章 四边形
22.7 多边形的内角和
与外角和
1 u多边形
u多边形的内角和
u多边形的外角和
u多边形内角和与外角和的关系
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
小明有一个设想:
2018年世界杯在俄罗斯举行,要是能设计一个内
角和是2018°的多边形花坛该多有意义啊!小明的这
个想法能实现吗?
1 多边形
如图,观察这些图形,它们都是平而上由线段首
尾顺次相接所组成的.
知1-导
平面上,由不在同一条直线上的线段首尾顺次相
接组成的图形,叫做多边形 .
连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的
对角线.多边形有几条边就叫做几边形.三边形就是我
们通常所说的三角形.
下图所示的五边形,我们把它记作五边形ABCDE.
用类似的方法可以记其他多边形.
多边形的边、顶点、内角、外角
的意义和三角形相同.
知1-导
知1-讲
例1 下列说法中,正确的有( )
(1)三角形是边数最少的多边形;
(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形;
(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角;
(4)多边形分为凹多边形和凸多边形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
知1-讲
(2)的说法不严密,应点明三点:其一,“不在同
一条直线上”的线段;其二,是“平面图形”;
其三,“线段首尾顺次相接”;
(3)n边形有n个内角和2n个外角,即外角的个数是
内角个数的2倍.
(1)(4)说法正确.
导引:
(1)理解多边形的定义,要 从多边形的几个条件入手.
(2)一个n边形,它的顶点数、内角的个数都是n个,
只有外 角有2n个.
知1-讲
知1-练
下列图形中,不是多边形的是( )
从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,
它们将六边形分成n个三角形,则m、n的值分别
为( )
A.4、3 B.3、3
C.3、4 D.4、4
1 C
2
C
知1-练
从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个
顶点和与它不相邻的各顶点,若把这个多边形分
割成6个三角形,则n的值是( )
A.6 B.7
C.8 D.9
3
C
2 多边形的内角和
知2-导
在纸上任意画一个四边形,剪下它的四个角,
把它们拼在起(四个角的顶点里合).你发现了什么?
其他同学与你的发现相同吗?你能把你的发现概括
成 一个命题吗?你能证明这个命题吗?
知2-导
四边形有以下的定理:
四边形的内角和等于360°.
已知:四边形ABCD.
求证: ∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
证明 如图,连接BD.
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∠C+∠CBD+∠CDB=180°.
∴∠A+∠ABD+∠ADB+ ∠C+∠CBD+∠CDB
=180°+180°=360°,
即∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°.
边数 图形 从某顶点出发
的对角线条数
划分成的三
角形个数
多边形的
内角和
3 0 1 1×180°
4 1 2 2×180°
5
6
… … … … …
n
知2-导
对于n边形,从某一个顶点出发的(n-3)条对角线
把n边形划分成 (n-2)个三角形,所以n边形的内角和
就等于这(n-2)个三角形的所有内角之和.于是就有下
面的定理:
n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3).
知2-导
例2 一个六边形如图1.已知AB∥DE,BC∥EF,
CD∥AF.求∠A+∠C+∠E的值.
因为两条平行线被一条直线所
截.有许多等角关系,所以我们
不妨连结AD试试看,如图2.不
难发现,∠1=∠3,∠2=∠4.由
此可得本题解法.
分析:
图1
图2
知2-讲
如图2,连结AD.
∵AB∥DE,CD∥AF(已知),
∴∠1=∠3,∠2=∠4.
∴∠1+∠2=∠3+∠4.即∠FAB=∠CDE.
同理,∠B=∠E,∠C=∠F.
∵∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F
=(6-2)×180°=720°.
∴∠FAB+∠C+∠E= ×720°=360°.
解:
图2
知2-讲
知2-讲
把多边形的内角和的问题转化为四边形内角和、
三角形内角和问题是常用的解题思路.
1 在540°,720°,960°中,哪个角度不可能是多
边形的内角和?
2 在四边形ABCD中,如果∠A+∠C+∠D=280°,
那么∠B的度数是多少?
知2-练
(来自教材)
解: 960°不可能是多边形的内角和.
解: ∠B=360°-(∠A+∠C+∠D)
=360°-280°=80°.
3 一个五边形有三个内角是直角,另两个内角都等
于n°.求n的值.
4 过某个多边形一个顶点的对角线有10条.求这个多
边形的内角和.
知2-练
(来自教材)
解:由题意可知90°×3+2n°=(5-2)×180°.
解得n=135.
解:设这个多边形的边数为n,则n-3=10,
∴n=13.∴内角和为(13-2)×180°=1 980°.
知2-练
(来自教材)
5 四边形的四个内角可以都是锐角吗,可以都是钝
角吗?为什么?
解:不可以.四边形的内角和是360°,如果四边
形的四个内角都是锐角,那么它的内角和小于
360°;如果都是钝角,那么它的内角和大于
360°.
知2-讲
例3 [中考·重庆]若一个多边形的内角和是900°,则
这个多边形是( )
A.五边形 B.六边形
C.七边形 D.八边形
设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)×
180°=900°,解得:n=7.
导引:
C
知2-讲
已知多边形的内角和求边数n的方法:根据多边
形内角和公式:(n-2)×180°=内角和列方程,解
方程求出n的值,即得多边形的边数.
1 一个多边形的内角和等于1 080°,这个多边形的
边数是多少?
知2-练
(来自教材)
解:设这个多边形的边数为n.
则(n-2)×180°=1 080°. 解得n=8.
∴这个多边形的边数为8.
解: ∠D= ×360°=144°.
2 在四边形ABCD中,已知∠A:∠B:∠C:∠D=
1:2:3:4.求∠D的度数.
4
1 2 3 4
知2-练
【中考·北京】内角和为540°的多边形是( )3 C
知2-练
【中考·宜昌】如图,将一张四边形纸片沿直线
剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,
下列四种剪法中,符合要求的是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
4
B
知2-练
【中考·益阳】将一矩形纸片沿一条直线剪成两
个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不
可能是( )
A.360° B.540°
C.720° D.900°
5
D
知2-练
将一个n边形变成(n+1)边形,内角和将( )
A.减少180° B.增加90°
C.增加180° D.增加360°
一个多边形除一个内角外其余内角的和为
1 510°,则这个多边形对角线的条数是( )
A.27 B.35
C.44 D.54
6 C
7
C
知2-练
一个多边形截去一个角后,形成一个新多边形
的内角和是1 620°,则原来多边形的边数是(
)
A.10 B.11
C.12 D.以上都有可能
8
D
3 多边形的外角和
知3-导
由于每一个外角与和它相邻的内角互补,所以n
边形的外角和(每一个顶点只取一个外角)为
n×180°-(n-2)×180°= 360°.
任何多边形的外角和为360°.
知3-讲
定理:多边形的外角和等于360°.
要点精析
(1)多边形的外角和与多边形的边数无关,它始终
为360°;
(2)若n边形的每个内角相等,则每一个外角的度数
为 (n≥3).
360
n
知3-讲
例4 已知一个多边形的每个外角都等于40°,则这个
多边形是( )
A.五边形 B.九边形
C.七边形 D.八边形
根据多边形外角和等于360°,直接可求出多边
形的边数.
导引:
B
知3-讲
用多边形外角和定理求多边形内(外)角的度数或
求多边形的边数的方法:一般可利用方程思想通过
列方程解决,本例根据边数× 多边形每个外角的度
数=360°,即可求出.
1 如图所示的模板,规定:AB,CD的延长线应相
交成80°的角.因交点不在板上,不便测量,工人
师傅测得∠BAE=122°,∠OCF=155°.此时AB,
CD的延长线相交所成的角是否符合规定?为什么?
知3-练
(来自教材)
不符合规定.理由:因为五边形
AEFCG的内角和为(5-2)×180°
=540°.所以∠AGC=540°-(∠E
+∠F+∠BAE+∠DCF)=540°
-457°=83°≠80°.所以不符合规定.
解:
知3-练
五边形的外角和等于( )
A.180° B.360°
C.540° D.720°
【中考·十堰】如图所示,小华从点A出发,沿
直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,
又向左转24°……照这样走下去,他第一次回
到出发地点A时,一共走的路程是( )
A.140米 B.150米
C.160米 D.240米
2 B
3
B
知3-练
【中考·宜昌】设四边形的内角和等于a,五边形
的外角和等于b,则a与b的关系是( )
A.a>b B.a=b
C.a<b D.b=a+180°
4
B
4 多边形内角和与外角和的关系
知4-讲
例5 [中考·资阳]一个多边形的内角和是外角和的3倍,
则这个多边形的边数是________.
设这个多边形的边数为n,
∵多边形的外角和为360°,
∴(n-2)×180°=3×360°.
解得:n=8.
导引:
8
知4-讲
因为多边形的外角和是定值,所以有些多边形
的问题经常转化为外角的问题来解决. 多边形的内角
和、外角和在应用时注意区分,不要混了.
1 内角和等于外角和的2倍的多边形是几边形?
2 一个n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7.
求n的值.
知4-练
(来自教材)
解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=
2×360°.解得n=6.所以这个多边形是六边形.
解:由题意可知 ,
所以n=9.
360 2=
( 2) 180 7n
3 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平
分∠ABC,DF平分∠ADC. BE与DF有怎样的位置
关系?为什么?
知4-练
(来自教材)
知4-练
(来自教材)
解:BE∥DF.理由:∵∠A=∠C=90°,
∴∠ADC+∠ABC=360°-(∠A+∠C)=180°.
∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,
∴∠ABE= ∠ABC,∠ADF= ∠ADC.
∴∠ABE+∠ADF= ∠ABC+ ∠ADC
= ×180°=90°.
又易知∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠AEB=∠ADF.∴BE∥DF.
1
2
1
2
1
2
1
21
2
知4-练
【中考·南通】已知一个多边形的内角和等于它
的外角和,则这个多边形的边数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【中考·临沂】一个多边形的内角和是外角和的2
倍,这个多边形是( )
A.四边形 B.五边形
C.六边形 D.八边形
4
B
5
C
知4-练
【中考·莱芜】一个多边形的内角和比其外角
和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条
数是( )
A.12 B.13
C.14 D.15
6
C
定义:平面上,由不在同一条直线上的线段首尾顺次
相接组成的图形叫做多边形。
n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3).
n边形一个顶点出发可引(n-3)条对角线.
则n个顶点的n边形共有 条对角线.
多边形的外角和等于360°.
1
( 3)
2
n n-
已知多边形的一个外角与除该外角对应的内角外的其
余各内角的和为600°,求该外角的度数.
2 易错小结
解:设多边形的边数为n,这个外角的度数为x°,
则与这个外角相邻的内角为(180-x)°.
由题意,得(n-2)×180+x-(180-x)=600,
解得x=570-90n.
∵0
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